2.2 一元二次方程的解法-课时4 因式分解法解一元二次方程（教学课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，课堂导入通过复习零乘积原理、因式分解方法及已学解法，以x²-3x=0为例引导学生发现简便解法，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助理解转化思想。 其亮点在于分类型讲解适合因式分解的方程形式，结合例题和易错提醒培养学生抽象能力与推理意识，如通过十字相乘法分解x²-px-6=0提升解题技能。资料结构清晰，学生能提升思维能力，教师可直接用于教学提高效率。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.4 因式分解法解一元二次方程 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解因式分解法解方程的原理（零乘积原理） 会用提公因式法、公式法解一元二次方程 能根据方程特点选择合适的解法 经历因式分解降次的过程，体会转化思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 零乘积原理：若 ab = 0，则a = 0或b = 0 因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方） 我们学过的解方程方法：直接开平方法、配方法 思考：对于x2 − 3x = 0，除了配方法，有没有更简便的解法？ 温故知新 解方程 情境导入 【解析】左边可以提取公因式x，得 x(x − 3) = 0 根据零乘积原理：x = 0 或 x − 3 = 0 ∴ x1 = 0，x2 = 3 新知讲解：因式分解法 当一个一元二次方程的一边是 0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 新知讲解：适合因式分解法求解的一元二次方程形式 1. 提取公因式法 2. 公式法 3. （拓展）十字相乘法 新知讲解：因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 将方程的右边化为 0 二分 将方程的左边分解成两个一次因式的乘积 三化 令两个因式分别为 0，得到两个一元一次方程 四解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 以 为例 用因式分解法解下列方程： (1) x2 − 4x = 0 (2) x(x − 2) + x − 2 = 0 例题 1 解：提取公因式，得 x(x − 4) = 0 ∴ x = 0 或 x − 4 = 0 ∴ x1 = 0，x2 = 4 解：提取公因式(x − 2)，得 (x − 2)(x + 1) = 0 ∴ x − 2 = 0 或 x + 1 = 0 ∴ x1 = 2，x2 = −1 用因式分解法解下列方程： (1) x2 − 9 = 0 (2) x2 − 6x + 9 = 0 例题 2 解： (x + 3)(x − 3) = 0 ∴ x + 3 = 0 或 x − 3 = 0 ∴ x1 = − 3，x2 = 3 解： (x − 3)2 = 0 ∴ x1 = x2 = 3 右边必须先化为 0，才能用因式分解法，不能直接两边约去公因式 约去含未知数的公因式会丢根，例如 x(x − 2) = x，不能直接约去 x 完全平方型方程有两个相等的实数根，要写成 x1 = x2 = a 的形式 因式分解要分解彻底，每个因式都必须是一次式 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 方程 x2 = 2x 的解是（ ） A. x = 2 B. x = 0 C. x1 = 0，x2 = 2 D. x1 = 0，x2 = − 2 2. 方程 (x + 3)(x − 2) = 0 的解是（ ） A. x = − 3 B. x = 2 C. x1 = 3，x2 = −2 D. x1 = −3，x2 = 2 3. 判断题：方程 x2 − 4 = 0 的解为 x = 2（ ） C D × 基础过关练 4. 方程 x2 + 6x + 9 = 0 的根为 . 5. 代数式 x(x − 1) 和 3(1 − x)的值互为相反数，则 x 的值为 . 6. 用因式分解法解方程 x2 − px − 6 = 0，将等号左边分解后有一个因式是 x − 3，另外一个因式是 x + 2，则 p 的值为 . x1 = x2 = −3 1或3 1 课后测评·学业效果巩固 1. 如果二次三项式 x2 + px + q 能分解成 (x + 5)(x − 1) 的形式，则方程 x2 + px + q = 0 的两个根为（ ） A. x1 = −5 , x2 = −1 B. x1 = −5 , x2 = 1 C. x1 = 5 , x2 = −1 D. x1 = 5 , x2 = 1 课后测评 B 【解析】根据题意得，(x + 5)(x − 1) = 0，解得 x1 = − 5，x2 = 1， 故方程 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1 = − 5，x2 = 1 2. 用因式分解法解方程 9x2 = (x − 2)2 时，因式分解结果正确的是（ ）. A. 4(2x − 1)(x − 1) = 0 B. 4(2x + 1)(x − 1) = 0 C. 4(2x − 1)(x + 1) = 0 D. 4(2x + 1)(x + 1) = 0 课后测评 C 【解析】∵ 9x2 = (x − 2)2，∴ ( 3x )2 − (x − 2)2 = 0，∴ [3x + (x − 2)][3x − (x − 2)] = 0， ∴ (4x − 2)(2x + 2) = 0，∴ 4(2x − 1)(x + 1) = 0，故选 C 3. 关于 x 的方程 x2 − 2mx + m2 = 4 的两个根 x1 , x2 满足 x1 = 2x2 + 3，且 x1 > x2，则 m 的值为（ ）. A. − 3 B. 1 C. 3 D. 9 课后测评 C 【解析】∵ x2 − 2mx + m2 = 4，∴ (x − m + 2)(x − m − 2) = 0， ∴ x − m + 2 = 0 或 x − m − 2 = 0 . ∵ x1 > x2，∴ x1 = m + 2，x2 = m − 2 . ∵ x1 = 2x2 + 3，∴ m + 2 = 2(m − 2) + 3，解得 m = 3 4. 设 m 是方程 x2 + 5x = 0 的一个较大的根，n 是方程 x2 − x − 6 = 0 的一个较小的根，则 m + n 的值是（ ）. A. − 4 B. −3 C. − 2 D. 2 课后测评 C 【解析】x2 + 5x = 0，x(x + 5) = 0，x = 0 或 x + 5 = 0，解得 x = 0 或 x = − 5. ∵ m 是方程 x2 + 5x = 0 的一个较大的根，∴ m = 0. x2 − x − 6 = 0，(x − 3)(x + 2) = 0，x − 3 = 0 或 x + 2 = 0，解得 x = 3 或 x = − 2 . ∵ n 是方程 x2 − x − 6 = 0 的一个较小的根，∴ n = − 2，∴ m + n = 0 + ( − 2 ) = − 2 5. 在实数范围内定义一种运算 “∗”，其规则为 a ∗ b = a2 − b2，根据这个规则，方程(x + 2) ∗ 5 = 0 的解为 . 课后测评 x = 3 或 x = −7 【解析】根据题意得 (x + 2) ∗ 5 = (x + 2)2 − 52 = 0，∴ x2 + 4x − 21 = 0， ∴ (x − 3)(x + 7) = 0，∴ x = 3 或 x = − 7. 故答案为 x = 3 或 x = −7 6. 定义新运算 “※” 如下：当 a ⩾b时，a ※ b = ab + b；当 a < b 时，a ※ b = ab − a. 若 (2x − 1) ※ (x + 2) = 0，则 x = . 课后测评 【解析】①当 2x − 1 ⩾x + 2，即 x ⩾3 时，(2x − 1) ※ (x + 2) = (2x − 1)(x + 2) + (x + 2) = 0， 解得 x = 0 或 x = − 2 . ∵ x ⩾3，∴ x = 0 和 x = − 2均舍去. ②当 2x − 1 < x + 2，即 x < 3 时，(2x − 1) ※ (x + 2) = (2x − 1)(x + 2) − (2x − 1) = 0， 解得 x = − 1 或 x = ，均符合题意 −1 或 7. 解方程： (1) (x − 2)2 = 4； (2) x2 − 6x + 3 = 0； 课后测评 ∵ (x − 2)2 = 4 ∴ x−2 = ±2 ∴ x1 = 4，x2 = 0 ∵ x2 − 6x + 3 = 0 ∴ x2 − 6x + 9 − 9 + 3 = 0 ∴ (x − 3)2 = 6 ∴ x − 3 = ± ∴ x1 = 3 + ，x2 = 3 − 7. 解方程： (3) 2x2 + x − 2 = 0； (4) 5x(x − 1) = x − 1. 课后测评 ∵ a = 2，b = 1，c = − 2 ∴ b2 − 4ac = 12 − 4×2× ( − 2 ) = 17 > 0 ∴ x1 = ，x2 = ∵ 5x(x − 1) = x − 1 ∴ 5x(x − 1) − (x − 1) = 0 ∴ (x − 1)(5x − 1) = 0 ∴ x − 1 = 0 或 5x − 1 = 0 ∴x1 = 1，x2 = 8. 解方程：(x + 4)2 − 4 = . 课后测评 (x + 4 + 2)(x + 4 − 2) = ， (x + 6)(x + 2) = ， (x + 6)2(x + 2) = x + 2， (x + 6)2(x + 2) − (x + 2) = 0， [(x + 6)2 − 1] (x + 2) = 0， (x + 6 + 1)(x + 6 − 1)(x + 2) = 0， (x + 7)(x + 5)(x + 2) = 0 所以 x + 7 = 0 或 x + 5 = 0 或 x + 2 = 0， 所以 x = − 2 或 x = − 5 或 x = − 7. 经检验，x = − 2 或 x = − 5 或 x = − 7 是原方程的解 9. 【阅读与理解】将 x2 + 2x − 35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2 = x · x ，− 35 = ( − 5 )×( + 7 ). ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果等于多项式中的一次项）： x + 7 = 7x x − 5 = − 5x 7x + ( − 5x ) = 2x. ③横向写出两因式：x2 + 2x − 35 = (x + 7)(x − 5). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫 “十字相乘法”. 根据乘法原理：若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0，所以方程 x2 + 2x − 35 = 0 可以这样求解：方程左边因式分解得 (x + 7)(x − 5) = 0，所以原方程的解为 x1 = − 7，x2 = 5 课后测评 【解决问题】 ( 1 ) 试用上述方法和原理解下列方程： ① x2 − 10x + 21 = 0；② x2 + 5x + 4 = 0；③ x2 − 6x − 7 = 0. 课后测评 【解析】( 1 ) ① 方程左边因式分解，得 (x − 7)(x − 3) = 0， ∴ x − 7 = 0 或 x − 3 = 0，∴ x1 = 7，x2 = 3. ② 方程左边因式分解，得 (x + 1)(x + 4) = 0， ∴ x + 1 = 0 或 x + 4 = 0，∴ x1 = − 1，x2 = − 4. ③ 方程左边因式分解，得 (x + 1)(x − 7) = 0， ∴ x + 1 = 0 或 x − 7 = 0，∴ x1 = − 1，x2 = 7. ( 2 ) 解方程：① 2024x2 + 2019x − 5 = 0； ② (1 + )x2 − (3 + )x + 2 = 0 课后测评 ( 2 ) ① 方程左边因式分解，得 (2024x − 5)(x + 1) = 0， ∴ 2024x − 5 = 0 或 x + 1 = 0，∴ x1 = ，x2 = − 1. ②方程左边因式分解，得 [(1 + )x − 1](x − ) = 0， ∴ (1 + )x − 1 = 0或 x − = 0，解得 x1 = − 1，x2 = . 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.4 因式分解法解一元二次方程 $