精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期7月月考数学试题

2025年下学期高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 函数的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当时，，或 C. 当，且时， D. 当，不平行时，与不平行，且与不平行 10. 在直角坐标系中，已知点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点在直线上，则 D. 若在方向上的投影向量的坐标是，则 11. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 当时，为偶函数 B. 当时，在区间上单调递增 C. 当时，在区间上的值域为 D. 当时，函数在区间上有2个零点 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________. 13. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题（共80分） 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 17. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”． （1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由； （2）若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值． 18. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点. （1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； （2）设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围. 19. 设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． （1）判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． （2）证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； （3）若数列为“好数列”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：B. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：B 3. 函数的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为，则在中，，所以， 所以的定义域为， 则在中，由解得， 所以的定义域是. 故选：C. 4. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】 对于A：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于B：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于C：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于D：记,则. 因为，所以点不在平面α上. 故选：D 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理，得. 故选：C 6. 已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 7. 如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平面时，三棱锥体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，求出外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】在中，，是的中点，则有， ，， 当，即平面时，三棱锥体积最大，此时两两垂直， 可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 8. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么（ ） A. 当，或时， B. 当时，，或 C. 当，且时， D. 当，不平行时，与不平行，且与不平行 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A：当，时，； 当，时，，故A正确； 对于B：当时，由，得或与相交； 当时，由，得或与相交，故B错误； 对于C：当，时，又为异面直线，所以，故C正确； 对于D：当，不平行时，可能或与相交，或与相交，故D错误. 故选：AC 10. 在直角坐标系中，已知点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点在直线上，则 D. 若在方向上的投影向量的坐标是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出，再结合数量积、共线向量、投影向量的意义依次判断得解. 【详解】依题意，， 则， 对于A，由，则，A正确； 对于B，， 由，得，解得，即，B错误； 对于C，依题意，共线，则，C正确； 对于D，由在方向上的投影向量是，得， 则，即，D错误. 故选：AC 11. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 当时，为偶函数 B. 当时，在区间上单调递增 C. 当时，在区间上的值域为 D. 当时，函数在区间上有2个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】由平移变换以及正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】当时，，是偶函数，A正确； 当时，，因为，，所以在区间上不单调，B错误； 当时，，因为，，所以，C错误； 当时，，令，即，由图可知，函数在上的图像与直线有2个交点，D正确． 故选：AD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】取ED的中点为G，连接AG，FG，由已知条件可证得四边形ABFG为平行四边形，所以BF∥AG，所以∠EAG是AE与BF所成的角，在△AEG中，利用余弦定理可求得结果 【详解】因为ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以ED∥FC. 取ED的中点为G，连接AG，FG，如图， 因为ED＝2FC，所以DG＝FC，且DG∥FC， 所以四边形CDGF为平行四边形，则FG∥CD且FG＝CD. 又四边形ABCD为正方形，所以CD∥AB，CD＝AB， 所以FG∥AB且FG＝AB， 所以四边形ABFG为平行四边形，则BF∥AG， 所以∠EAG是AE与BF所成的角. 由正方形ABCD的边长为2，ED＝2FC＝2，可得， 在△AEG中，由余弦定理得 . 故答案为： 13. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可. 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 由存在且唯一，知或且，解得或，而， 所以的一个取值为5. 故答案为：5 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 四、解答题（共80分） 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出D点的坐标，再根据两点式方程求出直线AD 的方程； （2）根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解. 【小问1详解】 由题意， 的中点 ，即 ，由两点式直线方程得直线AD的方程为： ，即 ； 【小问2详解】 当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为 ，即 ； 设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为 ， 将B点坐标代入得 ，即 ； 综上，（1）AD直线方程为 ，（2）过B点并且在x， y轴上截距相等的直线方程为 或. 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 【答案】(1) ； (2)36000；（3）. 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a， 解得a=0.30. （Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨. 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5. 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础． 17. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”． （1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由； （2）若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值． 【答案】（1）为“局部奇函数”，理由见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接解方程，方程有解即得； （2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值. 【小问1详解】 当时，方程，即有解， 解得， 所以为“局部奇函数”. 【小问2详解】 当时，可化为 ， 令，则， 从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”， 令， ①当时，在上有解， 由，即，解得； ②当时，在上有解等价于 此时无解. 则所求实数的取值范围是. 令，因为，所以， 则， 令，对称轴为， 当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时； 当时，时，取得最小值，， 即时，. 综上，当时，； 当时，. 18. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点. （1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； （2）设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围. 【答案】（1） 取中点P，作直线，则直线即为所求， 取中点H，连接，则有，如图， 在等腰梯形中，，有， 则四边形为平行四边形， 即有，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点P，作直线，再利用线面平行的判定推理作答. （2）延长交于点O，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图， 过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面， 因此平面，即为四棱锥的高， 在中，， ，当且仅当时取等号，此时点与重合， 梯形的面积为定值，四棱锥的体积， 于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， 以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，， 此梯形的高， 显然为的中位线，则， ， 设，则 设平面的一个法向量，则， 令，得， 则有， 令，则，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上得， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可. 19. 设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． （1）判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． （2）证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； （3）若数列为“好数列”，求的最大值． 【答案】（1）①是“好数列”；②不是“好数列” （2） 若是“好数列”，可知存在． 令与， 于是集合和也分别是数列和数列的子列集， 又存在，得． 因此． 所以，数列也是“好数列”． 设与中较小者为，则且， 因此，即，于是， 所以存在首项不超过的“好数列”． （3）7 【解析】 【分析】（1）根据“好数列”的定义逐项检验即可判断①②； （2）分析可知若是“好数列”，可知存在，结合“好数列”的定义分析可得且，即可得结果； （3）分类讨论的奇偶性，利用反证法结合（2）可知为偶数不成立，为奇数时且，不存在“好数列”，即可得结果. 【小问1详解】 对于①：检验可知①是“好数列”； 对于②：例如，取长为2的子列集和长为3的子列集， 此时，所以②不是“好数列”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最大值为7． ①先考虑． 假设存在“好数列”．由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知， 即此“好数列”为：． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知，矛盾； ②再考虑．假设存在“好数列”． 由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知， 此时，长为的子列集，矛盾． 所以，当时，不存在“好数列”． 又数列1，4，6，2，5，3，7是“好数列”． 综上，的最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $