2.4 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“利用一元二次方程解决几何问题”，从矩形、正方形等基础图形面积问题切入，衔接一元二次方程解法，通过镶边、剪角、修路等情境搭建学习支架，引导学生逐步掌握几何问题的方程建模方法。 资料采用基础达标、能力提升、思维拓展分层设计，易错点强调图形边长限制培养严谨思维，部分题目配有视频辅助理解。题目设计注重用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理等量关系，用数学语言构建方程模型，有效提升学生的模型意识和应用能力。

2.4 一元二次方程的应用 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 01基础达标 知识点 几何图形问题 1. 在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，若将原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为________． 3. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为________． 4. 如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽． 易错点 忽视条件中对图形边长的限制 5. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 02能力提升 6. 《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步． 7. 如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________． 8. 如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：） 9. 如图，某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道宽的门，已知篱笆的总长度为． （1）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的代数式表示的长__________； （2）若整个苗圃园的面积为，求的长． 03思维拓展 10. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 2.4 一元二次方程的应用 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 01基础达标 知识点 几何图形问题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据整个挂图的面积是为等量关系列方程即可得解． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 依题意得：， ， ， ， 故选：B． 【2题答案】 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为， 依题意得，，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 故答案为：7． 【3题答案】 【答案】16 【解析】 【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可． 【详解】解：设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得： （x-3×2）（x-3×2）×3=300， 解得：x1=16，x2=-4（不合题意，舍去）， 即：正方形铁皮的边长应是16cm． 故答案为16． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解． 【4题答案】 【答案】2m． 【解析】 【分析】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽． 【详解】设小路的宽为xm，依题意有 （40﹣x）（32﹣x）=1140， 整理，得x2﹣72x+140=0． 解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）． 答：小路的宽应是2m． 【点睛】考核知识点：二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键. 易错点 忽视条件中对图形边长的限制 【5题答案】 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【解析】 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 视频 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 02能力提升 【6题答案】 【答案】12 【解析】 【分析】设长为步，宽为步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设长为步，宽为步， 根据题意，得， 解得，（舍去）． 当时，， 长比宽多：（步）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长． 【7题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为xm， 由题意得（30-3x）（24-2x）=480， 解得x1=2，x2=20（舍去）， ∴人行通道的宽度为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设有盖纸盒的底面边长为，根据长方形的面积公式结合纸盒的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取底面积大于侧面积时的即可得出结论 【详解】解：设有盖纸盒的底面边长为， ，，， 当时，，∴不合题意，舍去，∴ 答：该有盖纸盒的底面边长为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【9题答案】 【答案】（1） （2）当时，苗圃园的总面积为 【解析】 【分析】（1）根据篱笆总长和门的宽度，用含的代数式表示的长； （2）根据矩形面积公式列方程，结合墙的长度限制求解． 【小问1详解】 解：设的长为，则与墙垂直的篱笆共有段，长度均为 与墙平行的篱笆长为，由于有两个宽的门，实际使用的篱笆长度为 已知篱笆总长为 ， ， 【小问2详解】 由题意，矩形面积 面积为 ， 整理得：，即 解得：，  墙的长度为，即 ， 当时，  （不符合题意，舍去）； 当时，  （符合题意） 的长为． 03思维拓展 【10题答案】 【答案】（1） （2）不可能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $