专题25.1 一元二次方程的概念（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（含一个未知数、整式、最高次2）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），再到根的定义及实际问题建模的完整脉络，构建概念理解到应用的学习支架。 资料通过分层设计（知识点-题型-练习）和即学即练（如方程识别）强化抽象能力，题型分类（如整体代换求代数式值）培养推理意识，实际问题（如矩形折叠面积）发展模型观念，中考链接助力课中教学与课后查漏，提升应用能力。

专题25.1 一元二次方程的概念 教学目标 1. 掌握一元二次方程的定义及其一般形式，并能根据定义判断一元二次方程以及求未知字母的值。还能把非一般形式的一元二次方程化成一般形式并确定一元二次方程各项的系数。 2. 掌握一元二次方程的根的定义，并能够根据一元二次方程的根求出未知系数或式子的值。 3. 能够根据实际问题中的数量关系或等量关系列出简单的一元二次方程。 教学重难点 1. 重点 （1）一元二次方程的定义与一般形式及其各项系数的确定； （2）一元二次方程的根的理解及其应用； （3）根据实际问题抽象出一元二次方程。 2. 难点 （1）根据一元二次方程的定义求未知系数的值； （2）根据一元二次方程的解求代数式的值。 知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式 1.一元二次方程的定义 如果方程中只含有 未知数，且含有未知数的式子都是 ，未知数的最高次数是 ，这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 。说明：规定 ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 一次项系数； 是常数项。 【即学即练】 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 3．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A． B．1 C． D．0 知识点02 一元二次方程的根 1.一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边 的 是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的 。 注意： 若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 【即学即练】 5．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 6．若m是方程的一个根，则的值为（ ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 7．关于的方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 知识点03 根据实际问题列出一元二次方程 1.根据实际问题列出一元二次方程的基本思路 ①理解题目的含义，设未知数（设所求的量为x）； ②分析题目中的数量关系和 ； ③列出一元二次方程。 【即学即练】 8．深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 题型01 一元二次方程的识别与参数判定 【典例1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：直接判断是否为一元二次方程；整理后判断；含参数判定；绝对值指数求参。 （2）核心方法：看是否满足“整式方程、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”。 【变式1】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D． 题型02 一元二次方程的一般形式与系数问题 【典例1】把一元二次方程化成一般式为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：化一般式；确定a,b,c；根据系数求参数；系数关系问题。 （2）核心方法：先化为，再读系数，注意符号和。 先化为 。 【变式1】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式3】关于x的一元二次方程，二次项系数与一次项系数的比为，则（ ） A．10 B．14 C．2.5 D．3.5 【中考链接】将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（ ） A．1 B． C． D．4 题型03 一元二次方程的根及整体代换 【典例1】已知是的一个根，则m的值为（ ） A．2 B． C．3 D． （1）考查方向：已知根求参数；特殊根判断；已知根求代数式值；根与参数综合。 （2）核心方法：把根代入方程，得到等量关系；求值题优先整体代换。 先化为 。 【变式1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（ ） A． B． C． D．0 【中考链接】已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A．5 B． C．1 D． 题型04 根据实际问题列出一元二次方程 【典例1】如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：增长率；面积变化、道路花圃、装饰边框等实际问题。 （2）核心方法：找等量关系，列一元二次方程。 先化为 。 【变式1】九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是 A． B． C． D． 【变式2】根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【中考链接】四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A． B． C． D． A组·基础过关 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．已知方程，现有“”五个数，从中随机选取一个数作为的值，所得方程是一元二次方程的概率是（ ） A． B． C． D．1 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A． B． C． D． 6．某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 7．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 9．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 10．已知a为方程的一个根，求代数式的值． B组·能力提升 11．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 12．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 13．已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 14．若是方程的一个根，则的值为（ ） A．2025 B． C．2026 D． 15．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（ ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， C组·拓展延伸 16．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A． B． C． D． 17．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（ ） A． B． C． D． 18．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 19．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 一元二次方程的概念 教学目标 1. 掌握一元二次方程的定义及其一般形式，并能根据定义判断一元二次方程以及求未知字母的值。还能把非一般形式的一元二次方程化成一般形式并确定一元二次方程各项的系数。 2. 掌握一元二次方程的根的定义，并能够根据一元二次方程的根求出未知系数或式子的值。 3. 能够根据实际问题中的数量关系或等量关系列出简单的一元二次方程。 教学重难点 1. 重点 （1）一元二次方程的定义与一般形式及其各项系数的确定； （2）一元二次方程的根的理解及其应用； （3）根据实际问题抽象出一元二次方程。 2. 难点 （1）根据一元二次方程的定义求未知系数的值； （2）根据一元二次方程的解求代数式的值。 知识点01 一元二次方程的定义及其一般形式 1.一元二次方程的定义 如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是。说明：规定，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，一次项系数；是常数项。 【即学即练】 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意；选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 2．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 3．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 4．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0且常数项的概念”是解题的关键． 根据一元二次方程常数项为0和二次项系数不为0的条件来确定的值． 【详解】∵ 方程常数项为0， ∴ ，解得． 又∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数，即． ∴ ， 故选：C． 知识点02 一元二次方程的根 1.一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。 注意： 若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 【即学即练】 5．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 6．若m是方程的一个根，则的值为（ ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 7．关于的方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据已知条件可知当和当时，均成立，再由一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∵a，b，c满足且， ∴当和当时，均成立， ∴该方程的根是，， 故选：C． 知识点03 根据实际问题列出一元二次方程 1.根据实际问题列出一元二次方程的基本思路 ①理解题目的含义，设未知数（设所求的量为x）； ②分析题目中的数量关系和等量关系； ③列出一元二次方程。 【即学即练】 8．深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题的列方程，根据增长率的计算规律，计算2023年经过两年增长后2025年的产量，即可列出对应方程． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， ∵2023年平均每公顷产量为， ∴2024年平均每公顷产量为， ∴2025年平均每公顷产量为， 又∵2025年平均每公顷产量为， ∴可列方程为． 9．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 题型01 一元二次方程的识别与参数判定 【典例1】下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． （1）考查方向：直接判断是否为一元二次方程；整理后判断；含参数判定；绝对值指数求参。 （2）核心方法：看是否满足“整式方程、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”。 【变式1】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【中考链接】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 题型02 一元二次方程的一般形式与系数问题 【典例1】把一元二次方程化成一般式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． （1）考查方向：化一般式；确定a,b,c；根据系数求参数；系数关系问题。 （2）核心方法：先化为，再读系数，注意符号和。 先化为 。 【变式1】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【变式2】已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 【变式3】关于x的一元二次方程，二次项系数与一次项系数的比为，则（ ） A．10 B．14 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先由一元二次方程得，二次项系数与一次项系数分别为5和m，再由二次项系数与一次项系数的比为，列等式方程，即可求出m的值． 【详解】∵一元二次方程的二次项系数与一次项系数分别为5和m， 又∵二次项系数与一次项系数的比为1：2， ∴， ∴， 故选：A． 【中考链接】将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．将方程化为一般形式后，一次项系数为． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一次项系数为． 故选：C． 题型03 一元二次方程的根及整体代换 【典例1】已知是的一个根，则m的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． （1）考查方向：已知根求参数；特殊根判断；已知根求代数式值；根与参数综合。 （2）核心方法：把根代入方程，得到等量关系；求值题优先整体代换。 先化为 。 【变式1】已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式2】若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【变式3】对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（ ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 【中考链接】已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 题型04 根据实际问题列出一元二次方程 【典例1】如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B ． （1）考查方向：增长率；面积变化、道路花圃、装饰边框等实际问题。 （2）核心方法：找等量关系，列一元二次方程。 先化为 。 【变式1】九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x（x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程． 【详解】解：设全组共有名同学，那么每名同学送出的图书是本； 则总共送出的图书为； 又知实际互赠了132本图书， 则 ． 故选：B． 【变式2】根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，该公司收入从2022年到2024年经历了两年增长，年平均增长率为x，根据复利增长公式，列方程即可． 【详解】∵ 2022年收入为6423亿元，年平均增长率为x， ∴ 2023年收入为亿元， 2024年收入为亿元． ∵2024年收入为8621亿元， ∴． 故选：C． 【中考链接】四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． A组·基础过关 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2．已知方程，现有“”五个数，从中随机选取一个数作为的值，所得方程是一元二次方程的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和概率公式，熟练掌握一元二次方程的定义是关键．首先根据一元二次方程的定义可知，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知， 从“，，0，，2022”五个数中随机选取一个数作为的值，所得方程是一元二次方程的概率是． 故选：C 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 4．下列方程中，两根分别是和的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 5．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6．某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据小安的设元方法和小溪的设元方法结合题意可依次排除选项． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； C、按小安的设元方法，应列方程为，故原说法错误； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故原说法正确； 故选D． 7．已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 9．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 10．已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． B组·能力提升 11．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 12．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 13．已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得． 14．若是方程的一个根，则的值为（ ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 15．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（ ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． C组·拓展延伸 16．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 17．若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 18．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 19．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800 【答案】C 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解 【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积， 由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米， 根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800． 故选C． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 第20页 共20页 学科网（北京）股份有限公司 $