第一章 章末核心考点与素养提升（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过分点突破搭建从基础到综合的学习支架，衔接平行四边形知识，导入中考真题与新定义问题，帮助学生构建特殊平行四边形的知识体系。 资料特色在于真题演练结合多地中考题，新定义问题与网格作图提升抽象能力和几何直观，详细解析助力推理意识培养，有效发展学生数学思维与应用意识，适合课堂巩固与素养提升。

章末核心考点与素养提升 01分点突破 考点一 菱形的性质与判定 1. 如图，添加下列条件不能证明平行四边形ABCD是菱形的是（ ） A. ∠ABD＝∠ADB B. AC⊥BD C. AB＝BC D. AC＝BD 2. 如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则____________． 考点二 矩形的性质与判定 3. 如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 4. 如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：四边形是矩形． 考点三 正方形的性质与判定 5. 如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝______度． 6. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得▱ABCD为正方形． 02真题演练 （2025・福州） 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，若垂直平分于点，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. （2025·南通） 8. 如图，是的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断是菱形的是(　　　) A. B. C. D. （2025·天津） 9. 如图，已知菱形的顶点且，则菱形两对角线的交点D的坐标为（ ） A. B. C. D. （2025·威海） 10. 如图，在中，，．连接，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．若，则四边形的面积为__________． （2025·湖北） 11. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，则的最小值为__________． （2025·上海） 12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ （2025·广西改编） 13. 解答： （1）【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ （2）【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 03素养提升 14. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，线段的端点，都在格点上，每一个小正方形的边长为1． （1）以为边画正方形，使点，都在格点上； （2）以为边画菱形，使点，都在格点上，且菱形的面积为8． 章末核心考点与素养提升 01分点突破 考点一 菱形的性质与判定 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； C、四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； D、根据四边形ABCD是平行四边形和AC＝BD，得出四边形ABCD是矩形，不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定的应用，注意：菱形的判定方法有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 【2题答案】 【答案】##121度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据四边形是菱形， ，得到，结合得，根据补角定义计算即可． 【详解】∵四边形是菱形， ， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 考点二 矩形的性质与判定 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，然后根据矩形的对角线相等的性质求出AC的长，因为矩形的对角线相互平分即可求出OC的长. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=2AB=8， 故选B. 【点睛】本题考查矩形的对角线相等且相互平分.求出对角线的长度是解题的关键. 【4题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：证明：四边形是平行四边形． ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质角平分线的定义，等腰三角形的三线合一等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型． 考点三 正方形的性质与判定 【5题答案】 【答案】150 【解析】 【分析】根据等边三角形、正方形的性质可得∠ABP＝30°，AB＝BP，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠BAP＝75°，由此可得∠DAP＝15°，同理可得∠ADP＝15°；再由三角形的内角和定理可得∠APD＝150°． 【详解】∵△BCP为等边三角形， ∴∠PBC＝60°，BP＝BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABP＝30°，AB＝BP， ∴∠BAP＝75°， ∴∠DAP＝15°， 同理∠ADP＝15° ∴∠APD＝150°． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和是关键． 【6题答案】 【答案】∠BAD＝90°(答案不唯一) 【解析】 【详解】试题分析：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD=90°时，▱ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90°． 考点：正方形的判定；平行四边形的性质． 视频 02真题演练 （2025・福州） 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出 ，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． （2025·南通） 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：A、若，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，故选项正确； B、若，则四边形ADCE是矩形，故选项错误； C、若，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，故选项错误； D、若，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，故选项错误. 故选A. 【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握判定定理. （2025·天津） 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点A作AE⊥OC于E，根据点O、C坐标可得OC=2，根据菱形的性质可得OA=OC=2，点D为AC中点，由∠AOC=60°，利用∠AOC的三角函数值可求出OE、AE的长，即可得出点A坐标，进而根据点A、C坐标即可点D坐标． 【详解】如图，过点A作AE⊥OC于E， ∵， ∴OC=2， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=OC=2，点D为AC中点， ∵∠AOC=60°， ∴，=， ∴A（1，）， ∵，， ∴点D坐标为（，）． 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质及三角函数的定义，熟练掌握菱形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （2025·威海） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，根据 ，可得 ，可得 ，根据等角对等边可得，则平行四边形是矩形，再根据勾股定理可得的长，进而可得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是矩形， ， 在中，，． 根据勾股定理，得 ， ∴矩形的面积为：． （2025·湖北） 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得到 ，当时，最小，此时最小，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形，， ， 当时，最小，此时最小， ． （2025·上海） 【12题答案】 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． （2025·广西改编） 【13题答案】 【答案】（1）错误；正确；错误 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可判断； （2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形． 【小问1详解】 解：连接，交于点， ①由图可得，平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 同理可得，， ∴平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； 【小问2详解】 证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 03素养提升 【14题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）画一个对角线长分别为，的菱形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $