专题四 特殊四边形中的类比探究问题（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦特殊四边形中的类比探究问题，涵盖中点四边形的平行四边形、菱形、矩形判定及正方形中的线段关系证明。通过小敏连接AC的思路导入，以三角形中位线为基础，引导学生从已知探究未知，构建知识学习支架。 资料以类比探究为主线，从基础判定到条件变式（如中点改为三等分点），培养学生推理意识与创新意识。结合几何直观分析图形，辅以视频解析，帮助学生用数学语言表达逻辑关系，提升问题解决能力与空间观念。

专题四 特殊四边形中的类比探究问题 1. 阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题； （2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD． ①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论． 2. 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：．（提示：取的中点，连接） （2）若，求的长． （3）类比探究：若将“点是边的中点”改为“点是边的三等分点”，那么（1）中的还成立吗？__________． 专题四 特殊四边形中的类比探究问题 【1题答案】 【答案】（1）是平行四边形，理由见解析；（2）①AC=BD；证明见解析；②AC⊥BD． 【解析】 【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论； （2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论； ②若四边形EFGH是矩形，则∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，则AC⊥BD． 【详解】解：（1）是平行四边形．理由如下： 如图2，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）①AC=BD． 理由如下： 由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC， ∴当AC=BD时，FG=HG， ∴平行四边形EFGH是菱形； ②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形． 理由如下： 同（1）得：四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，GH∥AC， ∴GH⊥BD， ∵GF∥BD， ∴GH⊥GF， ∴∠HGF=90°， ∴四边形EFGH为矩形． 视频 【点睛】此题主要考查了中点四边形，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形、菱形及矩形的判定是解题的关键． 【2题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3）成立 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明 ，通过全等三角形的性质即可得到； （2）由（1）可得： ，根据全等三角形的面积相等得到 ，再根据三角形的面积公式求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度； （3）当点是靠近点的三等分点时，取，连接，首先说明是等腰直角三角形，再证明，可得到．当点是靠近点的三等分点时，同理可证． 【小问1详解】 解：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵、分别是和的中点， ， ， ， ∵交正方形外角的平分线于点, ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得： ， ∴ ，， ， ， ， 解得：（负数舍去）， ， ， ； 【小问3详解】 解：成立． 【提示】当点是靠近点的三等分点时， 取，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 当点是靠近点的三等分点时，同理可证． 综上所述，点是边的三等分点时，还成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $