2.2 一元二次方程的解法-课时5 公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法解法，通过温故知新回顾配方法步骤，情境导入中逐步推导求根公式，搭建从配方法到公式法的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于推导过程注重培养推理能力，例题涵盖基础计算与几何应用，体现模型意识和应用意识。分层练习与易错提醒助力学生掌握步骤，教师使用可提升教学效率，学生能深化对数学思维的理解。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.5 公式法解一元二次方程 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解一元二次方程求根公式的推导过程 掌握求根公式，会用公式法解一元二次方程 能根据方程特点选择合适的解法 经历求根公式的推导过程，体会从特殊到一般的思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 用配方法解方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的步骤： 化1、移项、配方、开平方 平方根有意义的条件：被开方数非负 思考：能不能用配方法推导出一个通用公式，直接代入系数就能求根？ 温故知新 下面我们用配方法解一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 因为 a ≠ 0 ，所以可在方程两边同除以a，得 移项，得： 配方，得 即 情境导入 因为 ， 所以当 时， 所以 当 时，方程无实数根 新知讲解：配方法 这样，我们就得到 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式: 在一元二次方程的一般形式下，当 时，把各项系数 a , b , c 的值直接代入求根公式，求方程的根的方法称为公式法。 用公式法解下列方程： (1) (2) 例题 1 解：， ， ， ， 解：， ， ， ∴. 新知讲解：公式法解方程的步骤 1. 化：把方程化为一般形式 2. 找：确定的值（注意符号） 3. 算：计算判别式的值 4. 代：若，代入求根公式；若，方程无实数根 5. 写：写出方程的两个根 用公式法解方程： 例题 2 解： ， ， ， 一定要先将方程化为一般形式，再确定 包含前面的符号，例如 中 代入公式时，注意符号变化，负负得正 时，方程没有实数根，不要强行开平方 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 一元二次方程 用公式法求解时，的值分别是（ ） A. 3 , −1 , −2 B. −2 , −1 , 3 C. −2 , 3 , −1 D. −2 , 3 , 1 2. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 判断题：方程有两个实数根（ ） C A × 基础过关练 4. 方程的根为 . 5. 方程有 个相等的实数根. 6. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则 m 的值为 . 两 课后测评·学业效果巩固 1. 用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 6 , 5 , 1 B. 3 , 5 , − 1 C. 3 , 5 , 1 D. 3 , − 5 , 1 课后测评 C 【解析】由题意得，用公式法解一元二次方程的根为，因此。代入得，解得，即方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，故选 C 2. 如图，在矩形中，．以点 D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交 AD 于点 E ，交 BD 于点 F．下列线段的长度是方程的一个根的是（ ）. A. 线段AE的长 B. 线段BF的长 C. 线段BD的长 D. 线段DF的长 课后测评 B 【解析】四边形为矩形，，，。由作法得，因此。解方程，得，因此线段BF的长为方程的一个根，故选 B 3. 若正数 x 满足，则的值为（ ）. A. B. C. D. 课后测评 C 课后测评 【解析】由得， 判别式，解得。 x 是正数，。由两边同除以 x 得， 因此，。 由平方差公式：， 代入得：，故选C 4. 满足方程的所有正整数解有（ ）. A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 课后测评 C 课后测评 【解析】原方程整理为，视为关于 x 的一元二次方程。 判别式：。 方程有正整数解，则为非负完全平方数，且 y 为正整数，因此 y 可取： 时，，不是完全平方数，舍去； 时，，解得（舍去），得解； 时，，不是完全平方数，舍去； 时，，解得或，得解。 综上共有 3 组正整数解，故选C 5. 已知关于 x 的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若 y 是关于 m 的函数，且，则当时，m 的取值范围为 . 课后测评 【解析】是关于x的一元二次方程，判别式。由求根公式得，即或。 。代入得：，解得。结合，得 6. 已知的坐标分别为，点 P 在直线上，若为等腰三角形，则这样的 P 点共有 个. 课后测评 5 【解析】设，分三类讨论： P 在 AB 垂直平分线上，，共 1 个点； ，解得，共 2 个点； ，解得，共 2 个点。 合计个点 7. 将关于 x 的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于 x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，则，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．已知，且，则的值为 . 课后测评 【解析】由得，因此。 代入代数式：。 解方程时，因此原式 = 8. 解方程： ( 1 ) ； ( 2 ) ； 课后测评 ( 1 )方程整理为。，，解得 ( 2 ) ，，解得 9. 已知关于 x 的一元二次方程． ( 1 )若是方程的一个根，求 m 的值； ( 2 )以这个方程的两个实数根作为中的长，当时，是直角三角形，求此时 m 的值 课后测评 课后测评 【解析】( 1 ) 将代入方程得：， 化简得，解得或。 ( 2 ) 方程判别式：， 由求根公式得，即。 ，且。 分两种情况讨论： 当 BC 为斜边时：，解得（舍去），； 当 AC 为斜边时：，解得。综上，m 的值为 0 或 1. 10. 我们把关于 x 的一元二次方程与称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点，当时，方程的两根为，其“友好方程”的两根为 ，观察可以知道之间存在的一种特殊关系为 . 课后测评 课后测评 【解析】根据求根公式可知，方程 的两根为 .由题意得，， 故答案为 . 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.5 公式法解一元二次方程 $