第3章 函数的概念和性质（暑假单元自测）新高一数学人教A版

**基本信息** 高中数学人教A版函数概念和性质单元卷，覆盖函数定义、性质及应用，通过基础题与实际问题（如企业设备盈利）结合，检测数学抽象与应用能力，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数定义、值域、奇偶性|基础巩固，如判断同一函数、单调性与奇偶性综合| |多选|3/18|函数性质、不等式解集|能力提升，如函数奇偶性与单调性的多选项分析| |填空|3/18|定义域、偶函数求值|细节考查，如已知偶函数求参数值| |解答|5/64|解析式、实际应用（设备盈利）|创新应用，如企业盈利函数模型构建，体现数学语言表达现实世界|

第3章 函数的概念和性质 单元自测卷 【新教材，人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 3．以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 4．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    8．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知函数，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上的值域为 C．函数在上单调递增 D．满足的的取值范围为 10．已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 11．定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 13．函数的定义域为______. 14．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 4、 解答题 15（13分）．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 16（15分）．已知函数，求； 17（15分）．已知函数，若，求实数的取值范围． 18（17分）．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 19（17分）．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 函数的概念和性质 单元自测卷 【新教材，人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 2．若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 3．以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 4．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 5．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 7．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 8．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知函数，则（    ） A．函数为奇函数 B．在上的值域为 C．函数在上单调递增 D．满足的的取值范围为 【答案】ABD 【分析】由奇函数的定义可判断A，由函数单调性可判断BC，结合函数单调性，得到求解即可判断D. 【详解】由题意知，所以，定义域为R， 所以 ，所以为奇函数，故A正确； ， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 所以在上单调递增，又，， 所以在上的值域为，故B正确； 由 故，在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 由的单调性知 ，解得，故D正确． 10．已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 【答案】AC 【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误. 【详解】对于A：等价于，解得或，故A正确， 对于B：等价于，即， 整理得，解得，且，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：，，即，故D错误. 11．定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 12．已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 13．函数的定义域为______. 【答案】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 14．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 四、解答题 15（13分）．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 16（15分）．已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 17（15分）．已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 18（17分）．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 19（17分）．已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求解，并验证即可； （2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2） 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $