专题14.3 角的平分线 同步讲义 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦角的平分线这一核心知识点，系统梳理作角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质（拓展点），构建从基础作图到性质应用再到综合拓展的学习支架，衔接全等三角形知识脉络。 资料含思维导图助力几何直观（数学眼光），题型讲练通过典例与变式训练培养推理能力（数学思维），实际应用题型如“建加油站”问题体现应用意识（数学语言）。分层训练与中考真题结合，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题14.3 角的平分线「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）解析版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 作一个角的平分线 2 知识点二 角的平分线的性质 3 知识点三 角的平分线的判定 3 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 4 题型讲练 4 题型一 作角平分线（尺规作图） 4 题型二 角平分线的性质定理 9 题型三 角平分线的判定定理 12 题型四 角平分线性质的实际应用 18 中考真题演练 21 难度分层训练 26 【基础夯实】 26 【培优拔高】 33 知识点一 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点二 角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点三 角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 题型一 作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【规范解答】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 【变式训练1】画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据尺规作图-角平分线的步骤，逐步画出角平分线即可； （2）根据作的步骤，逐步画图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为的角平分线； （2）解：如图， ①在射线上，利用三角板的同一条直角边作出， ②利用三角板作出，交于点E， ③连接， 则为的角平分线． 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的角平分线． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【思路引导】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （2）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【规范解答】（1）①解：即为的平分线，如图所示． ②解：如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∴ ； （2）证明：过点分别作于，于． 平分， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【思路引导】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴的面积． 题型二 角平分线的性质定理 【典例精讲】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【思路引导】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 【变式训练1】已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】见解析 【思路引导】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 【规范解答】证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【思路引导】本题考查角平分线的性质．作，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：作， ∵是边上的高，平分，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 故选：C． 【变式训练3】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【思路引导】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【规范解答】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型三 角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【思路引导】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【规范解答】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【规范解答】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 【规范解答】（1）解：证明：如图1中， 在和中， ， ， ； （2）解：结论正确． 理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 【变式训练3】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论． 【规范解答】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：如图2，连接，． 在与中， ， ， ． 即射线平分； 故答案为：，，； （3）解：交于E，交于F，， ∴平分（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 题型四 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【思路引导】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【规范解答】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【规范解答】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1)见详解 (2)是锐角三角形 【思路引导】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【规范解答】（1）解：、和如图所示： （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 【变式训练3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【答案】13 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【规范解答】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 【真题演练1】（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【思路引导】根据尺规作图的步骤，可以得到，，再加上公共边，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【规范解答】如图： 由作图步骤可知， 在和中， 使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 【真题演练2】（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【规范解答】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 【真题演练3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 解：如图，即为所求作． 【思路引导】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【真题演练4】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【规范解答】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【规范解答】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）略 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【思路引导】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【规范解答】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 2．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【规范解答】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 3．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，平分，于点，若，则的长为(     ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【规范解答】解：∵，平分，于点，， ∴ 4．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           【答案】/ 【思路引导】根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【规范解答】为的平分线，，， ， ∵面积是30， ， 即， 解得． 5．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_____． 【答案】4 【思路引导】由条件可先求得的长，再根据角平分线的性质可知D到的距离等于，可得到答案． 【规范解答】解：，， ， 在中，，平分， 点D到的距离． 6．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【答案】 【思路引导】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，且，， ∴， ∴， ∴的面积是． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，平分，交于点，，交于点，交于点，那么平分吗？ 解：平分（已知）， （（1））， （已知）， （2）， （等量代换）， （已知）， （（3））， （4）（两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分． 【答案】角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等； 【思路引导】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得到，等量代换可得到，再利用平行得到，，最后等量代换即可． 【规范解答】解：平分（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， ， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 【答案】(1)；；；； (2)证明见解析 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据、的判定方法证得三角形全等可得结论； （2）利用平行线的判定与性质、等腰三角形的性质进行证明即可． 【规范解答】（1）解：甲同学用尺规作出了角平分线，其判定三角形全等的依据是；乙同学用到的三角形全等的判定方法，其依据是，由丙同学的作图痕迹可知、， 故答案为：；；；；； （2）解：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 【规范解答】（1）解：射线即为所求； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 【培优拔高】 1．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【规范解答】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【规范解答】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 3．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【规范解答】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 【考点剖析】解题关键是利用角平分线的性质证明． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质．作于，于，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；，的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【规范解答】解：如图作于，于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵为定值，故A正确， ∵，的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C． 5．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 【答案】相等或互补 【思路引导】当时，可证明，得到；当时，过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果． 【规范解答】解：如图所示，当时， ∵为的平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作，，垂足分别为G，H， ∵为的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，与的关系是相等或互补． 6．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【规范解答】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 7．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 【答案】 【思路引导】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 8．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路引导】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【规范解答】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 9．已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 【答案】 【思路引导】先根据角平分线得到，继而证明，则，再证明，则，最后根据线段和差证明即可． 【规范解答】解：如图， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【思路引导】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【考点剖析】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题14.3 角的平分线「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）原卷版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 作一个角的平分线 2 知识点二 角的平分线的性质 3 知识点三 角的平分线的判定 3 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 4 题型讲练 4 题型一 作角平分线（尺规作图） 4 题型二 角平分线的性质定理 6 题型三 角平分线的判定定理 7 题型四 角平分线性质的实际应用 10 中考真题演练 11 难度分层训练 13 【基础夯实】 13 【培优拔高】 17 知识点一 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点二 角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点三 角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 题型一 作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【变式训练3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 题型二 角平分线的性质定理 【典例精讲】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【变式训练1】已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【变式训练3】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 题型三 角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【变式训练3】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 题型四 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【真题演练1】（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 【真题演练2】（2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【真题演练4】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【真题演练5】（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·四川南充·期末）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 2．（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，平分，于点，若，则的长为(     ) A．9 B．8 C．7 D．6 4．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           5．如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_____． 6．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 7．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，平分，交于点，，交于点，交于点，那么平分吗？ 解：平分（已知）， （（1））， （已知）， （2）， （等量代换）， （已知）， （（3））， （4）（两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【培优拔高】 1．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 5．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 6．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 7．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 8．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 9．已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $