专题八 共顶点的等腰三角形（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“共顶点的等腰三角形”专题，围绕等腰三角形（含等边三角形）性质及应用展开，通过课本改编题导入，从基础全等证明过渡到复杂线段关系探究，搭建从简单到综合的学习支架，衔接前后几何知识。 资料特色为分层设计问题链，改编自课本贴近教学实际，注重辅助线添加（如截取线段、作垂线）培养推理能力，解析强调几何直观与逻辑推理，助力学生用数学思维分析问题，提升空间观念与创新意识。

专题八 共顶点的等腰三角形 （课本改编题） 1. 如图，和都是等边三角形． （1）求证：； （2）的度数为__________． 2. 已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC． 3. 如图，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数（用含的式子表示）． 4. 如图，和都是等边三角形，点在上，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分； （4）直接写出，，之间的数量关系． 专题八 共顶点的等腰三角形 （课本改编题） 【1题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，，，再证明，由此证明，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的性质和由三角形外角的性质可得． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ． 【2题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解； （2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解． 【小问1详解】 ∵∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴△ABC、△DEF为等边三角形， ∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF ∴ ∵BC=AC、CE=CD ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AB＝AE+BE ∴AF＝AE+AD； 【小问2详解】 在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G ∵∠BAC＝∠EDF， ∴∠AED＝∠MFD， ∵AE=MF，ED=DF ∴△AED≌△MFD（SAS）， ∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF， ∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM， 即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC， ∵AC=DM ∴△ABC≌△DAM（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AE+BC＝FM+AM＝AF． 即AF＝AE+BC． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线． 【3题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”证，得； （2）由（1）证，则，推出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，则， 又∵ ∴． 【4题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）证明：利用“SAS”证，得； （2）由（1）得，，从而得； （3）过点作，，垂足分别为，，可证，得，再利用角平分线的判定得证； （4）延长到，使，连接，证明为等边三角形，再证明， 得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：和都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 又∵， ∴； 【小问3详解】 证明：过点作，，垂足分别为，，连接， ∵，，， ∴， 则， 又∵，， ∴平分； 【小问4详解】 延长到，使，连接， 又∵， ， ∴是等边三角形， ，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $