第21章 二次函数与反比例函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材沪科版

**基本信息** 沪科版新教材第21章二次函数与反比例函数单元卷，以真实情境与分层设计为特色，覆盖核心知识点，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/40|二次函数图象性质、反比例函数定义|结合几何图形（如正方形与抛物线交点）考查数形结合| |填空|4/20|函数平移、面积计算|射水鱼水流抛物线应用，体现数学眼光观察现实| |解答|9/90|综合实践（柏塘山茶利润模型、喷泉设计）|乡村振兴与工程情境建模，培养数学思维与表达能力|

第21章 二次函数与反比例函数 单元自测卷 【新教材，沪科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 3．（4分）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 4．（4分）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（4分）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 6．（4分）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．（4分）在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 9．（4分）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”；②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”；④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 12．（5分）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 13．（5分）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 14．（5分）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题（共90分） 15．（8分）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 16．（8分）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 17．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 18．（8分）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 19．（10分）综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 (1)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 20．（10分）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 21．（12分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 22．（12分）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 23．（14分）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数 单元自测卷 【新教材，沪科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 3．（4分）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 4．（4分）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 5．（4分）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 6．（4分）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 7．（4分）在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 8．（4分）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 9．（4分）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意表示出和，对于①，使用勾股定理进行计算即可；对于②，容易得到，根据二次函数的性质计算最值即可；对于③，在②的基础上，写出四边形的面积的表达式，代入求值并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 对于①，当时，，， 由勾股定理可得，，故①错误； 对于②，， ∵， ∴当时，取得最大值，故②正确； 对于③，由②可知，， ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴③正确； 综上，正确的结论有2个． 10．（4分）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”；②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”；④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（5分）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 12．（5分）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 13．（5分）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】5 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质得到和的长度，利用线段中点的性质求出的长，最后根据矩形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 四边形为矩形， ， ，， 点是边的中点， ， 矩形的面积为． 14．（5分）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 三、解答题（共90分） 15．（8分）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． 16．（8分）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 17．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 18．（8分）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 19．（10分）综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 (1)根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； (2)若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 【答案】(1) 一次， (2) 定价为80元/千克时每日销售利润最大，最大日销售利润为3200元 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断函数类型，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于每千克利润乘以日销售量，得到利润关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大利润和对应定价即可. 【详解】（1）解：由表格数据可知，销售单价x每增加5元，日销售量y减少10千克，因此y是x的一次函数； 设，将和代入得：，解得； ∴； （2）解：设每日销售利润为元，由题意得，， 整理得， ∴， ， 当时，取得最大值，最大值为； 答：该茶厂应将定价设为80元/千克，此时最大日销售利润为3200元. 20．（10分）综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上．    问题解决 (1)求点C 的坐标． (2)求抛物线的解析式． (3)要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)1.8米 【分析】（1）先由轴，确定C 的纵坐标为5，再代入可求出点C的横坐标，即可得出点C的坐标； （2）根据抛物线的形状与相同，可设抛物线的解析式为 ，再代入，求解即可； （3）对于，令，得，解得或 (舍去)，进而可求出． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴点 C 的纵坐标为5； 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得或 (舍去)， ∴点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的形状与相同， ∴可设抛物线的解析式为 ， 由题意知，抛物线经过点 C，E， ∴将，分别代入 ，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：令， 解得或 (舍去).     ∵，，且喷头 E 喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置， ∴（米）． 21．（12分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 22．（12分）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式为，结合已知可得 ，，， ，则，，，则可求出，根据二次函数的性质得出当时，S有最大值，此时，即可求解； （3）根据题意判断出点C与点B是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，根据平移规律得出，则新抛物线的对称轴为直线，，根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，根据等边对等角得出，设，根据两点距离公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴ ，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 23．（14分）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $