1.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过知识回顾求根公式与判别式，结合问题引入两根表达式的对称性，推导得出定理，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），通过详细推导过程、分层例题（如化一般式求根和积、已知根求参数）及课堂小结明确三类应用，帮助学生提升推理与应用能力，教师可高效备课。

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 第一章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）． 能运用韦达定理不解方程求两根的和与积． 3 能运用韦达定理求方程中的参数及构造满足条件的一元二次方程． 知识回顾 1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式是什么？ x＝ （Δ＝b2－4ac≥0） ． 2．如何利用根的判别式 Δ 判断根的情况？ Δ＞0，有两不相等实根；Δ＝0，有两相等实根；Δ＜0，无实根． 问题引入 如果把两根相加、相乘，根号部分会抵消吗？两根和、积与系数 a、b、c存在固定关系吗？ (m＋)＋(m－)＝2m， (m＋)(m－)＝m2－n． 比较一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)两个实数根的表达式： x1＝－ ＋ ， x2＝ － － ，它们有何特征？ 两个根结构对称，一个加根号、一个减根号． 新知探究 x1＋x2＝(－ ＋ )＋(－ － ) ＝－ － ＋ － ＝－ ＝－ ； x1·x2＝(－ ＋ )(－ － ) ＝－ ＝ － ＝ ＝ ． 获取新知 由此可以得到如下一元二次方程的根与系数的关系： 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根x1，x2，则 上述根与系数的关系也称为韦达定理． 思考：运用韦达定理的前提条件是什么？ ①方程必须是一般形式 ；② Δ＝b2－4ac≥0 (a≠0)． 　 例1 不解方程，判断方程 2x2＋x＝1是否有实数根，若有，求两根的和 与两根的积． 例题讲解 解：把方程 2x2＋x＝1化成一般形式，得 2x2＋x－1＝0． 由 a＝2，b＝1，c＝－1， Δ＝12－4×2×(－1)＝9＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝－． 要先把方程化成一般形式． 讨论交流 利用韦达定理求方程两根的和与两根的积的一般步骤是什么？ (2) 二定：确定 a、b、c 的值（带自身正负号）； (3) 三求：计算判别式Δ，判断根的情况； (1) 一化：把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)； (4) 四代：代入韦达定理 x1＋x2 ＝，x1x2 ＝，求两根的和与积． 注意两根和带负号 新知巩固 (1) x2－4x＋1＝0； 　 (2) 2x2－3x＝2； 解：(1) 由 a＝1，b＝－4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝4，x1·x2＝＝1． (2) 把方程化成一般形式，得 2x2－3x－2＝0． 由 a＝2，b＝－3，c＝－2， Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝，x1·x2＝＝－1． 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积． (3) 3x2＋2x＝0； (4) 4x2＝1． 新知巩固 解：(3) 由 a＝3，b＝2，c＝0， Δ＝b2－4ac＝22－4×3×0＝4＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝0． (4) 把方程化成一般形式，得4x2－1＝0． 由 a＝4，b＝0，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝02－4×4×(－1)＝16＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝0，x1·x2＝＝－． 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积． 例题讲解 例2 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋x＋c＝0 的一个根是， 求另一个根和常数项 c． 解：设方程的另一个根为x₁，由根与系数的关系，得 解①，得 x₁＝． 把 x₁＝ 代入②，得 ×＝ c 所以 c＝＝－1． 所以原方程的另一个根为，常数项为－1． 例题讲解 例3 已知某一元二次方程有两个实数根，且两根之和为2，两根之积 为－3．写出一个满足条件的一元二次方程． 解：设所求一元二次方程为 x2＋px＋q＝0． 根据题意，得 p＝－2，q＝－3． 将 p＝－2，q＝－3代入所设方程，得 x2－2x－3＝0． 经检验，方程有两个实数根． 所以方程 x2－2x－3＝0 即为所求． 任意一个一元 二次方程都能写成 x2＋px＋q＝0的形式． 探究交流 请写出一个一元二次方程，使它的两个实数根分别为2＋和2－． 解：设所求一元二次方程为 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，已知两根分别为 x1＝2＋，x2＝2－． 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝2＋2－＝4＝－， x1x2＝(2)(2－)＝－＝4－3＝1＝． 若令a＝1，则b＝－4，c＝1． 所以所求一元二次方程为x2－4x＋1＝0 (答案不唯一)． 新知巩固 1．已知关于 x 的方程2x2＋mx＋50＝0的一个根是10，求它的另一个 根和m的值． 解：设方程的另一个根为x₁． 由根与系数的关系，得 解得 x1＝ ，m＝－25． 所以方程的另一个根为 ， m 的值为－25． 新知巩固 2．已知关于x 的方程 x2＋bx＋c＝0的两根分别是＋1,－1,求b,c的值． 解：方程两根分别为 x1＝＋1，x2＝－1． 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝＋1＋－1＝2＝－， x1x2＝(＋1)(－1)＝－＝2－1＝1＝． 解得 b＝－2， c＝1． 思维提升 1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根： (1) 如果两根互为相反数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(1) 设方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两个实数根分别为x1，x2． ∵ 两根互为相反数，∴ 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝0＝－． ∵ a≠0，∴ b＝0． ∵方程有两个实数根，∴ Δ＝b2－4ac≥0， 把 b＝0代入，得ac≤0． ∴若两根互为相反数，则方程系数满足的条件为b＝0、ac≤0、a≠0． 思维提升 1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根： (2) 如果两根互为倒数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(2) ∵两根互为倒数， ∴ 由根与系数的关系，得 x1x2＝1＝，解得 a＝c． ∵ 方程有两个实数根，∴ 判别式 Δ＝b2－4ac≥0． 把 a＝c代入 b2－4a2≥0，得 b2－4a2≥0． 解得 b2≥4a2． ∴若两根互为倒数，则方程系数满足的条件为 a＝c、b2≥4a2、 a≠0． 思维提升 2．已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0． (1) 若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 解：(1) ∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且(2k＋1)2－4k(k＋2)＞0， 解得 k＜ 且 k≠0． ∴ k的取值范围是 k＜ 且 k≠0． 思维提升 2．已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0． (2) 若该方程的两根x1、x2满足＋＝－3，求k的值． (2) ∵一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2的两个根是x1、x2， ∴ x1＋x2＝－ ，x1x2＝． ∵ ＋ ＝－3，∴ ＝－3，即 ＝－3，解得k=－5． 经检验，k=－5是原分式方程的解且符合题意，故k的值为－5． 课堂小结 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理公式及适用前提 三类基础应用： ① 不解方程求和、积；② 已知一根求另一根；③ 已知两根构造方程 易错提醒：方程先化一般式，两根和带负号，必须先判断b2－4ac≥0 感谢聆听！ $