25.2.1 配方法 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦直接开平方法与配方法解一元二次方程，通过x²=25引入平方根知识，迁移至(x+m)²=n型方程，再以完全平方式填空复习过渡到配方法，搭建从具体到一般的学习支架。 以“降次转化”为主线，情境创设联系旧知培养抽象能力，类比探究引导推理意识，例题训练分层设计渗透模型意识，助力学生掌握思想方法，教师教学逻辑清晰，提升课堂效率与核心素养培养。

25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 课题 直接开平方法 课型 新授课 教学内容 教材第5-6页的内容 教学目标 1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。 2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程x2=n，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）型的一元二次方程。 教学重难点 教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。 教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】先来看一个简单的一元二次方程x2=25. 【师生活动】教师：那怎么求出x的值呢？ 学生：可以想谁的平方是25，也可以根据平方根的意义得出x的值。因为±5的平方是25（25的平方根是±5），所以可以得出x=±5。 师生总结：结合问题1题干，知道5和-5都是所列方程的根，但-5不符合题意，所以x的值是5。 【探究2】探究方程x2=p的解法 分析：正数的平方根有2个，负数没有平方根，0的平方根还是0.由于p的取值不确定，所以需要对p分类讨论： 【师生活动】学生独立思考再交流，得出方程x2=p的解。 一般地，对于方程x2=p， （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1=，x2=； （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。 2.类比探究，归纳解法 【探究】上面我们已经讲了x2=25的解法，那么（x+3）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 【师生活动】学生分组讨论，老师点评：回答是肯定的，根据平方根的意义，借鉴上面的解方程过程，得x+3=±， 即x+3=，或x+3=-. 方程的两根为x1=-3+，x2=-3-. 【追问】解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 【师生活动】师生共同总结，共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”． 3.学以致用，应用新知 【例】 解下列方程． (1)4x2－3=0 ； (2)（x+2）2－9=0. 解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得x2＝3/4， 由此可得x=±√3/2， 即x1＝√3/2，x2＝－√3/2. (2)移项，得（x+2）2=9， 由此可得x+2=±3， 即x+2=3，或x+2=-3， 即 x1=1，x2=−5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）一元二次方程x2＝1的根是 （ ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝﹣1 答案：B （2）解下列方程： ①x2-169=0； ②4x2-2=3. 解：①移项，得x2=169. 得x=±13. 即x1=13，x2=-13. ②移项、合并同类项，得4x2=5. 二次项系数化为1，得x2=. 得x=±. 即x1=，x2=-. （3）一元二次方程（x+3）2=25可转化为两个一元一次方程，期中一个是x+3=5，则另一个是 . 答案：x+3=-5 （4）解下列方程： ①（x-1）2=49； ②x2+4x+4＝16. 解：①开平方，得x-1=±7.所以x1=8，x2=-6. ②整理，得（x+2）2=16. 得x+2=±4， 即x1=2，x2=-6. （5）在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？ 解：因为要制矩形方框，面积尽可能大， 所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形． 5.课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。 （2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 6.布置作业 课本P6练习。 在教学时可以让学生简单回顾一下平方及平方根的相关知识。 解方程x2=25的过程尽可能让学生独立完成，再交流。 解方程x2=p的过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用。 方程（x+3）2=5是对x2=p在项数上的推广，可以用直接开平方法求解，可提醒学生对照解x2=p的过程，自然地引出“降次”的策略。 在解法上通过将新方程转化为旧方程来解决。从简单情形出发，通过不断推广，体会这一具有一般意义的研究、学习方法。 教学中要贯彻教材“削支强干”的意图，不要在方程的复杂程度上下功夫。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 “降次”是解一元二次方程的基本策略。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 解一元二次方程--直接开平方法 复习完全平方式 探索开平方法解一元二次方程 复习平方根与开平方 利用转化化归思想，通过复习开平方和平方根，获得解x2=p的方法，进一步推广得到方程（x+n）2=p的解法。 教后反思 教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程。 第2课时 配方法 课题 配方法 课型 新授课 教学内容 教材第7-9页的内容 教学目标 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 教学重难点 教学重点：利用配方法解一元二次方程。 教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)＝n(n0)的形式。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】填上适当的数，使下列等式成立： （1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2-12x+ =(x- )2 （3）x2+8x+ =(x+ )2 （4）x2+x+ =（x+ ）2 （5）x2+px+ =（x+ ）2 观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？ 【师生活动】学生自主完成，小组讨论，师生共同总结。 2.类比探究，归纳解法 【探究2】怎样解方程x2+6x+4=0？ 分析：如果能将方程左边转化为关于x的完全平方式，右边是非负数，我们就可以直接降次解方程了。那么，如何这样转化呢？ 【学生活动】学生先思考，再讨论。 x2+6x+4=0 x2+6x=－4 x2+6x+9=－4+9 (x+3)2=5 解这个方程，得x1=-3+，x2=-3-。 检验，-3±是方程x2+6x+4=0的两个根. 【教师活动】教师总结：像上面这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 总结用配方法解方程的一般步骤． (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为(x+m)2=n的形式． (5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 3.学以致用，应用新知 【例】 用配方法解下列方程： （1）x2-8x+1=0； （2）2x2＋1=3x； （3）3x2-6x+4=0. 解：（1）x1=4+，x2=4-； （2）x1=1，x2=； （3）方程无实数根. 4.随堂训练，巩固新知 （1）用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 答案：D 【变式】用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：C （2）若代数式x2-kx+9是完全平方式，则k的值为（ ） A.3 B.0 C.6 D.±6 答案：D （3）把一元二次方程m2-4m=3配方，需在方程两边加（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案：C （4）解下列方程： ①x2+2x-3=0； ②x2-4=2x. 解：①移项，得x2+2x=3. 配方，得x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4. 开平方，得x+1=±2. 所以x1=1，x2=-3. ②由原方程，得x2-2x=4. 配方，得x2-2x+5=4+5，即（x-）2=9. 所以x-=3或x-=-3. 所以x1=3+，x2=-3+. 【变式】解下列方程： ①4x2+6x-5=0； ②6x2-x-12＝0. 解：①两边都除以4，得x2+x-=0. 移项，得x2+x=. 配方，得x2+x+=+，即（x+）2=. 开平方，得x+=±. 所以x1=，x2=. ②方程两边都除以6，并移项，得x2-x=2. 配方，得x2-x+（-）2=2+（-）2， 即（x-）2=. 开平方，得x-=±. 所以x1=，x2=-. 5.课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。 （2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 6.布置作业 课本P9练习第1-2题。 探究1旨在引导学生回顾完全平方式，为配方法做准备，目的是为了让配方法的思想更自然。 将方程x2+6x+4=0与（x+3）2=5相比较，可发现是要将方程中含x的项配成完全平方的形式。为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”等步骤奠基。 将一元二次方程配方成（x+n）2=p后，需要根据p的取值情况对方程的解进行讨论。这个过程可以让学生类比x2=p的讨论自主完成。 一元二次方程不一定有解，这里可以让学生想一想什么条件下有解，为后面讲判别式埋下伏笔。 方程（3）最后配方得到（x-1）2=-。因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数都不成立，即原方程无实数根。 这一步骤应先让学生自己尝试解决。 如何配方：实际上是利用a2+2ab+b2=（a+b）2把二次项系数化为1，可以把注意力放在一次项系数上，为正确配方带来方便。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 配方关键： 配方时，方程两边加一次项系数一半的平方。 二次项系数不为1时，一般，先把二次项系数化为1，然后再配方。 板书设计 解一元二次方程--配方法 配方法 探索配方法解一元二次方程 复习开平方法解一元二次方程 通过复习直接开平方法解一元二次方程，推广得到配方法将方程配成（x+n）2=p的形式。 教后反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式。配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础。配方法是一种重要的代数变形工具，引导学生完全掌握该法。 学科网（北京）股份有限公司 $