21.2二次函数的图象和性质能力提升练习2026-2027学年数学沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|顶点坐标、对称轴、图象判断|单选题（1-10题）直接考查概念，如顶点式应用（题6），夯实基础| |能力提升|函数性质综合、平移对称、不等式关系|填空题（16-19题）结合推理，如对称抛物线求解（题16），提升逻辑思维| |综合应用|实际情境建模、几何综合|解答题（27-29题）联系生活，如实心球投掷轨迹（题28），强化模型应用与创新意识|

2026-2027学年数学沪科版九年级上册 21.2二次函数的图象和性质能力提升练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点叫做自反点．下列函数的图象中不存在自反点的是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的顶点坐标是(      ) A． B． C． D． 8．如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．把二次函数配方，可得（   ） A． B． C． D． 11．已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 12．设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．已知某函数图象经过，，三个点，则该函数表达式可能为（     ）． A． B． C． D． 14．已知点在抛物线上，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若关于的分式方程有增根，则增根可能是（     ） A．2 B． C．或3 D．2或 二、填空题 16．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 17．已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式：________． 18．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是_______． 19．老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质___________． 20．某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 三、解答题 21．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)当时，写出的取值范围． 22．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 23．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，连接． (1)若与坐标轴平行，则的长为； (2)若，，满足，作轴，垂足为，轴，垂足为． 写出点的横坐标（用含的式子表示），求四边形的面积； 连接，，，当的面积大于而小于时，请直接写出的取值范围． 24．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 25．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点在此抛物线上，试比较的大小； (3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，判断和的大小关系：________； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 27．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 28．掷实心球是南宁市中考体育考试的项目．如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，此时距离地面． (1)求关于的函数表达式； (2)南宁市体育中考评分标准（女生）如下表所示： 成绩（分） 距离（米） 该女生在此项考试中获得多少分，请说明理由． 29．已知二次函数图像的顶点在二次函数（）图像上，令． (1)若函数的最大值为，求的值； (2)判断使成立的的个数，并说明理由； (3)当时，判断下列结论中正确的有哪些，并对其中一个正确的结论说明理由． ①先随着增大而增大，再随着增大而减小； ②若的值始终大于，则的取值范围为； ③若，则的最大值小于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C B B A D B 题号 11 12 13 14 15 答案 C C C D D 1．B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握二次函数和一次函数的性质，是解题的关键．根据，直线与轴交于负半轴，根据时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下，进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴直线与轴交于负半轴； 当时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，当时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 2．B 【分析】先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出，因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，故点为顶点坐标． ， 二次函数的图象还过，两点， ，， 比较点和点到对称轴的距离， 即，且， ． ∵， 恒为正， ∵， 必为负，必为正， 故有， 解得：． 3．B 【分析】分别根据函数的图象和函数的图象判断a的符号是否一致即可得解． 本题主要考查了二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的右侧． 故选：C． 5．C 【分析】根据自反点定义，自反点坐标满足，若函数图象不存在自反点，则联立函数与得到的方程无实数解，联立方程判断解的情况即可得到结果. 【详解】解：∵自反点的横纵坐标互为相反数， ∴若函数存在自反点，则联立与函数方程有实数解； 对选项A：解，得， 解得，方程有解，存在自反点； 对选项B：联立，得， 即，方程有实根，存在自反点； 对选项C：联立，得， 整理得， 判别式，方程无实根，不存在自反点； 对选项D：联立，得， 整理得， 判别式，方程有实根，存在自反点； ∴不存在自反点的是选项C. 6．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为这一性质来求解. 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为 又∵， ∴该二次函数的顶点坐标为 故选：B． 7．B 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点是．直接由二次函数解析式求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，把一般式化为顶点式，使用配方法将二次函数化为顶点形式，再结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 11．C 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 12．C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 13．C 【分析】根据三个点的坐标特征，得出函数图象关于原点对称，且当，y随x的增大而增大． 【详解】解：根据函数图象经过，， 可以得到，此函数图象关于原点对称， 根据函数图象经过， 及， 可以得到，此函数图象，当，y随x的增大而增大， 对于选项A，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项A不符合题意； 对于选项B，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项B不符合题意； 对于选项C，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于原点对称，故选项C符合题意； 对于选项D，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于y轴对称，故选项D不符合题意． 14．D 【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线上点到对称轴距离越大，对应函数值越大的规律比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且， ∴． 15．D 【分析】根据分式方程的增根是使分式方程分母为零的根，先找出分母为零的x值，再结合化简后的整式方程验证对应m是否存在，即可得到结论． 【详解】解：∵原分式方程的分母为，令，得或，因此可能的增根为或， 将原方程两边同乘去分母， 得：， 化简得：，整理得， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， 当增根为时，，解得，存在，因此是可能的增根， ∴增根可能是或． 16． 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． 17．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数有最大值则二次项系数小于0，图象经过原点则常数项为0，据此构造符合条件的二次函数表达式即可． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， ∵二次函数有最大值， ∴二次项系数， ∵函数图象经过原点， ∴将代入，得，即， 取，，则该二次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 18．或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．比较两图象的位置关系得出答案即可． 【详解】解：观察图象可知不等式的解集是或． 故答案为：或． 19．②④/④② 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大； 开口向上，但与的图象形状相同； ②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象的形状相同； 所以，符合上述3个性质的是②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质． 20． 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【详解】解：整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来． 21．(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，的取值范围为． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、将化为顶点式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将，代入二次函数解析式后，再化为顶点式即可得解； （2）结合二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， 得， 解得， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数解析式为，对称轴为直线， 又二次项系数， 该二次函数在时取最大值，离对称轴越远值越小， 在这个范围内， 时，取最大值， 又， 时，， 故当时，的取值范围为． 22．(1) (2)， 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，求出直线的解析式， 设，则， 则，表示三角形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ∴当时，；当时，解得， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故， 过点P作轴于点F，交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 23．(1)； (2)，；或 【分析】（）由与坐标轴平行，则的长为两点的纵坐标之差； （）先解方程组得到，则根据梯形的面积公式可计算出四边形的面积； 分类讨论：当，，则，解得；当，，，则，解得，而，则，故舍去；当，，，则，解得，于是得到的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点坐标为，与坐标轴平行， ∴平行于轴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由方程组，得， ∵轴，垂足为，轴，垂足为， ∴，，如图， ∴四边形的面积， 当时， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得； 如图，当，， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，故舍去； 如图，当，， ∴ ， 又， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 24．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 25．(1) (2) (3)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∵点在此抛物线上，， ∴； （3）解：∵抛物线平移后得到抛物线， ∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到． 26．(1)①；② (2)的取值范围是或 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； ②分别把点和代入解析式进行求解即可； （2）由题意易得，然后分当时，当时，进而分类进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数解析式为， ①该抛物线的对称轴为； ②把点和分别代入得： ， ∴； （2）解：∵点和是抛物线上的两点，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的取值范围为或． 27．(1) (2)与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 【分析】（1）根据中心对称的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出与舞台平面之间的距离为米，符合要求；再求出时的函数值，得到，再根据，即可求出的长度． 【详解】（1）解：抛物线的顶点，抛物线与抛物线关于点O成中心对称， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意可得，与舞台平面之间的距离为（米）， 与舞台平面之间的距离要不小于2米，且， 与舞台平面之间的距离符合要求； 与y轴之间的距离为米， ， ， ， 点E、F在边上，边与平行于x轴． ， （米）， 答：与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 28．(1) (2)该女生获得8分，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴； （2）解：令，即， 解得，（舍去）， ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为， ∴该女生获得8分． 29．(1) (2)的个数为， 理由：由()得的顶点为， 代入得：， 整理得， ， 代入得，， 令， 整理得一元二次方程， 因为， 所以， ， 因此方程有个不相等的实根，即满足的的个数为， 的个数为． (3)①③正确， 理由：①正确： 由（）得 ∵， ∴， ∴对称轴在区间内，开口向下的二次函数， ∴对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小； ②错误，取值范围是，不是， 理由：当时，恒成立， 当时，; 当时，, 要在恒成立，需时,即 ∴ 当时，， 在区间内也成立，故，不是， 因此结论②错误； ③若，则 【分析】（）先对二次函数配方，得到顶点式，根据抛物线开口向下确定顶点纵坐标为函数最大值，结合最大值为列出方程，计算得出的值； （）求出顶点代入得到参数关系式，联立整理一元二次方程，算出判别式，判定方程有两个不等实根，故满足的有个； （）结合两个抛物线开口、顶点位置判断①正确；通过分析二次函数在区间端点的取值并验证边界值，修正得到的取值范围为，判断②错误；写出的解析式求出最大值，结合作代数比较，证得最大值小于，判定③正确． 【详解】（1）解： ， ∵最大值为，， ， 解得； （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $