江西新余市高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷

**基本信息** 以函数、几何与实际问题为载体，通过动点运动、统计分析、运动场跑道计算等情境，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配八年级期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|分式、一次函数图象性质、反比例函数|结合快递件数图象考查函数应用，体现几何直观| |填空题|6/18|函数定义域、多边形内角和、矩形动点|矩形动点问题考查空间观念，渗透创新意识| |解答题|11/84|几何作图、函数综合、统计分析、旋转探究|运动场跑道计算（模型意识）、旋转线段夹角研究（推理能力），贴合核心素养要求|

高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 或  13. 解：点，点，， ，在轴的异侧，轴， ， ， ； 点到轴、轴的距离相等时， ， 或． 当时，， 如图，过点作轴于点，轴于点，则四边形为正方形， ，， ， 在和中 ≌， ， ， ， 当时，，如图， 同理可得≌， ， ， 综合以上可得点的坐标为或．  14.解：直线过点， ， 解得：， 把代入直线的解析式得， 解得． 故直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， ， ． 15. 【小题】 解：如图，即为所求； 【小题】 解：如图，即为所作．   16. 解：与是互为“相关代数式”，  ，  ，  故答案为：；  与是互为“相关代数式”，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，都是有理数，  ，  解得：，  ；  代数式与互为“相关代数式”，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  时二次根式有意义，  ．  17. 最内圈跑道的长度是米  塑胶跑道的面积是平方米  乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元  18. 解：把、代入：，解得， 所以一次函数的解析式为； 把代入反比例函数得， 所以反比例函数解析式为； 设直线与轴交于点，则点坐标为，如图， ； ， 为等腰三角形， 与以、、为顶点的三角形相似， 而为公共边， 当时，∽， 设点坐标为， ，， ， ， ， 点坐标为  19. 解：由班优秀人数和优秀率可得：班人数为人人．  班分出现次数最多次 ，    班合格人数人，    设班人数为，合格人数为人，合格率，  ，  ，    故答案为：，，，；  班的方差为，班的方差为，用方差推断，班的成绩波动较大；  班的合格率为，优秀率为，班的合格率为，优秀率为，  班的合格率与优秀率均比班的大，因此用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些，  故答案为：；；  乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然班成绩的平均分比班低，但从条形图中可以看出，班有名学生的成绩是分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．  20. 在▱中，，，则， 在和中， ， ≌， ， ▱是矩形；   是的中线，，且， ，， 四边形是平行四边形，即； 或  21. ；；； 段关系式为：， 段关系式为：， 相遇时，即，即 解得：                             此时：                   距离图书馆：米    答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是米．  当时，解得        当时，解得     答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，分钟时和分钟时与小军相距米．  22. ，；   当时，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为；   当或 时，是以为腰的等腰三角形．  23. ； ； 互补； 【形成结论】相等或互补； 【运用拓广】 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ≌， ，，， 是等边三角形 ，   【解析】 1. 解：是假分数， ， ， 为自然数， 自然数可取值的个数是或或或，共个， 故选：． 根据假分数的意义，找出分母的范围，求出的范围，再根据自然数的意义可得结果． 本题考查了假分数的意义，掌握假分数的分子大于或等于分母是解题的关键． 2. 解：元， 即买两个这样的保温杯比原来便宜元，故C正确． 故选：． 根据折扣问题列式计算即可． 本题主要考查了百分数的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 3. 解：一次函数的图象经过第二、三、四象限， ， ． 故选：． 由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解之即可得出的取值范围． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 4. 解：设甲的函数解析式为， 将，代入得，， 解得， 甲的函数解析式为； 同理，乙的函数解析式为， 令， 解得，， 从：开始，经过分钟时，当两仓库快递件数相同； 故选：． 待定系数法求甲的函数解析式为；乙的函数解析式为，令，计算求解即可； 本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． 5. 解：、， 图象必经过点，正确，不符合题意； B、， 图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， 图象在第一、三象限内，在每一象限内随的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、当时，， ，正确，不符合题意， 故选：． 根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 6. 本题考查了菱形的性质，二次函数图形的性质，根据菱形的性质得到，结合题意，，则，由二次函数图形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 点的运动路径以的速度运动，点的运动路径以的速度运动，设运动时间为， ，， 如图所示，过点作于点， 在中，， ， ， 当时，， 解得，， ， ， ， 故选：． 7. 【分析】 本题考查求函数的定义域；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非负数． 让被开方数为非负数列式求值即可． 【解答】 解：由题意得， 解得． 8. 试题分析：首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求得内角即可，多边形的内角和为． 正多边形的内角和为， ， 解得：， 每个内角为：， 正六边形的内角和为． 故答案为：，． 9. 解： ， ， ，． ，． 故答案为：，． 已知等式左边利用多项式乘以多项式法则展开，根据多项式相等的条件即可求出与的值． 此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10. 解：中，， 随增大而减小． 又，则． 故答案为：． 根据直线的值，确定直线的增减性，再利用两点的横坐标大小判断和的大小． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键． 11. 解：这件衣服的售价为：元， 这件衣服的利润为：元， 这件衣服的盈利率为：， 故答案为：． 先求出售价，从而得出利润，最后利用盈利率公式计算即可得解． 本题考查了盈利率的计算，解题的关键是找出相等关系． 12. 解：在矩形中，，，，    点是折线上的动点，，  根据勾股定理得，  点不与点重合，  ，  的长为整数或，  当时，根据勾股定理得，  当与重合时，时，，  当点运动到点时，，  的长是，，，  故答案为：，，． 利用勾股定理求出的最大值，从长度范围内选出整数值． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题关键是找到特殊的位置． 13. 由题意得出方程，求出的值可得出答案； 由题意求出或当时，，如图，过点作轴于点，轴于点，则四边形为正方形，证明≌，由全等三角形的性质得出，求出；当时，，同理可求出． 本是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 由题意得到，且，解得，即可求得抛物线的解析式为； 根据题意得，即，变形为，，利用代数式的恒等变形可得即可求出原式的值． 考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的不特征，一次函数图象上点的坐标特征，代数式恒等变形等，第问难度较大，熟练运用代数式的恒等变形是解题关键． 15.   本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． 连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则；   在的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 16. 解：与是互为“相关代数式”，  ，  ，  故答案为：；  与是互为“相关代数式”，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，都是有理数，  ，  解得：，  ；  代数式与互为“相关代数式”，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  时二次根式有意义，  ． 根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，进行化简即可；  根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，进行化简，再根据，都是有理数，列出关于的方程，解方程求出，再代入化简后的式子求出即可；  根据已知条件中的新定义和已知条件，列出算式，再根据平方差公式进行计算，求出，最后根据二次根式的被开方数为非负数进行判断即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是理解新定义的含义． 17. 解：    米，  答：最内圈跑道的长度是米；  塑胶跑道的面积是，      平方米，  答：塑胶跑道的面积是平方米；  甲销售点：      元，  乙销售点：原价元，  减免次数为：，  所以总费用：    元，  由于，  答：乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 根据题意可知直道总长最内圈圆的周长即为最内圈跑道的长度，然后列式计算即可；  用两个长方形面积加上圆环面积即可；  分别求出甲销售点和乙销售点得费用，然后比较即可． 本题考查了圆的周长，圆环面积，长方形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 利用待定系数法求两函数的解析式； 设直线与轴交于点，则点坐标为，然后利用进行计算； 通过计算得到，，则为等腰三角形，若与以、、为顶点的三角形相似，于是要有，利用勾股定理可得 ，解方程求出，然后把的值代入求出对应的函数值即可得到点坐标． 本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握三角形相似的判定与性质和勾股定理． 19. 先通过班优秀人数和优秀率算出班总人数，由班合格人数及合格率算出班人数，再依据众数、合格率、优秀率的定义，结合统计图数据计算对应值；  根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案；  结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可． 本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键． 20. 证明：在▱中，，，则， 在和中， ， ≌， ， ▱是矩形； 证明：是的中线，，且， ，， 四边形是平行四边形，即； 解：是的中线，，且， ，， 四边形是平行四边形， 由矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形判定，需要补充， 由可知，， 当满足条件时，四边形是矩形； ， ， 当满足条件时，四边形是矩形； 故答案为：或． 由平行四边形的性质得到，，从而确定，再证明≌，由全等三角形性质即可得到，由有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证； 由中线定义及，从而得到，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而由平行四边形性质即可得证； 同证法可得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理，只要是等腰三角形即可得到答案． 本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、平行线性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、中线定义、等腰三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 21. 解：分钟， 分钟， 米分． 故答案为：；；． 见答案； 见答案． 【分析】 根据时间路程速度，即可求出值，结合休息的时间为分钟，即可得出值，再根据速度路程时间，即可求出的值； 根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用去减交点的纵坐标，即可得出结论； 根据结论结合二者之间相距米，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：根据数量关系，列式计算；根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式；结合找出关于的含绝对值符号的一元一次方程 22. 在平面直角坐标系中，，满足． 由题意得：， 解得：， ，，，， ， ，； 如图： 动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒， ，， 则：，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况：或， 当时，如图，过作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，即 ， 解得：， 当时，过作轴于，如图， ， 由题意得：，， 则， 解得：， ， 综上所述，当或 时，是以为腰的等腰三角形． 根据非负数的性质得出，的值进而得出答案； 由题意得：，，，，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； 当时，，解方程得到的值；当时，由题意得：，，进而得到方程：，再解方程即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，解答本题的关键是注意分类讨论，不要漏解． 23. 解：如图，延长交于，交于， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ≌ ， 故答案为： 如图，延长交于，交于， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ≌ ， 故答案为： 直线与直线所夹锐角角与旋转角互补， 理由如下： 如图，延长，交于点， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ≌ 直线与直线所夹锐角角与旋转角互补， 【形成结论】 由可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补 故答案为：相等或互补 【运用拓广】 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ≌， ，，， 是等边三角形 ， 由旋转的性质可得，，，可证≌，可得，由三角形内角和定理可求解； 由旋转的性质可得，，，可证≌，可得，由三角形内角和定理可求解； 由旋转的性质可得，，，可证≌，可得，由平角的定义和四边形内角和定理可求解； 【形成结论】 由可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补 【运用拓广】 将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由三角形内角和定理可求，由勾股定理可求解． 本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第6页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西新余市高新区2025-2026学年下学期八年级数学期末质量监测试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是假分数，则自然数可取值的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.一个保温杯的价格是元，打八折销售，买两个这样的保温杯比原来便宜元． A. B. C. D. 3.若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.某快递公司每天上午：至：为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量件与时间之间的函数关系图象如图所示，则从：开始，当两仓库快递件数相同时，经过了(    ) A. B. C. D. 5.已知反比例函数，下列结论中，不正确的是(    ) A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则 6.如图，在菱形中，点为对角线上一动点，沿路径以的速度运动，同时点从出发沿路径以的速度运动．设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图所示．若，则图中的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.函数的定义域是          ． 8.已知一个正多边形的内角和为，则这个多边形的每个内角是      ． 9.如果，那么______． 10.已知点、都在直线上，那么        填“”“”或“”． 11.一件衣服进价为元，标价为元，打九折后售出，那么它的盈利率是       ． 12.在矩形中，，，点是折线上的动点且点不与点重合，当的长为整数时，则的长是            ． 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 在平面直角坐标系中，点，点，点 若，求点的坐标． 当点到轴、轴的距离相等时，在轴上存在点，使，求点的坐标． 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与直线相交于点，直线与轴相交于点． 求直线的解析式． 求的面积． 15.本小题分 如图，在正方形中，点为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹． 在图中，在上作出点，使； 在图中，在的延长线上作出点，使． 16.本小题分 若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． 若与是互为“相关代数式”，则______ ； 若其中是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； 若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 17.本小题分 某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圈直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道取． 最内圈跑道的长度是多少米？ 塑胶跑道的面积是多少平方米？ 为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： 每平方米塑胶跑道价格为元； 购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： 每平方米塑胶跑道价格为元； 购买每满元减元． 18.本小题分 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，坐标分别为、． 求两个函数的解析式； 求的面积； 直线上是否存在一点除外，使与以、、为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点的坐标． 19.本小题分 八年级语文老师对、班学生的语文阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表得分为整数，满分为分，成绩大于或等于分为合格，成绩大于或等于分为优秀． 平均数分 方差 中位数分 众数分 合格率 优秀率 班 班 根据图表信息回答问题： 班参加测试的人数有______人，______，______，______； 用方差推断：______班的成绩波动比较大；用优秀率推断：______班的阅读水平更好些； 甲同学用平均数推断，认为班的阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，认为班阅读水平更好些你认为谁的推断比较科学合理，更客观些？为什么？ 20.本小题分 【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 如图，已知：在▱中，对角线、相交于，且，求证：▱是矩形． 【知识应用】 如图，是的中线，，且，连接，． 求证：； 当满足条件______时，四边形是矩形． 21.本小题分 小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以米分的速度骑行一段时间，休息了分钟，再以米分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程米与时间分的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： ____________，______； 若小军的速度是米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； 在的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距米？ 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动点，分别从点、同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动设运动时间为秒． 求，两点的坐标； 当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时，两点的坐标． 当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 23.本小题分 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角小于等于的角与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． 如图当时，线段、所在直线夹角为______； 如图当时，线段、所在直线夹角为______； 如图，当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角______； 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： 如图，四边形中，，，，，，试求的长度． 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $