综合与实践 最短路径问题（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“最短路径问题”，核心知识点涵盖利用垂线段最短和轴对称两种方法。课堂导入从基础题入手，如点到直线的垂线段最短问题，逐步过渡到轴对称应用，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 资料亮点在于分层设计，基础达标巩固公理应用，能力提升结合直角梯形、等边三角形等图形情境。通过几何直观培养数学眼光，逻辑推理发展数学思维，实际问题提升应用意识，助力学生掌握解题方法并发展核心素养。

综合与实践 最短路径问题 01 基础达标 知识点一 利用垂线段最短求最短路径 1. 如图，点P是直线l外一点，且，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE长的范围是___________________． 知识点二 利用轴对称求最短路径 3. 如图， 是直线同旁的两个定点．请你在直线上确定一点，使的值最小． 02 能力提升 4. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 7. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，求的度数． 综合与实践 最短路径问题 01 基础达标 知识点一 利用垂线段最短求最短路径 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短的公理求解． 【详解】根据公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，，所以最短； 故选C． 【点睛】本题考查基本公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，理解公理是解题的关键． 【2题答案】 【答案】4≤CE≤7 【解析】 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：∵CD⊥AB，垂足是点D，AC=7，BC=5，CD=4， ∴CE长的范围是4≤CE≤7， 故答案为：4≤CE≤7． 【点睛】此题考查垂线段最短，关键是根据垂线段最短解答． 知识点二 利用轴对称求最短路径 【3题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用轴对称的性质，作关于的对称点，再利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小． 02 能力提升 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时最小，根据轴对称的性质，得， 根据对顶角相等知，推出 ． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时最小． 根据轴对称的性质，得， 根据对顶角相等，得， ∴． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴点E关于AD的对应点为点F， ∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点， ∴F是AB的中点， ∴CF是△ABC的中线， ∴CF＝AD＝6， 即EP+CP的最小值为6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键． 【6题答案】 【答案】4 【解析】 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作关于和的对称点，，再利用三角形内角和，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值． 作延长线， 在四边形中，，， ， 在中，， 由对称性质可知，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $