25.2.4 一元二次方程根与系数的关系（讲义，1大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识点一 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 即学即练 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 2．（2026·江苏南京·一模）方程的两个根为、，若，则的值为______． 3．（2026·河北廊坊·一模）若方程的两个根为和，则______． 4．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 题型01 不解方程，求一元二次方程的两根和/积 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 已知两数的和与积，求这两个数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，有实数根且两根之和为2的（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（   ） A． B． C． D． 题型03 不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程 有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（    ） A．2； B．1； C．； D．2；1 2．（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________ ． 3．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________． 题型04 不解方程，判断一元二次方程两根情况 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 2．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（四题型应用一元二次方程的根与系数的关系及求值）不解方程，判断方程两根的符号． 题型05 利用韦达定理求含两根的代数式的值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 3．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值． (1) (2) 4．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型06 根据根的正负性，判断参数范围 使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 题型07 利用韦达定理构造一元二次方程 韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根. 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是(     ) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知、是方程的两根，则和的值为（       ） A．1，6 B．1， C．， D．，6 2．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 题型08 韦达定理与判别式综合应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 题型09 已知一元二次方程两根满足的关系，求参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    )． A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则______． 题型10 韦达定理与几何问题综合 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知菱形的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为（　） A．8 B．10 C．12 D．14 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，、的长是方程的两根，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 3．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 题型11 新定义问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 2．（25-26九年级上·江西上饶·月考）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识点一 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 即学即练 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可． 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 2．（2026·江苏南京·一模）方程的两个根为、，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据已知的两根之和求出参数的值，再代入计算两根之积即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：， 又根据根与系数的关系可得， 将代入得． 3．（2026·河北廊坊·一模）若方程的两个根为和，则______． 【答案】 【分析】确定方程的二次项系数和常数项，代入关系计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为，，根据根与系数的关系得 ， 本题中方程为 ， 可得 ，， 代入得 ． 4．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根， ，， ，，则， ∴ ． 题型01 不解方程，求一元二次方程的两根和/积 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过根与系数的关系计算两根之和即可判断选项． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， 又∵对于一元二次方程，两根之和， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即两根之积为；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，， ∴. 故选：B. 3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握根与系数的关系．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：C． 题型02 已知两数的和与积，求这两个数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由，，求出p 和 q，即可写出这个一元二次方程．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 , ， ∴ ，得 ， ， 得 ， ∴这个一元二次方程为 ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，有实数根且两根之和为2的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系（或因式分解法解一元二次方程），熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（或因式分解法解方程）是解题的关键．先判断各一元二次方程是否有实数根，再计算有实根方程的两根之和，最后筛选出两根之和为 2 的选项． 【详解】选项A： ∵方程可因式分解为 ∴解得， ∴两根之和为，符合要求． 选项B： ∵方程可因式分解为 ∴解得， ∴两根之和为，不符合要求． 选项C： ∵ ∴此方程无实数根，不符合要求． 选项D： ∵ ∴此方程无实数根，不符合要求． 故选：A． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可． 【详解】解：设方程的两根为和． ∴两根之和． ∵两根的和是6， ∴， ∴， ∴． ∴两根之积． 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，倒数等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 两个根互为倒数需满足乘积为1，即，且判别式确保有实数根． 【详解】解：， ∵， ， ∴， 故A不符合； ， ∵， ， ∴， 故B不符合； ， ∵， ， ∴， 故C不符合； ， ∵， ， ∴，且， 故D符合， 故选：D． 题型03 不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可． 【详解】解：设方程另外一个根为t， 根据一元二次方程根与系数的关系得， 解得． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程 有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（    ） A．2； B．1； C．； D．2；1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．利用已知根求另一个根和参数即可． 【详解】解：设另一个根为r， ∵方程的一个根为， ∴根据根与系数的关系可得：， 解得：， 两根之和为： 把代入得：，即． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵一个根为， ∴根据根与系数的关系，得, ∴，即， 解得或， 但时，，不符合一元二次方程的条件，故舍去． 当时，方程为， 解得另一根为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，可得 ，解之可得． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 将代入，得， ， 解得． 故答案为：，1． 题型04 不解方程，判断一元二次方程两根情况 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误； 设方程的两根为、， 根据根与系数的关系得， 即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确． 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵于的一元二次方程有实数根， ∴，， A. ，，，故此选项不符合题意；     B. ，，，故此选项不符合题意； C. ，，，故此选项不符合题意；     D. ，，，，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（四题型应用一元二次方程的根与系数的关系及求值）不解方程，判断方程两根的符号． 【答案】两根一正一负 【分析】由原方程得到：，根据一元二次方程根的判别式求出△的值，进而确定方程根的情况； 再根据根与系数关系求出两根之积的值，进而确定两根符号即可解答． 【详解】∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∵，， ∴两根一正一负． 【点睛】本题考查判断一元二次方程根的符号的题目，掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 题型05 利用韦达定理求含两根的代数式的值 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，. ∴． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，，将变形为，代入计算即可； （2）由方程的解的意义，可知，得代入，将变形为，将（1）中结果代入即可解答． 【详解】（1）解：∵在方程中，，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴． 4．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)-4 (2)23 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出， ，再展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 题型06 根据根的正负性，判断参数范围 使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可． 【详解】解：∵方程有两个正实数根， ∴，即， ， 解得：， 两根之和，两根之积， ∵分子均为正， ∴，即， 综上，， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数， ∴ 解得：， ∴实数m的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程根与系数关系等知识点，灵活利用根的判别式、一元二次方程根与系数关系列出不等式成为解题的关键． 由根的判别式列不等式可得，设关于x的方程的两个实数根为，由两个实数根之和大于结合根与系数的关系可得，解得，进而得到即可解答． 【详解】解：方程有两个实数根， ，解得：． 设关于x的方程的两个实数根为， 两个实数根之和大于， ，解得， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由根的判别式得到，解得，由根与系数的关系及题意得到，解得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， 又∵两根异号， ∴， ∴， 综上，的取值范围为． 题型07 利用韦达定理构造一元二次方程 韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根. 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理：若一元二次方程有两个实数根，那么． 首先设一元二次方程为，由二次项系数为1，两个根分别是3和，再根据根与系数之间的关系可知：，继而可求解． 【详解】解：设一元二次方程为， ∵二次项系数为1，两个根分别是3和， ． ∴该方程为：， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知、是方程的两根，则和的值为（       ） A．1，6 B．1， C．， D．，6 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是本题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据得到的解，求出正确的一次项系数和常数项即可解答，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 令，则，， ∴关于x的一元二次方程是． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设两条直角边分别为a和b（），根据条件列出方程，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（）， 由题意得：， ∴， ∵把a和b看作是一元二次方程的两个根， ∴解方程得：， ∵a是较长直角边， ∴； 故选：B． 题型08 韦达定理与判别式综合应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， ； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ，即， ，即， ， 解得或， 由（1）知，， ． 【点睛】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；，是一元二次方程的两根时，一元二次方程根与系数的关系为：，． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ， 无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根． （2）解：关于x的一元二次方程的两根为，， ， ， ， 当时， 有最小值， 此时，解得． 题型09 已知一元二次方程两根满足的关系，求参数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程的两个根满足是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解出p的值． 【详解】解：方程 的两根为 ， ，， 又 ， 即 ， ， 解得 ． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(    )． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与积，代入条件方程求解，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于  x   的方程    的两实数根为 ，   ， 又 方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ， 由根与系数的关系：得，． ∵， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ 或 ． 又∵ 方程有两实数根， ∴， 即． ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，先将方程化为标准形式，利用判别式得到的取值范围，再根据根与系数的关系代入条件方程求解，最后验证判别式以确定符合题意的值． 【详解】解：方程化为 方程有两个实数根， ，即， 解得：， ，， 由， 可得：， ， 即， 整理得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 时，，符合条件， 故答案为：． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵， ∴或（无解）， 解得， ∴， 则． 故答案为0． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则______． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键； 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解： ，， 又是倍根方程， 当是的2倍时， 则， 解得：， 当是的2倍时， 则， 解得：， 故答案为：或． 题型10 韦达定理与几何问题综合 典｜例｜精｜析 1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知菱形的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为（　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，菱形的性质，解一元二次方程．由菱形的性质可知邻边相等，即，因此方程有两个相等的实数根，判别式为零，求解的值并排除不合题意的解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 即， ∴， ∴， ∴或， ∵当时，方程变为，根为，边长不能为零，故舍去， ∴， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，、的长是方程的两根，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． 在中，，为斜边，根据勾股定理，，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求和，进而计算，进而可知的长． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴（如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 3．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型11 新定义问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 2．（25-26九年级上·江西上饶·月考）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由方程的解得到，根据新定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴ 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】(1)②④ (2)①，②， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $