第11讲 圆周角10大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第11讲 圆周角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆周角的概念辨析 题型2 圆周角定理 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4 直径所对的圆周角是直角 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 题型6 已知圆内接四边形求角度 题型7 求四边形外接圆的直径 题型8 圆周角中的最值问题（隐圆） 题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题 题型10 圆周角综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形定理 1. 掌握圆周角的定义，理解并熟记圆周角定理，能区分圆周角与圆心角的数量关系。 2. 熟练掌握直径与圆周角的推论，明确90°圆周角所对弦为直径，可用于几何计算与证明。 3. 掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，精准解决角度求解问题。 4. 通过定理探究推导，提升数形结合、逻辑推理能力，学会规范几何解题步骤。 5. 规避定理易错误区，养成严谨审题、规范论证的习惯，提升几何综合解题素养。 学习重点：掌握圆周角定理、直径圆周角推论及圆内接四边形性质，熟练用于角度计算与简单证明。 学习难点：精准识别图形隐含条件，辨析定理适用前提，灵活综合运用性质解决几何难题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆心角与弧的定义 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 即时即练 1．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：∵的度数为， ， ， 为中点， ． 故选：D． 2．如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 知识点02 圆心角定理及其推论 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 即时即练 4．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 5．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 6．如图，是的弦，是的中点，交于点．    （1）若，则_________； （2）若，则_________． 【答案】 60 4 【分析】（1）根据是的中点可得，易知； （2）根据垂径定理可得． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是的中点，过圆心，， ∴． 故答案为：①60，②4． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 知识点03 圆周角 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 即时即练 7．下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 8．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 9．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 【答案】 ，， ， 【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键． 根据圆周角的概念直接得到答案． 【详解】解：弦所对的上的圆周角为，所对的上的圆周角为，，则弦所对的圆周角有，，； 劣弧所对的圆周角有，； 故答案为：，，；，． 知识点04 圆周角定理 圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 即时即练 10．如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】/112度 【详解】解：，， ． 11．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为__________． 【答案】/51度 【分析】作出辅助线，根据直径所对的圆周角为可得，再结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴ ． 12．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 知识点05 圆内接四边形及其性质 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 即时即练 13．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 14．如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 【答案】15 【分析】先根据圆的内接四边形求解，然后根据圆周角定理求解，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 15．如图，已知四边形内接于，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由内接四边形性质可得，从而有，然后通过等角对等边即可求证； （）连接，通过三角形内角和定理可得，由圆周角定理得，然后证明为等边三角形，再根据等边三角形性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， 由圆周角定理得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 题型1 圆周角的概念辨析 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 4．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 5．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________． 【答案】 6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE 【分析】根据圆周角的定义进行判断即可. 【详解】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE. 故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE. 【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 题型2 圆周角定理 6．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 【详解】解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 8．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 9．如图，在中，是直径，点C在上，且，连接，．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】连接，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得，结合可求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴． 10．如图，是的圆周角，．求的大小． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【易错警示】 运用圆周角定理时，易忽略同弧或等弧的前提，随意判定圆周角相等。混淆圆周角与圆心角倍数关系，误用角度公式。易错点还有忽视直径所对圆周角为直角、圆内接四边形性质，遗漏分类讨论导致解题出错。 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 11．如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和对应同一段弧，故，又，在中，． 【详解】解：和对应同一段弧， ， 在中，． 12．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】DD 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是的直径 ∴， ∴ 13．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 14．如图，点A、B在上，点C是劣弧的中点，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵点C是劣弧的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型4 直径所对的圆周角是直角 16．如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等求出，根据直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】如图，连接， ∵ 与对着同一条弧， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 17．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，进而得到，根据是的中点，可得，最后利用三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ， ． 18．如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 【答案】47 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 20．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：如图：连接， 由题意得：，， 平分． (2) 【分析】（1）如图：连接，根据作图过程可知，，，可证可得即可证明结论； （2）由圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：是半圆的直径， ， ， 由（1）可得：平分 ，即的度数为． 【易错警示】 使用直径所对圆周角为直角解题时，易错用非直径弦构造直角，误用直角结论。忽略直角顶点必须在圆上的核心条件，不会主动连接直径端点构直角三角形，遗漏隐性条件，造成几何推理与计算失误。 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 21．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 22．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 23．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可知点在以点为圆心的圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，的斜边与半圆的直径重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 25．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1)是等边三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 【易错警示】 运用该定理时，容易忽略角的顶点必须在圆上，误将圆外直角对应弦当作直径。混淆定理正反推导逻辑，仅凭直角直接判定弦为直径，缺少圆周角前提验证，造成几何判断错误。 题型6 已知圆内接四边形求角度 26．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 27．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 28．如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 【答案】/40度 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出，在直角三角形中求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解． 【详解】如图，连接， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的直径 ， ∴， 在中，， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 29．如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ， ． 30．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的度数； (2)若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，再根据三角形的内角和定理，结合已知求得，进而可求解； （2）先根据弧和圆心角的关系求得，再分点F在优弧上和点F在劣弧上，利用圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，则，而， ∴， ∵，， ∴. （2）解：如图，连接、、， ∵分为的两部分， ∴， 若点F在优弧上， ∴； 若点F在劣弧上， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系和运用是解答的关键． 【易错警示】 求解圆内接四边形角度时，易记错对角互补核心性质，误用外角等于内对角结论。常混淆内角、外角关系，忽略四点共圆前提乱套公式，不区分邻角与对角，导致角度计算出现偏差、推理失误。 题型7 求四边形外接圆的直径 31．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 32．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 33．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 34．如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出，结合，推出，即可证明； （2）作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得出过圆心，利用勾股定理求得，进一步求得，，连接，设的半径为，则，在中，由得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 为等边三角形； （2）解：如图，作于， ， ， 过圆心， ，，， ， ， ， ， ， 连接，设的半径为，则， 在中，， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判断，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 35．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 题型8 圆周角中的最值问题（隐圆） 36．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 37．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 38．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 39．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 【答案】 【分析】根据题意可证得，则 ，从而可以确定在以的直径的圆上运动，取的中点，连接，则当 共线时，的值最小，据此可求得，进一步即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则在以的直径的圆上运动， 如图，以的直径画，连接，与圆交于点，延长交于，连接并延长，交于点， 当共线时，长度最小，此时即为所求， ，， ∴， 又∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．如图，矩形中，，，P为边的中点，M，N分别为边，上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】延长交的延长线与点，由矩形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再得出，作的外接圆，连接，，，由圆周角定理得出，过点O作，由等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质得出，故当点P，点O，和点H三点共线时，x最小， 此时，即，求出x的值，即可进一步求出答案． 【详解】解：延长交的延长线与点， ∵矩形中，，，P为边的中点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 作的外接圆，连接，，， ∵， ∴， 过点O作， ∵， ∴，， ∴ 设，则， ∴， ∴， 要使最小，则x最小， 故当点P，点O，和点H三点共线时，x最小， 此时，即， 解得， ∴， 即的最小值为． 题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题 41．如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、、，设与交于点，利用正方形内接于圆的性质得为直径，，由点是弧的中点推出垂直平分，再结合正方形性质、勾股定理建立边长关系，求解长度． 【详解】解：连接、、、，设与交于点， 由，，， 故对角线是的直径，对角线是的直径，， 已知点为弧的中点， ，垂直平分，， 又， 是等腰直角三角形， ， 设正方形边长，则， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 根据勾股定理，． 42．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，作于，于，利用圆周角定理和角平分线性质证明，进而证得，求出和的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 43．如图，是的直径，点，在上，，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，作交延长线于点，连接，则，根据等圆心角对等弦得到，根据圆周角定理得到，进而得到，利用勾股定理求出的长，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，作交延长线于点，连接，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 44．如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 45．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 题型10 圆周角综合 46．如图，在中，将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D，，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接过点作于点连接作于点求出，，求出，由垂径定理得到，证明是等边三角形，则，设，则，，得到，在中利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接过点作于点连接作于点如图所示：则 ∵将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由折叠性质得：等于原来的优弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴， ∴． 47．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，在中，于点，点在边上，与交于点于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，交于点H，则，由等腰得出，，，从而有，得到点B，C，D，F四点共圆，因此，从而是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，又，因此，．设，，根据，求得，再在中由勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：过点D作，交于点H，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点B，C，D，F四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， 解得， ∴． 49．如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作圆，圆心为，交于点，连接，根据直径定理以及含角的直角三角形的性质得出圆的半径长度，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点 连接， ∵， ∴为直径， ∴点共线， 此时，， ∴， ∴的半径为2， 过点作于点，连接，连接交于点， 此时，的值最小， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即线段的最小值为． 50．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 1．已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 2．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 4．如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数为， 故选：C. 6．如图，四边形内接于，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用等腰三角形性质得出，最后利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先依据量角器刻度得出、的度数，再利用圆周角定理求出与的度数，最后借助三角形外角性质，可求出度数． 【详解】解：连接， 点刻度为，点刻度为， 的度数为， 所对圆周角， 点刻度为，点刻度为， 的度数为， 所对圆周角， 是的外角， ， 又， ． 8．如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接，利用等腰三角形的性质求出，然后连接，结合圆周角定理求出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴， ∴． 9．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，首先根据圆周角定理可知，结合，在中由勾股定理解得的长度；根据题意易知为的中位线，易得，当经过原点，即为的直径时，取最大值，此时也取最大值，然后确定答案即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∵点、分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， 当经过原点，即为的直径时，如下图， ∴此时取最大值，为，且也取最大值， ∴长的最大值． 11．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 12．如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 13．如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 【答案】116 【分析】连接，利用求出，进而求出，最后利用圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】如图，连接． 是的直径， ． ， ． ． 四边形是的内接四边形， ， ． 14．如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，是的直径，点，，在上（，在直径的下方，在直径的上方），则___________． 【答案】/度 【分析】连接，利用圆周角定理解答即可， 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，是的外接圆，是的直径，点是上一点，已知，则___________． 【答案】20 【分析】本题考查了圆周角定理． 连接，可知，即即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，等腰三角形的顶角为，以腰为直径作半圆，分别交、于点D、E． 则____________________ ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．连接，，由为直径可得出，由利用等腰三角形的三线合一即可得出，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵为直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 18．如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，借助于圆解决线段的最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．判定出，得出，确定点在以为直径的圆弧上运动，进而可求出的最小值． 【详解】解：在正方形中，，且， ， 又，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， ∵，分别是边和上的动点， ∴当点E与点D重合、点F与点A重合时，取得最小值， 由勾股定理得， ， 即的最小值是， 故答案为：． 19．如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角的定理，圆心角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理，圆心角定理，得，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，，，是内部的一个动点，且始终有，则长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 21．如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 22．如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质，根据圆周角定理可求出，根据圆的内接四边形的性质和邻补角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴． 23．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 24．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若点在上，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答； （2）利用圆内接四边形的性质可得，求出，根据角平分线定义即可求出结果． 【详解】（1）解：平分， ， ∵， ∴， ∴， 在的内接四边形中，， ， ， ∴， ； （2）解：，四边形为圆内接四边形， ， ， 平分， ． 25．如图，是的直径，，于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）解：连接，，交于点，则， ， ，， ，，， ， 的半径为， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 26．如图，是的直径，弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ． （2）解：连接， 设的半径为， 是的直径，， ，． ． ，， ，． ． 解得． 27．如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，等量代换得出，等角对等边即可得证； （2）由（1）得出，勾股定理得出，连接，设，则，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）得， ∴在中，， 连接，设，则， ∴在中，， 即， 解得：，即的半径为． 28．如图，点B是上一点，为的直径，点C在上且平分． (1)连接， _____． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，由等弧所对的圆周角相等，可得，由同弧所对的圆周角相等，可得； （2）由点C在上且平分，可得，再由勾股定理解，即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， 点C在上且平分， ， ， ， ， 故答案为：45； （2）解：为的直径， ， 点C在上且平分， ， ， ， 在中，， ． 29．如图，在中，，以为直径的圆交于点D，交于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求半圆的直径及菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，是解题的关键： （1）圆周角定理得到，三线合一，得到，结合，得到四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）连接，设，得到，根据勾股定理，得到，列出方程求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）连接，则， ∴， 设，则：， 由（1）可知：， 由勾股定理，得：， 即， 解得或（舍去）； ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 30．如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， (1)求证：． (2)若的半径为，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意得，由圆周角定理得；根据平行线性质得，可得 （2）连结，求得，设，则，由勾股定理得，求出，可得，最后根据四边形的面积的面积的面积解答即可． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∴，又， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∵，，， ∴，， ∴四边形的面积的面积的面积=． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆周角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆周角的概念辨析 题型2 圆周角定理 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型4 直径所对的圆周角是直角 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 题型6 已知圆内接四边形求角度 题型7 求四边形外接圆的直径 题型8 圆周角中的最值问题（隐圆） 题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题 题型10 圆周角综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形定理 1. 掌握圆周角的定义，理解并熟记圆周角定理，能区分圆周角与圆心角的数量关系。 2. 熟练掌握直径与圆周角的推论，明确90°圆周角所对弦为直径，可用于几何计算与证明。 3. 掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，精准解决角度求解问题。 4. 通过定理探究推导，提升数形结合、逻辑推理能力，学会规范几何解题步骤。 5. 规避定理易错误区，养成严谨审题、规范论证的习惯，提升几何综合解题素养。 学习重点：掌握圆周角定理、直径圆周角推论及圆内接四边形性质，熟练用于角度计算与简单证明。 学习难点：精准识别图形隐含条件，辨析定理适用前提，灵活综合运用性质解决几何难题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆心角与弧的定义 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 即时即练 1．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 3．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 知识点02 圆心角定理及其推论 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 即时即练 4．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 5．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 6．如图，是的弦，是的中点，交于点．    （1）若，则_________； （2）若，则_________． 知识点03 圆周角 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 即时即练 7．下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 8．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 9．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 知识点04 圆周角定理 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 即时即练 10．如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 11．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为__________． 12．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 知识点05 圆内接四边形及其性质 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 即时即练 13．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 15．如图，已知四边形内接于，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 题型1 圆周角的概念辨析 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________． 题型2 圆周角定理 6．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 9．如图，在中，是直径，点C在上，且，连接，．若，则的度数是______． 10．如图，是的圆周角，．求的大小． 【易错警示】 运用圆周角定理时，易忽略同弧或等弧的前提，随意判定圆周角相等。混淆圆周角与圆心角倍数关系，误用角度公式。易错点还有忽视直径所对圆周角为直角、圆内接四边形性质，遗漏分类讨论导致解题出错。 题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等 11．如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 14．如图，点A、B在上，点C是劣弧的中点，若，则的度数为____． 15．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 题型4 直径所对的圆周角是直角 16．如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 19．如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 20．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【易错警示】 使用直径所对圆周角为直角解题时，易错用非直径弦构造直角，误用直角结论。忽略直角顶点必须在圆上的核心条件，不会主动连接直径端点构直角三角形，遗漏隐性条件，造成几何推理与计算失误。 题型5 90度的圆周角所对的弦是直径 21．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 23．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 25．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【易错警示】 运用该定理时，容易忽略角的顶点必须在圆上，误将圆外直角对应弦当作直径。混淆定理正反推导逻辑，仅凭直角直接判定弦为直径，缺少圆周角前提验证，造成几何判断错误。 题型6 已知圆内接四边形求角度 26．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 28．如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 29．如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 30．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的度数； (2)若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数． 【易错警示】 求解圆内接四边形角度时，易记错对角互补核心性质，误用外角等于内对角结论。常混淆内角、外角关系，忽略四点共圆前提乱套公式，不区分邻角与对角，导致角度计算出现偏差、推理失误。 题型7 求四边形外接圆的直径 31．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 32．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 33．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 34．如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 35．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 题型8 圆周角中的最值问题（隐圆） 36．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 37．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 38．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 39．边长为4的正方形中，点E，F分别是，边上的动点，且，与相交于点G，当长最小时，的长是______ 40．如图，矩形中，，，P为边的中点，M，N分别为边，上的动点．若，则的最小值为__________． 题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题 41．如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 42．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 43．如图，是的直径，点，在上，，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 44．如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 45．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 题型10 圆周角综合 46．如图，在中，将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D，，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 47．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 48．如图，在中，于点，点在边上，与交于点于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 49．如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 50．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 1．已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 10．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是（   ） A．10 B．5 C． D． 11．如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 12．如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 13．如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 14．如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 15．如图，是的直径，点，，在上（，在直径的下方，在直径的上方），则___________． 16．如图，是的外接圆，是的直径，点是上一点，已知，则___________． 17．如图，等腰三角形的顶角为，以腰为直径作半圆，分别交、于点D、E． 则____________________ ． 18．如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是_________． 19．如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为________． 20．如图，在中，，，是内部的一个动点，且始终有，则长的最小值是______． 21．如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 22．如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 23．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若点在上，且，求的度数． 25．如图，是的直径，，于点E，连接交于点F． (1)求证：． (2)若，，求弦的长． 26．如图，是的直径，弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 27．如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 28．如图，点B是上一点，为的直径，点C在上且平分． (1)连接， _____． (2)若，，求的长． 29．如图，在中，，以为直径的圆交于点D，交于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求半圆的直径及菱形的面积． 30．如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， (1)求证：． (2)若的半径为，，求四边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $