专题二 特殊四边形中的最值问题（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦特殊四边形中的最值问题，涵盖菱形、正方形、矩形等图形，通过复习四边形性质引入，衔接三角形中位线、轴对称等知识，以例题为支架引导学生构建从性质到转化方法的解题思路。 资料精选典型例题，融合中位线转化、将军饮马模型等策略，解析注重几何直观与推理过程，帮助学生建立模型意识，提升用数学思维分析问题的能力，培养创新意识与应用意识，助力高效掌握最值问题解法。

专题二 特殊四边形中的最值问题 1. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值是（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.5 D. 1.2 （2025·陕西） 5. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 6. 如图，在中，，，，以为边在上方作正方形，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2），分别为，上的动点，连接，，则的最小值为__________． 专题二 特殊四边形中的最值问题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可． 【详解】解：如图，连接EC，PC， ∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC， ∴EC就是AP＋PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点， ∴CD＝4cm，ED＝2cm， ∴CE＝， ∴AP＋PE的最小值是2cm． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先确定动点的运动路线，再构造将军饮马模型，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵， ， ， ∴动点在与平行且与的距离是的直线上， 如图，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最小值． 在中， ， ， 即的最小值为． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】证四边形是矩形，得和互相平分．且，再由垂线段最短的性质得时，的值最小，即的值最小，然后由勾股定理求出，进而由三角形面积求出的长即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，为中点， ， ∵在中，，，，为边上一动点 ， 当时，值最小， 此时 ， 解得 ， ∴的最小值是 （2025·陕西） 【5题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 【6题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，进而得出 ，根据即可证得结论； （2）先根据勾股定理可求出，根据全等三角形的性质结合线段和差关系可求出 ，易证，即可得到，当 三点共线且时， 最小，根据垂线段最短，作 ，交于点，垂足为，可证四边形 是矩形，则 的最小值等于 ． 【小问1详解】 证明：在中，，， ． ∵四边形是正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 如图，连接， 在正方形中，， ， 又 ， ． 当 三点共线且时， 最小， ∵，分别为，上的动点， ∴作 ，交于点，垂足为， ， 又， 四边形 是平行四边形， 又， 四边形 是矩形， 的最小值等于 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $