2026-2027学年高一上学期5.1 任意角与弧度制 新授课讲义

本讲义聚焦“任意角和弧度制”核心知识点，系统梳理从传统角概念到任意角（含正角、负角、零角）的扩展，明确象限角、终边相同角的判定方法，再引入弧度制实现角与实数的对应，结合扇形弧长及面积公式，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以思维导图搭建知识框架助力学生用数学眼光整合内容，知识清单条理呈现概念逻辑培养数学思维，巩固练习融入二十四节气、齿轮运动等实例强化数学语言应用。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识迁移能力。

5.1任意角和弧度制 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角: 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． 二、弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 三、扇形的弧长公式和面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 巩固练习 一、单选题 1．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 2．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【知识点】确定已知角所在象限 【详解】， 因为是第四象限角，所以是第四象限角. 3．下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据任意角的定义求解即可. 【详解】终边与的终边重合的角为. 因为，又，故1490°与的终边相同，所以C正确. 对于其它选项，，均不符合. 4．二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】任意角的概念 【分析】根据图象判断地球为逆时针旋转，结合条件中的即可求解. 【详解】由题意得从“秋分”开始，进行逆时针旋转， 经历秋分—寒露—霜降—立冬—小雪，共， 故地球在黄道上运动的度数为. 5．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据角与角的终边相同可确定正确的表示方法. 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 6．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【知识点】确定已知角所在象限、任意角的概念 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 7．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、任意角的概念 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 8．下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、确定n分角所在象限、根据图形写出角（范围）、任意角的概念 【分析】结合任意角的概念、象限角的范围、终边相同的角的表示以及扇形的面积和弧长公式逐一验证各选项． 【详解】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 9．两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算 【分析】通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 10．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算、基本（均值）不等式的应用 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 二、多选题 11．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【分析】确定第四象限在一个周期内的基础开区间（如270°到360°或到 0°），再给两端加上360°的整数倍以涵盖所有同终边的角即可求解. 【详解】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 12．若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 【答案】BC 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定已知角所在象限 【详解】因为是第四象限角，所以， 则，所以是第一象限角，故B正确； 而，所以是第三象限角，故A错误； 而，则是第一象限角，故C正确； 而，则是第三象限角，故D错误. 13．（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】找出终边相同的角 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确， 三、概念填空 14．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_______到另一个位置所形成的_____ 【答案】 旋转 图形 【知识点】任意角的概念 【详解】略. 四、填空题 15．已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【详解】扇形半径 ，圆心角为， 所以扇形面积为. 16．从凌晨点到点，时针转了______弧度． 【答案】 【知识点】角度化为弧度、弧度的概念 【详解】因为是顺时针所以是负角， 所以时针从时走到时，三小时时针转动角度为弧度. 17．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 五、解答题 18．如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 19．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 20．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1任意角和弧度制 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的 和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按 旋转形成的角 负角: 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向 且旋转量 ，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按 方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． 二、弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 弧度数度数 三、扇形的弧长公式和面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 巩固练习 一、单选题 1．半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 2．678°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．下列各角的终边与的终边重合的是（    ） A．190° B． C．1490° D． 4．二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为（   ） A． B． C． D． 5．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 6．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 7．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 8．下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 9．两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 10．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（多选）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 12．若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 13．（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 三、概念填空 14．角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_______到另一个位置所形成的_____ 四、填空题 15．已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 16．从凌晨点到点，时针转了______弧度． 17．已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 五、解答题 18．如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 19．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 20．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $