1.3 第1课时 矩形的性质（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“矩形的性质”，核心知识点包括矩形的性质及直角三角形斜边上中线等于斜边一半。通过复习平行四边形性质引入矩形特殊性质，构建前后知识联系，形成学习支架帮助学生逐步掌握。 资料采用基础达标、能力提升、思维拓展分层设计，题型涵盖选择、填空、证明及中考题，注重几何直观培养，通过推理证明和实际问题应用，发展学生推理意识与应用意识，助力学生理解与运用数学知识。

1.3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 01基础达标 知识点一 矩形的性质 1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD=58°，则∠CAD的度数是(　　) A. 22° B. 29° C. 32 D. 61° 3. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ ) A. 5 B. 5 C. 5 D. 10 4. 在矩形中，，对角线．则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）． A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8 （2025·南京） 6. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 知识点二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 7. 如图，在中，为斜边的中线，且，，则________． 8. 如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（　　） A. 减小 B. 增大 C. 不变 D. 先减小再增大 02能力提升 9. 如图，矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 11. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE 其中正确的结论的序号是__________ 12. 如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与，的延长线分别相交于点，． （1）求证：； （2）当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 03思维拓展 13. 小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考： （1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图1，在中，是边上的中线，若，求证：． （2）利用上述结论解决下列问题： 如图2，已知矩形，是与的交点，如果在矩形外存在一点，使得，求证：． 1.3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 01基础达标 知识点一 矩形的性质 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵∠COD=∠CAD+∠ODA=58°， ∴∠CAD=29° 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO， 又因为∠AOB＝60°， 所以△AOB是等边三角形， 所以AO＝AB＝5， 所以BD＝2AO＝10， 所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75， 所以AD＝5． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形四个内角为直角的性质，结合勾股定理求出矩形另一条边的长度，再根据矩形面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴ . 在中，由勾股定理得：. 矩形面积公式为，代入得：. 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE． 设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x．， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x 2=22+（4－x）2， 解得x=2.5， ∴CE的长为2.5． 故选C． （2025·南京） 【6题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）27 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，BC∥AD，根据平行四边形的判定可推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出，从而结论得证； （2）先根据勾股定理求得的长，再根据矩形的性质并结合（1）可得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知，； ∴的周长为： ． ∴的周长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识．解此题的关键是由矩形的性质得出和判定四边形是平行四边形． 知识点二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【7题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和直角三角形中角所对的边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，为斜边的中线， ∴ ∵， ∴ 又∵在中，， ∴ ∴． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB，从而得出答案． 【详解】解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点， ∴OP=AB =a， ∴在滑动的过程中OP的长度不变． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 02能力提升 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点，、分别为、的中点， ∴矩形绕中心旋转，阴影部分恰好能够与空白部分重合， ∴阴影部分的面积等于空白部分的面积， ∴， ∵，， ∴． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得到，，则可求出，利用勾股定理求出，则可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【11题答案】 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出OC＝OD，根据角求出∠COD＝60°即可得出△ODC是等边三角形，求出AC＝2AB，即可判断②，求出∠BOE＝75°，∠AOB＝60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出④． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAO＝∠BAE＋∠CAE＝45°＋15°＝60°， 又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△ODC是等边三角形，故①正确； 由等边三角形的性质，AB＝OA， ∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC， ∴BC＜2AB，故②错误； ∵∠BAE＝45°， ∠ABE＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE，BO＝BE， ∵∠COB＝180°－60°＝120°， ∴∠BOE＝（180°－30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故③正确； ∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等， ∴ ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【12题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的证明方法证明即可； （2）首先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， 和互相平分， ， ， ，， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：是菱形，理由如下： 如图，连接、， 由（1）可知，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 03思维拓展 【13题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论； （2）先判断出，即可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $