1.4 第2课时 正方形的判定（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦正方形的判定，通过概念辨析题回顾矩形、菱形判定方法，结合尺规作图和折叠操作引入新知，构建从平行四边形到特殊四边形的知识脉络，形成递进式学习支架。 资料设置基础达标、能力提升、思维拓展三级习题，融入几何直观（折叠、作图）和推理意识（证明题），通过新定义问题培养创新意识，帮助学生深化判定定理理解，提升逻辑推理与空间观念，适合分层教学与自主探究。

第2课时 正方形的判定 01基础达标 知识点 正方形的判定 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形 D. 平行四边形的对角线相等 2. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，小红作了如下操作：分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则四边形的形状是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 4. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是_____． 5. 顺次连接四边形四边中点，得到四边形，则四边形是__________；若，则四边形是__________；若，则四边形是__________；若且，则四边形是__________． 6. 已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 02能力提升 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC、BC的平行线DE、DF，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 四边形DECF是正方形 8. 关于一个四边形是不是正方形，有如下条件①对角线互相垂直且相等的平行四边形；②对角线互相垂直的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形；以上条件，能判定正方形的是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 如图，四边形中，，且，、、、分别为、、、的中点，则__________． 10. 矩形的与的角平分线交于点，且、、分别为、、的中点． 求证：四边形是正方形． 11. 已知：四边形为平行四边形，延长至点，使，连接交于点，连接． （1）求证：． （2）若，当__________时，四边形为正方形，请说明理由． 03思维拓展 12. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________． （2）如图1，在方格纸中，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使是对角线，点在格点上． （3）如图2，在正方形中，点分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形． 第2课时 正方形的判定 01基础达标 知识点 正方形的判定 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：A、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误； C、每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形，正确； D、矩形的对角线相等，错误； 故选C． 【点睛】此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质解答． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“四边相等的四边形是菱形”判断四边形的形状，再根据勾股定理的逆定理得出，最后根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案. 【详解】解：由题意得，cm， 四边形是菱形. ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 【4题答案】 【答案】邻边相等的矩形是正方形 【解析】 【分析】将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，可得到BA=BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形，即可得到答案． 【详解】将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处， ， 折痕为BE，沿EF剪下， ， 四边形ABFE是矩形， 四边形ABFE是正方形， 则其数学原理为：邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：邻边相等的矩形是正方形． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换和正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 菱形 ③. 矩形 ④. 正方形 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到新四边形各边与原四边形对角线的位置和数量关系，再根据特殊四边形的判定定理依次推导得出结论. 【详解】解：设，，，分别为四边形四边，，，的中点， 根据三角形中位线定理得：，，，， 因此，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形； 若，同理可得， 因此， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形； 若，由，，可得，即， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形； 若且，可得四边形是一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形，因此四边形是正方形. 故答案为：平行四边形；菱形；矩形；正方形. 【6题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 02能力提升 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】（1）是的平分线，证不到D是AB的中点； （2）根据平分线和平行和条件可以证明； （3）根据是的平分线可证得； （4）首先根据题意可得四边形DECF是平行四边形，然后再证明FC=DF，根据邻边相等的平行四边形可得四边形DECF是菱形，再由∠ACB=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形DECF是正方形． 【详解】解∵过D点分别作AC和BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F， ∴DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， 又∵AD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACD， ∵DF∥BC， ∴∠FDC=∠BCD， ∴∠ACD=∠FDC， ∴FC=DF ∴四边形DECF为菱形， 又∠ACB=90°时， ∴菱形DECF是正方形． 综上所述可知FC=DF、∠BCD=∠ACD、四边形DECF是正方形是正确的，AD=BD是错误的． 故选A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的判定方法逐一分析判断得出答案即可． 【详解】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，故正确； ③对角线相等的菱形是正方形，故正确； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的判定方法，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位线的性质得到，，可证明四边形是平行四边形，再由已知条件，结合中位线的性质得到，即可证明四边形是矩形，结合邻边相等得到四边形是正方形，最后通过勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵、、、分别为、、、的中点， ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ，，， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， ． 【10题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由矩形性质和角平分线证是等腰直角三角形，再利用三角形中位线定理证四边形四边相等，得到菱形，最后结合证其为正方形． 【详解】证明：四边形是矩形， 、分别平分、， ，  ，且 、、分别为、、的中点， 、 是的中位线 且 ， 且  是中点，是 中点， ， ， 四边形是菱形 ，  菱形是正方形 【11题答案】 【答案】（1）见解析；（2）45，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，推出，，得到四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证明； （2）由平行四边形的性质得到AC=DE，推出AC=DE，证的四边形ABCD是矩形，再根据平行线的性质可得AC⊥BD，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）当时，四边形为正方形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解答本题的关键． 03思维拓展 【12题答案】 【答案】（1）正方形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键。 （1）邻边垂直的特殊平行四边形有正方形和矩形，对角线相等的特殊四边形有正方形和矩形，据此可得答案； （2）左边一幅图中四边形是矩形，符合题意；右边一幅图，可证明； （3）先证明，再求出，则，证明，得到，导角证明，得到，则，即可证明四边形是垂等四边形． 【小问1详解】 解：邻边垂直且对角线相等的特殊平行四边形有矩形和正方形； 【小问2详解】 解：如图1中，四边形即为所求． 【小问3详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $