第12讲 画轴对称图形（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第12讲 画轴对称图形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 画轴对称图形 如图，在一张半透明的纸的左边，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就可以得到与左脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分． 【知识点1 轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【知识点2 作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 【知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【题型1 画轴对称图形】 【例1】四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 【变式1-1】如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【变式1-2】在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【变式1-3】图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 【题型2 镜面对称】 【例2】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【变式2-1】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【变式2-2】从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【变式2-3】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【题型3 设计轴对称图案】 【例3】如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【变式3-2】如图，方格纸上画有和两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（画出4种，不写作法）． 【变式3-3】如图，点 A，B，C 都在方格纸的格点上．请你再找一个格点 D，使点 A，B，C，D 组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形） 【题型4 关于轴、轴对称的点的坐标特征】 【例4】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 【变式4-2】已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【变式4-3】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为 ． 【题型5 坐标系中轴对称变换】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【题型6 点的坐标轴对称变换规律】 【例6】如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到 ，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【变式6-3】如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 模块三 课后作业 1．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 5．点与点关于y轴对称，则________． 6．已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 7．分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 8．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 9．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 10．一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 画轴对称图形（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 画轴对称图形 如图，在一张半透明的纸的左边，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就可以得到与左脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分． 【知识点1 轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【知识点2 作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 【知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【题型1 画轴对称图形】 【例1】四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 【答案】解：四边形如图所示： 【分析】根据轴对称的性质确定对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】略 【变式1-1】如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【答案】如图的即为所作 【分析】根据轴对称的性质作出相应格点关于直线l的对称点，再顺次连接即可. 【详解】略. 【变式1-2】在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 【变式1-3】图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、轴对称作图等知识点，掌握轴对称图形的定义成为解题的关键． 根据轴对称的性质可直接画出图①图②；在图③中，先取点A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l于点O，连接AO并延长与网格线交于点D，连接CD即可． 【详解】解：分别如图①②③所示． 【题型2 镜面对称】 【例2】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 【变式2-1】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 【变式2-2】从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称． 根据镜子的图像得到原图像，作答即可． 【详解】解：∵镜子对面电子钟示数为，镜面对称后为， ∴这时的时刻应是， 故答案为：． 【变式2-3】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【题型3 设计轴对称图案】 【例3】如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选：D． 【变式3-1】如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】8 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 【变式3-2】如图，方格纸上画有和两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（画出4种，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了轴对称图案设计．如果一个图形沿某条直线折叠后，图形的两部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求， 【变式3-3】如图，点 A，B，C 都在方格纸的格点上．请你再找一个格点 D，使点 A，B，C，D 组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形） 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键． 如图1，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图2，以线段所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可； 如图3，以线段的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可； 如图4，以线段所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可． 【详解】解∶如图所示∶ 【题型4 关于轴、轴对称的点的坐标特征】 【例4】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________，点P关于y轴对称的点在第________象限，点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是________． 【答案】 四 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换，包括关于坐标轴和特定直线的对称．关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，再根据坐标符号判断象限；关于直线对称时，利用对称公式计算横坐标，纵坐标不变． 【详解】解：点的坐标为， 关于轴对称，对称点为； 关于轴对称，对称点为． 由于横坐标，纵坐标，因此该点在第四象限． 关于直线对称：设对称点坐标为，根据对称性质，有，故对称点为． 故答案为：，四，． 【变式4-2】已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-3】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识，理解并掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题关键．首先根据关于轴对称的点的坐标特征“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得，求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点 关于轴对称的点的坐标为， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【题型5 坐标系中轴对称变换】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，直线m 上各点的横坐标都为1，请按要求分别完成下列各小题． (1)画出关于直线m对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出的坐标； (2)若点为的内部一点，请直接写出点P关于直线m对称的点的坐标． 【答案】(1)见详解， (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出，再依次连接，即可作答． （2）设点P关于直线m对称的点的坐标为，运用轴对称的性质，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示， 为所求： ∴； （2）解：设点P关于直线m对称的点的坐标为， ∵点为的内部一点，且直线m 上各点的横坐标都为1， ∴ ∴， ∴点的坐标为． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1)①作图见详解，点的坐标为；②作图见详解，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出的坐标，再根据的坐标求出的坐标即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． （2）解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为，且点在内部， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 【题型6 点的坐标轴对称变换规律】 【例6】如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到 ，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 【变式6-3】如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： N点坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点N处， ∴其每6个点循环一次， ∴， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为． 故答案为：． 模块三 课后作业 1．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 2．如图是一幅轴对称的鲤鱼剪纸，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，并且点关于轴对称，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故选：C． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 5．点与点关于y轴对称，则________． 【答案】1 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 6．已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据两点关于x轴对称，“ x值相同，y值互为相反数”，列方程求解即可； （2）根据两点关于y轴对称，“y值相同，x值互为相反数”，列方程求解，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点，关于x轴对称， ∴，，解得，； （2）解：∵点，关于y轴对称， ∴，，解得，． ∴． 7．分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义解题． 【详解】略． 8．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 9．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，、、； (2)直线垂直平分线段； (3)． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∴，，； （2）解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； （3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． 10．一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程组求解即可； （3）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程求解即可； （4）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求不等式组求解，最后根据“满足条件的x的整数解恰有两个”确定m的取值范围即可． 【详解】（1）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， 又∵的坐标是， ∴， ∴； （3）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵点到y轴的距离等于点F到x轴距离， ∴， 解得：或； （4）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：， ∴， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴， 解得：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $