1.3 第2课时 矩形的判定（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦矩形的判定，涵盖“有一个角是直角的平行四边形”“对角线相等的平行四边形”“有三个角是直角的四边形”三种判定方法。通过复习平行四边形性质导入，搭建从一般到特殊的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料采用基础达标、能力提升、思维拓展分层设计，例题解析详尽，结合生活实例如门窗测量问题，培养学生的推理意识、几何直观和应用意识，助力学生用数学思维理解判定定理，提升解决实际问题的能力。

第2课时 矩形的判定 01基础达标 知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1. 要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当为_____度时，两条对角线长度相等． 3. 如图，在中，是边上的中线，四边形是平行四边形，求证：四边形是矩形． 知识点二 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，添加下列条件后，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A. AB=AD B. AC=BD C. BD平分∠ABC D. AC⊥BD 5. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________． 6. 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点． （1）求证：四边形BDEC是平行四边形； （2）连接AD、BE，△ABC添加一个条件： ，使四边形DBEA是矩形（不需说明理由）． 知识点三 有三个角是直角的四边形是矩形 7. 如图，在中，，于点，过点作的平行线交的外角的平分线于点．求证：四边形是矩形． 02能力提升 8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 10. 平行四边形的内角平分线围成的四边形是__________． 11. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为________． （2025·青岛） 12. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 03思维拓展 13. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，求的长． 第2课时 矩形的判定 01基础达标 知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、当∠A＋∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； B、当∠B＋∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形； D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形； 故选：C． 【点睛】本题考查了对矩形的判定定理的应用，矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到． 【详解】解：根据题意得：时，四边形为矩形， 故两条对角线相等， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题关键． 【3题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用三线合一定理可以证得，根据矩形的定义即可证得． 【详解】证明∵是边上的中线， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定，涉及等腰三角形的性质，熟记矩形的判定定理是解决问题的关键． 知识点二 对角线相等的平行四边形是矩形 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐一进行分析即可. 【详解】A. 若添加AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意； B.若添加AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意； C.若添加BD平分∠ABC，则有∠ABD=∠DBC，∵平行四边形ABCD中，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠DBC=∠CDB，∴BC=DC，∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D. 若添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关的判定定理是解题的关键. 【5题答案】 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【6题答案】 【答案】（1）见解析；（2）AB=BC. 【解析】 【分析】（1）证明DB=EC． DB∥EC即可； （2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决． 【详解】（1）证明：∵E是AC中点， ∴EC=AC． ∵DB=AC， ∴DB=EC． 又∵DB∥EC， ∴四边形DBCE是平行四边形． （2）如图，连接AD，BE， 添加AB=BC． 理由：∵DB∥AE，DB=AE， ∴四边形DBEA是平行四边形． ∵BC=DE，AB=BC， ∴AB=DE． ∴▭ADBE是矩形． 故答案为AB=BC． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与矩形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 知识点三 有三个角是直角的四边形是矩形 【7题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】等腰中，，平分，然后根据矩形的判定可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴ 即． 又∵， ∴ ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、角平分线的性质等知识，有三个角是直角的四边形是矩形是解题的关键． 02能力提升 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用三角形中位线定理先判定所得四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线互相垂直的条件，根据矩形的定义即可得到结论. 【详解】解：设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，. ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴ 且， ∴四边形是平行四边形. ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形. 故选：. 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【10题答案】 【答案】矩形 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补的性质，结合角平分线的定义，推出所围成四边形的三个内角为直角，根据矩形的判定定理即可得到结论. 【详解】解：如图，设平行四边形的四条内角平分线围成四边形， 四边形是平行四边形， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， 同理可得，， 四边形是矩形. 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，的最小值，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当的值最小时，的最小值， ∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小， ∴的最小值即为直角三角形斜边上的高， 设直角三角形斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键． （2025·青岛） 【12题答案】 【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 03思维拓展 【13题答案】 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，熟练掌握菱形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，是解题关键． （1）根据菱形的性质，得到，，进而得到，推出四边形是平行四边形，进而证明四边形为矩形即可； （2）根据菱形的性质，得到，再根据矩形的性质，得到，利用勾股定理，求得． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 由（1）得：四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $