第十五章 章末核心考点与素养提升（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、含30°直角三角形及最短路径问题，通过分点突破构建知识支架，从基础概念辨析到性质应用再到综合问题，衔接前后知识点，引导学生逐步深化理解。 资料以分点突破夯实基础，素养提升拓展能力，题型涵盖选择、填空、作图与解答，培养几何直观与空间观念（数学眼光），强化推理与运算（数学思维），渗透模型与应用意识（数学语言），助力学生分层掌握考点，提升综合解题能力，便于教师教学评估。

章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 轴对称与轴对称图形 1. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　） A. （﹣3，﹣2） B. （2，2） C. （﹣2，2） D. （2，﹣2） 2. 如图，和关于直线对称，交于，，，，则五边形的周长为______． 3. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点均在格点上． （1）作出关于轴对称的； （2）（1）中所作的面积是__________． 考点二 线段垂直平分线的性质与判定 4. 如图，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，且DE垂直平分AC，若△ABE的周长为13，AD＝5，则△ABC的周长是（　　） A. 18 B. 23 C. 21 D. 26 5. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD 考点三 等腰三角形的性质与判定 6. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1度数为（　　） A. ∠1＝20° B. ∠1＝60° C. ∠1＝40° D. 无法判断 7. 如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则_______°． 8. 如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°． （1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）求证：△ABD是等腰三角形． 考点四 含直角三角形的性质 9. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 考点五 最短路径问题 11. 如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，，点，分别为，边上的动点，则周长的最小值为________． 12. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠BCF的度数为_____． 02 素养提升 13. 如图1，等边中，是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． （1）写出图中的一对全等三角形：__________； （2）线段与线段的位置关系是__________； （3）如图2，将动点移动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问（2）中的结论是否成立?证明你的猜想． 章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 轴对称与轴对称图形 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案． 【详解】点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选B． 【点睛】本题主要考查图形的平移和图形的轴对称，掌握点在直角坐标系中平移的特点以及点关于x轴对称点的特点是解答本题的关键. 【2题答案】 【答案】11 【解析】 【分析】根据对称图形全等进行求解即可； 【详解】∵和关于直线对称， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴五边形的周长， ． 故答案为11． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质应用，准确计算是解题的关键． 【3题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出的对应点，连接即可得到； （2）利用分割法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：． 考点二 线段垂直平分线的性质与判定 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质可得AC＝2AD，AE＝CE，根据三角形周长得AB+AC＝13，故△ABC的周长为AB+BC+AC； 【详解】解：∵DE垂直平分AC，AD＝5， ∴AC＝2AD＝10，AE＝CE， ∵△ABE的周长为13， ∴AB+BE+AE＝AB+CE+BE＝AB+AC＝13， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝13+10＝23， 故选：B． 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质和三角形周长公式是关键. 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】解：A．如图连接CD、BD， ∵CA=CD，BA=BD， ∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上， ∴直线BC是线段AD的垂直平分线， 故A正确，符合题意； B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意； C．应该是S△ABC=•BC•AH，故C错误，不符合题意； D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点三 等腰三角形的性质与判定 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△BCD是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∵a∥b， ∴∠2=∠BDC=60°， 由三角形的外角性质和对顶角相等可知，∠1=∠2-∠A=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°是解题的关键． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【8题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可； （2）由题意易得∠B＝∠C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求； （2）连接AD， ∵AB＝AC，∠A＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， 由（1）得：AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴AB＝BD， ∴△ABD是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 考点四 含直角三角形的性质 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用垂直平分线的性质得，再结合三角形内角和与直角三角形中角的性质，求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：连接 是的垂直平分线， 在中，，， 在 中，，，， 故选：D． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD＝30°，∠ABP＝∠DBP＝30°，则PB＝PA＝2，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD＝PB＝1，然后计算AP+PD即可． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP＝30°， ∴PB＝PA＝2， 在Rt△PBD中，PD＝PB＝1， ∴AD＝AP+PD＝2+1＝3 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握30°角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键． 考点五 最短路径问题 【11题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段和最小值问题，对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定及性质；过作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，由对称的性质得，此时的最小值为，由等边三角形的判定及性质，即可求解；掌握线段和最小值的典型解法，找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，过作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于， ，，，，， 当共线时 此时的最小值为， 因为 ， 所以是等边三角形， ， 的最小值为， 故答案：． 【12题答案】 【答案】30° 【解析】 【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案． 【详解】过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC＝4，AE＝2， ∴EC＝2＝AE， ∴AM＝BM＝2， ∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC， ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM＝AE， ∴E和M关于AD对称， 连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵AM＝BM， ∴∠BCF＝∠ECF＝∠ACB＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用． 02 素养提升 【13题答案】 【答案】（1） （2） （3）成立．见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的边和角相等，证； （2）由全等得，推出； （3）移动点后，同理证，仍可得，结论成立． 【小问1详解】 解：∵ 和 均为等边三角形， ∴ ，， ∵ ，  ∴  在和中， ​ ∴ ． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∴． 【小问3详解】 解：成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $