2.2 第3课时 用公式法求解一元二次方程（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“用公式法求解一元二次方程”，引导学生掌握求根公式的应用及根的判别式，通过回顾一元二次方程一般形式，逐步推导求根公式，结合根的判别式判断根的情况，基础达标部分分知识点设计选择、填空、解答题，搭建递进式学习支架。 资料特色突出跨学科情境（如物理小球悬浮问题），助学生用数学眼光观察现实世界，根的判别式应用强化推理意识，综合题（等腰三角形边长与方程根结合）发展模型意识，易错点提示和分层习题设计，培养学生严谨思维，提升解决实际问题的能力。

第3课时 用公式法求解一元二次方程 01基础达标 知识点一 用公式法解一元二次方程 1. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列方程中，以为根的是（　　） A. B. C. D. 3. 用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 4. 用公式法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 知识点二 一元二次方程根的判别式 （2025・北京） 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 7. 当为何值时，方程 ． （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 易错点 易忽略二次项系数不为0这个条件 8. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＜ B. k＜且k≠0 C. ﹣≤k＜ D. ﹣≤k＜且k≠0 02能力提升 9. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 10. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【跨物理·小球悬浮】 11. 如图，小球悬浮于液体中（，，），若，小球质量m为，则x的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或 D. 12. 已知，，为三角形的三边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是__________三角形． 13. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 03思维拓展 14. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若等腰三角形的一边长，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的值． 第3课时 用公式法求解一元二次方程 01基础达标 知识点一 用公式法解一元二次方程 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】把方程变为一般式，即可确定a，b，c．注意a，b，c可同时乘以一个不为零的数． 【详解】把方程化为一元二次方程的一般形式为， ∴a=1，b=−3，c=1. 但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：， 此时a=−1，b=3，c=−1. 故选:A. 【点睛】考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据公式法解一元二次方程判断即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B． ，故符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法:公式法，熟记公式是解答本题的关键． 【3题答案】 【答案】 ①. 4 ②. ③. ④. 41 ⑤. ， 【解析】 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 【4题答案】 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程的系数，计算判别式，再代入求根公式求解； （2）先把方程化为一般形式，再按公式法步骤计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原方程化为一般形式： ． 知识点二 一元二次方程根的判别式 （2025・北京） 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根. 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【详解】根据题意得： △=1-4×2m=0， 整理得：1-8m=0， 解得：m=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 【7题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）先计算一元二次方程的判别式，再根据判别式与根的关系，分三种情况列不等式或等式求解的取值范围． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程 ， 其中，  ，  计算其判别式  ： 方程有两个不相等的实数根时，  解得：． 【小问2详解】 解：方程有两个相等的实数根时， 解得： ． 【小问3详解】 解：方程没有实数根时，  解得：． 易错点 易忽略二次项系数不为0这个条件 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0； 根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；解得 根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0，解得 三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0． 故选D． 02能力提升 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，． 当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定： ∵， ∴当时，方程有两个相等的实数解， 当且时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 【跨物理·小球悬浮】 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，准确计算是解题的关键．根据浮力等于小球的重力列方程求解即可． 【详解】解：，，），， ， 解得，， 故选：C． 【12题答案】 【答案】等腰 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可得二次项系数不为，由方程有两个相等的实数根可得判别式等于，整理得到，，的数量关系，据此判断三角形的形状. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴  ， 对判别式整理得：   ， 两边同时除以得：   ， 合并同类项得：  ，  因式分解得：   ， 即  ，  因此可得  或 ， 结合 ，可知三角形至少有两边相等， 故这个三角形是等腰三角形. 【13题答案】 【答案】（1） 见解析 （2）1或3 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【小问1详解】 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】（1） （2）的值为3或4 【解析】 【分析】（1）用一元二次方程根的判别式列不等式，求出的取值范围； （2）分等腰三角形的底边和腰两种情况讨论，结合方程的根和三角形三边关系求的值． 【小问1详解】 解：一元二次方程 有实数根， 判别式 即， 解得． 【小问2详解】 解：∵等腰的一边长，另两边是方程的两个实数根， 分以下两种情况讨论： 情况一：当为底边时，则 方程有两个相等的实数根， ，即，解得 此时方程为，解得 的三边长为  ，满足三角形三边关系（），符合题意 情况二： 当为腰时，则或中有一个等于 不妨设 ，则是方程的一个根 代入得 ，解得  此时方程为 ，解得  的三边长为  ，满足三角形三边关系（），符合题意 综上所述， 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $