25.2.2 第1课时 一元二次方程根的判别式 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根的判别式，通过“小强快速判断方程解的情况”情境导入，从配方法推导求根公式过渡到判别式概念，搭建从具体求解到抽象判断的学习支架。 资料亮点在于探究新知环节用配方法推导公式培养抽象能力和推理意识，典例精析结合等腰三角形边长问题体现模型意识，情境导入与小组讨论激发主动性。助力学生提升逻辑推理和问题解决能力，为教师提供结构清晰、实例丰富的教学方案。

25.2.2　公式法 第1课时　一元二次方程根的判别式 教学设计 课题 25.2.2　第1课时 一元二次方程根的判别式 授课人 教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 4．通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，并会用数学的语言表达世界. 教学重点 一元二次方程求根公式的推导，利用根的判别式进行相关的判定和计算. 教学难点 一元二次方程求根公式法的推导. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！ 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 一元二次方程根的判别式 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c�也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴≥0 直接开平方，得：x+=± 即x= ∴x1=，x2= 归纳：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过问题解决，利用配方法推导一元二次方程的根，总结判别式的概念. 典例精析 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 【解】（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4， ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0． 这里a＝4，b＝－12，c＝9． ∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． （3）把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0． 这里a＝5，b＝－6，c＝5． ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0， ∴原方程没有实数根． 【方法总结】给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【例2】已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 【解】（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0， 解不等式，得k＜． ∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0， 故k的取值范围是k＜且k≠0． （2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2， 则方程为2x2－3x＋1＝0． 应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝． 【方法总结】应用判别式求字母的取值范围的思路 利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b²—4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解. 【拓展提升】 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． 【解】（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0， 解得k＝36． 此时方程为x2－12x＋36＝0， 解得x1＝x2＝6． 长为3，6，6的线段能构成等腰三角形． （2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根． 把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27， ∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9． ∵3＋3＜9， ∴长为3，3，9的线段不能构成三角形， ∴k＝27不符合要求． 综上，k的值为36． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生对利用根的判别式判断一元二次方程的根的能力. 随堂检测 1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根 答案：A. 2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜1　　 B．a＞1　　　C．a≤1　　　D．a≥1 解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0， 解得a≥1， ∴a的取值范围为a≥1． 答案：D. 3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ． 解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞－． 又二次项系数不为0， ∴m≠0，即m＞－且m≠0． 答案：m＞－且m≠0. 4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________． 解析：分两种情况讨论． （1）若方程为一元一次方程，则k＝0， 方程化为－4x＋2＝0，解得x=. （2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0， 即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0， 解得k≤2且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≤2． 答案：k≤2. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1.方法层面：学习了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体会 “代数运算预判结论” 的思想，通过计算判别式的值，无需解方程即可直接判断根的类型，感受从 “具体求解” 到 “抽象判断” 的数学方法。 2.知识内容层面：掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式 Δ=b2−4ac，明确： Δ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ=0 ⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根理解判别式的推导来源（配方法），归纳判别式在判断根的情况、求参数取值范围中的应用。 3.概念联系与区别：明确根的判别式是配方法的直接产物，与一元二次方程的一般形式紧密关联；强调 “a≠0” 是判别式存在的前提，若a=0，则方程退化为一元一次方程；区分 “判别式判断根的存在性”与“求根公式求解根”的逻辑关系：判别式是求根公式的前提，求根公式是判别式与根的具体表达. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对根的判别式的理解. 作业布置 《课时训练》p7—p8练习题 板书设计 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔方程没有实数根. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $