第三章 函数的概念与性质（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高一上第三章函数的概念与性质单元自测基础篇，暑假使用，覆盖定义域、函数性质等核心知识点，通过阶梯水价、污水处理池造价等情境题，考查数学眼光、思维与语言，适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、幂函数图像、分段函数应用|结合多地期中题，基础与情境结合| |多选|3/18|定义域值域、幂函数性质|多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|幂函数解析式、复合函数定义域|简洁考查核心概念| |解答|5/77|函数解析式、实际应用（污水处理池）、函数性质综合|18题建模应用体现数学语言，19题奇偶性单调性综合考查逻辑推理|

第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【解答过程】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 2．（5分）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，代入计算即可得解. 【解答过程】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C. 3．（5分）（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【解答过程】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D. 4．（5分）（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解题思路】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【解答过程】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D. 5．（5分）（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义求出参数的值，再代入检验即可. 【解答过程】由题意知，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递增，符合题意； 当时，，则在上单调递减，不符合题意， ． 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【解答过程】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 7．（5分）（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【解题思路】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【解答过程】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【解题思路】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解题思路】根据幂函数的定义和所过的点求解即可. 【解答过程】因为是幂函数，所以，且过点，因此， 所以，得，所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【解答过程】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】根据奇函数的性质得到在上单调递减及，从而得到的取值情况，即可求出不等式的解集. 【解答过程】因为是上的奇函数，且，则， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 则当或时，当或时； 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出不等式组，求解即可. （2）零次幂有意义的条件是底数不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，据此列出不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）要使有意义， 须满足，解得， 所以所求函数的定义域为； （2）要使函数有意义， 须满足，即， 解得，且， 所以所求函数的定义域为. 16．（15分）（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出函数解析式，代入点的坐标可得答案； （2）把条件转化为根式不等式，结合限制条件和不等关系可得不等式组，进而可求范围. 【解答过程】（1）设，因为经过点，所以， 解得， 所以. （2）由题意，即， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 17．（15分）（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【解答过程】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 18．（17分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【解题思路】（1）污水处理池长为米，可得其宽为米，由其长、宽都不超过米可求得的取值范围，根据题意可得出函数的表达式； （2）利用基本不等式可求得函数的最小值，利用等号成立的条件可求得水池的长与宽，进而得解. 【解答过程】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 19．（17分）（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的性质和建立等量关系即可得解； （2）利用定义法判定单调性； （3）根据奇偶性和单调性求解不等式. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又所以，所以， 显然，是奇函数， 综上 （2）在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以，所以在上单调递增； （3）由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（单元自测·基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 3．（5分）（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（5分）（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 6．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 11．（6分）（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则__________. 13．（5分）（25-26高一上·四川广安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 14．（5分）（25-26高一上·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2) 16．（15分）（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 18．（17分）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 19．（17分）（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $