专项训练05 二次函数中的线段、周长、面积问题5题型（巩固培优）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以二次函数为载体，系统整合线段、周长、面积问题的计算与最值求解，通过“基础公式—几何转化—函数建模”逻辑链，提炼坐标法、对称变换等核心方法，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识铺垫|2知识点|二次函数最值（含取值范围）、两点间距离公式（水平/竖直/斜线段）|从函数性质到坐标系度量基础，构建问题解决前提| |线段问题|2类（计算/最值）|水平竖直线段用坐标差绝对值，竖直线段最值转化二次函数，斜线段最值用将军饮马对称法|从静态计算到动态最值，体现几何性质与函数思想结合| |周长问题|2类（三角形/四边形）|固定边动边转化为线段最短，利用抛物线对称性化折为直|以“两点之间线段最短”为核心，实现周长最小化| |面积问题|2类（计算/最值）|基本图形用水平/竖直底法、割补法，最值问题设参表面积为二次函数|从规则图形到不规则图形，通过函数建模求最值|

专项训练05二次函数中的线段、周长、面积问题(5题型) 【知识点1 基础知识铺垫】 1. 二次函数的基本形式与最值 一般式：，顶点坐标为 顶点式：，顶点坐标为 当时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 当时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值 注意：最值必须在自变量的取值范围内讨论，这是实际问题的关键 1. 平面直角坐标系中两点间距离公式（教材推导得出） · 已知两点，，则： 水平线段（）：（取绝对值保证长度为正） 竖直线段（）： 斜线段：（勾股定理应用） 【知识点2 线段问题】 （1） 水平与竖直线段的长度计算 0. 核心方法：横坐标差或纵坐标差的绝对值 0. 典型应用：已知抛物线上一点，求它到x轴、y轴或某条水平/竖直线的距离 点到x轴的距离： 点到y轴的距离： 点到直线的距离： 点到直线的距离： （二）线段的最值问题 1. 竖直线段最值 问题：在抛物线上找一点，使它到某条水平直线或另一个点的竖直距离最大/最小 解法：设点的横坐标为，表示出纵坐标，然后用纵坐标差表示线段长度，转化为二次函数求最值 1. 斜线段最值 问题：在x轴/y轴上找一点，使最小（将军饮马问题） 解法：作其中一个点关于x轴/y轴的对称点，连接对称点与另一个点，与坐标轴的交点即为所求点 注意：教材中此类问题通常不直接求斜线段长度的表达式，而是利用几何性质找最值点 【知识点3 周长问题】 （1） 三角形周长最值 0. 固定两边+动边：若三角形的两条边长度固定，只需让第三条边最短即可 0. 固定一边+两动边： · 典型问题：在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小 · 解法：利用抛物线的对称性，将其中一条动边转化为对称点的连线，转化为"两点之间线段最短"问题 （二）四边形周长最值 1. 固定两边+两动边：通常出现在梯形或平行四边形中 1. 核心思路： 先表示出四边形各边的长度 利用对称性或二次函数性质求动边的最值 注意：教材中四边形周长问题以平行四边形和梯形为主，一般不涉及复杂多边形 【知识点3 面积问题】 （1） 基本图形的面积计算 0. 三角形面积 公式： 坐标系中常用方法： 水平底法：以水平线段为底，高为纵坐标差的绝对值 竖直底法：以竖直线段为底，高为横坐标差的绝对值 割补法：将不规则三角形分割或补成规则图形（教材最常用） 1. 四边形面积 矩形/正方形： 平行四边形： 梯形： 不规则四边形：通常用割补法，分割成两个三角形或一个三角形加一个梯形 （二）面积最值问题（教材重中之重） 1. 三角形面积最值 核心方法： 设动点的横坐标为 用表示出三角形的底和高 写出面积关于的二次函数表达式 求出二次函数的顶点坐标，结合自变量取值范围确定最值 1. 四边形面积最值 解法与三角形类似，先将四边形面积表示为关于的二次函数，再求最值 注意：教材中四边形面积最值问题通常以梯形为主，或可分割为两个三角形的四边形 【题型1 利用二次函数求线段最值的问题】 1．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值 (2)点P的坐标为 【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值； （2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，， ； 当时， 有， 解得：，， ，． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为． 点的横坐标为， ． 当时，， ． ． ，， ， 当时，取最大值． （2）解：，轴， ， ， ， 此时点的坐标为． 2．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当n=时，线段PC有最大值． 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． 【详解】解：(1)∵B(4，m)在直线y＝x＋2上， ∴m＝4＋2＝6， ∴B(4，6)， ∵A(，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6　 (2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)， ∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋， ∵， ∴当n＝时，线段PC最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 【题型2 利用二次函数求线段和最值的问题】 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴，y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若C（0，2），D（2，4）． （1）求抛物线解析式； （2）在对称轴上找一点P，使AP+CP最小，求出点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据顶点坐标设抛物线的解析式为，将的坐标代入求得，进而求得抛物线的解析式； （2）连接，交于点，根据，可知点为与的交点，根据抛物线与轴的交点，求得的坐标，进而求得直线的解析式，将的代入解析式，进而求得的坐标． 【详解】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入，得， 解得 抛物线的解析式为 即 （2）抛物线的解析式为，与x轴交于A、B两点， 令，则 解得 如图，连接，交于点， 关于直线对称， 当三点共线时，最小， 设直线的解析式为 解得 直线的解析式为 令，则 5．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中，． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． (3)在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）根据题意得出点A，B，C的坐标，再根据待定系数法求出二次函数的关系式； （2）根据关系式得出抛物线的对称轴是，进而确定点A和点B关于对称轴对称，连接与对称轴交于点P，然后根据待定系数法求出直线的关系式，再将代入关系式得出答案； （3）分两种情况讨论：以为边，根据全等三角形的性质求出点F的纵坐标，代入关系式求出点F的横坐标，即可得出点E的坐标；以为对角线，求出点F的坐标，进而得出点E的坐标． 【详解】（1）∵，， ∴点，点． 将绕原点旋转得到， ∴， ∴点． 设二次函数的关系式为，将，，代入，得 解得， 所以二次函数的关系式为； （2）存在，理由如下： ∵二次函数的关系式为， ∴对称轴， ∴点A和点B关于直线l对称， 要求最小，即求最小， 根据两点之间线段最短可知，连接与直线l交于点P， 设直线的关系式为，将点，点代入，得 ， 解得， 所以一次函数的关系式为． 当时，， 所以点P的坐标是； （3）如图所示．以为边时，四边形时平行四边形，过点作轴，于点D． 可知，， ∴， ∴． ∵， ∴≌， ∴，． 当时，， 解得，， ∴点，， ∴，， ∴，， ∴点，点； 以为对角线，过点C作轴， 当时，， 解得或（舍）， ∴点， ∴， ∴， ∴点． 所以点E的坐标是或，． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式（一次函数关系式），根据轴对称求线段和最小，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等． 6．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．    (1)写出C点的坐标______，B点的坐标______； (2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式； (3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、的长度，即可找出的值，进而即可得出点B、C的坐标； （2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （3）根据抛物线的对称性可得知：连接交对称轴于点P，点P是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点B的坐标为． 故答案为：；． （2）将代入，得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为． （3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴连接交对称轴于点P，则点P是所求的点． ∵， ∴对称轴为直线， ∴P点的横坐标为1． 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点P的坐标为． 【点睛】析】 本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P的位置． 【题型3 利用二次函数求线段差最值的问题】 7．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案； （3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图1， 设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为， 设和对称轴的交点为点Q． 当时， ∴点Q的坐标为． ∵点P在对称轴上， ∴设点P的坐标为， ∴， ∴， 即， 解得或． ∴点P的坐标为或； （3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长． 过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N， ∵，， ∴，， ∴． 即最大值为． 8．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 9．已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，取得最小值0；点的坐标为时，取得最大值 (3) 【分析】(1)用配方法求顶点坐标，用交点法求交点坐标即可； (2)根据题意，当时，的值最小，且为0；根据，得当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长，解答即可． (3)不妨设，过点M作交x轴于点G，设直线的解析式为，确定直线的解析式为，用m表示直线的解析式，利用平行线分线段成比例定理，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； ∵当时，， ∴， ∵当时，， 解得， ∴； 故答案为：． （2）解：根据题意，得当时，的值最小，且为0， 设， 故， 解得， 故点时，的值最小，且为0； ∵P在对称轴上，且点A，点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长， ∴， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点时，的值最大，且为． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点M作交x轴于点G， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，且为． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形三边关系定理的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【题型4 利用二次函数求周长最值的问题】 10．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2) (3)如图， 边上的顶点的坐标为，或 【分析】（1）求得点，坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点在横坐标；利用配方法即可求得点的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接 ，交直线于点，利用轴对称的性质可得，关于直线对称，此时 的周长最小，过点作轴于点，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式为，再与直线联立即可求得点坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与 交于点，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点，，，在各边上，与点重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴ ， ∴， ∵抛物线 经过点A，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴ ，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∴， 延长至点，使，连接 ，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时 的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与 交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为 的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵ ， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 12．图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与y轴交于，对称轴为直线，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在抛物线上是否存在点B，使得以A、E、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)直线上有M、N两点（M在N的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据对称性求出点的坐标，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法可得结论． （2）构建方程组求出点E的坐标，分两种情形：过点A作．可证，求出．过点E作交抛物线于点，同法可证，，求出． （3）因为，为定点，推出线段的长为定值，推出当的和最小时，四边形的周长最小，如图2中，画出直线，将点向左平移2个单位得到，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，过点作交直线于点，由作图可知，，，推出，此时的值最小，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）抛物线的对称轴，与轴的交点为，， ， 可以假设抛物线的解析式为， 把代入得到，， 抛物线的解析式为． 直线经过点， ， ． （2）直线的解析式为，直线交轴于，与抛物线交于点， ， 由，解得即点，或， ， ① 如图1，若，过点A作交抛物线于点，过点作轴于点． ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则有， 解之得（舍去），， ∴． ② 如图2，若，过点E作交抛物线于点，过点E作轴，过点作交于点． 同理可证， ∴ 设，则有， 解之得（舍去），， ∴． 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． （3），为定点， 线段的长为定值， 当的和最小时，四边形的周长最小， 如图3中，画出直线，将点向左平移2个单位得到， 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，过点作交直线于点， 由作图可知，，， ，，三点共线， ，此时的值最小， 点为直线与的交点， ， ， ， ， 如图，延长交线段于， 直线， ， 在中，， 在 中，， 四边形的周长的最小值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题． 【题型5 利用二次函数求面积最值的问题】 13．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过作轴交于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， ∵， 当时，的面积最大，最大面积为； （3）解：， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 一、单选题 1．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 2．如图，二次函数与正比例函数的图象交于点，二次函数图象与轴交于点，以下几个结论中，正确的有（     ） ①正比例函数的表达式为； ②二次函数的对称轴为直线； ③当时，； ④若点C为抛物线对称轴上一动点，的最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①把代入正比例函数得，即可得正比例函数的表达式；②由二次函数的图象经过，，即可求得对称轴为；③由图可得，当时，；④由图可得，点，点在对称轴的两侧，根据两点之间，线段最短，即可得连接与对称轴的交点即为点，此时最小，最小值为的长，即可判断． 【详解】解：①把代入正比例函数得，， ∴， ∴正比例函数的表达式为，故①正确； ②∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴为，故②错误； ③由图可得，当时，二次函数的图象在正比例函数的图象的下方，即，故③正确； ④由图可得，点，点在对称轴的两侧， ∴连接与对称轴的交点即为点，即当点，，共线时，最小，最小值为的长， 如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴，即的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 3．如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 4．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 5．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 6．如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P（0，m），则OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝，即可求得当m＝1时，BQ有最小值． 【详解】解：∵A（2，0）， ∴OA＝2， 设P（0，m），则OP＝m， 作QM⊥y轴于M， ∵∠APQ＝90°， ∴∠OAP＋∠APO＝∠APO＋∠QPM， ∴∠OAP＝∠QPM， ∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ， ∴△AOP≌△PMQ（AAS）， ∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2， ∴Q（m，m＋2）， ∵B（4，0）， ∴BQ＝＝， ∴当m＝1时，BQ有最小值， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出Q的坐标是解题的关键． 7．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ） A．11 B．12 C． D．13 【答案】B 【分析】根据题意可知，抛物线的顶点M（），则抛物线解析式为：，由AB=4，利用抛物线的对称性，得点A的横坐标为，代入解析式，求出纵坐标，然后求出点M到直线l的距离. 【详解】解：∵抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M， ∴点M为抛物线的顶点，其坐标为：（，）， 则抛物线解析式为：， ∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点，且AB=4， ∴点A的横坐标为：，点B的横坐标为：， 把代入抛物线，得： ， ∴直线l为：， ∴点M到直线l的距离为：11﹣（﹣1）=12； 故选择：B. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及抛物线与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确求出直线l的方程. 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（    ）时，的周长最小. A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1． 【详解】∵O与D关于直线PB的对称， ∴PB垂直平分OD， ∴CO=CD， ∵△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=， ∴当AD最小时，△ACD的周长最小； ∴此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1． 故选A. 【点睛】此题考查中心对称，垂直平分线的性质，垂线的性质，解题关键在于掌握运算法则. 9．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】令抛物线解析式中和，求出与坐标轴交点，计算得；再利用三角形面积关系，得出，进而推导出；接着令，分和两种情况，结合全等三角形（）、相似三角形（）的判定与性质，以及角平分线性质等，计算得出的最小值为． 【详解】解：对于抛物线，令，即， 解得， ， ， 令，则， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，， 在内，随m的增大而减小， 当，即时，有最小值， 平分， 在和中，， ， ， 而， ， ，即， 解得，； 当时，与上面的解题过程相同． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求解、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质。解题关键是通过证明（利用三角形面积关系建立等式），再结合角平分线性质推导全等与相似三角形，最后分区间用三角形三边关系及一次函数的性质确定的最小值． 11．如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 12．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 二、填空题 1．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 2．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 3．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 6．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 7．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 1．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）先找对称点，再连接，根据两点之间线段最短确定的最小值，进而确定点P坐标； （3）数形结合，根据临界值判断n的取值范围． 【详解】（1）将代入得，，所以解析式为； （2）由可知，，对称轴为， ，对称轴， 取点C关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点P，此时的值最小，最小值为的长． 设直线的解析式为，将、代入得，解得，，． 此时的值最小，最小值为的长，； （3）连接， 由知，， 线段向右平移时，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 线段继续向右平移，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，令，，解得，，，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 综上所述，或，线段与二次函数的图象无交点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式、最短路径问题、勾股定理、交点问题，数形结合是解题关键． 3．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，最小周长为 【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）联立直线与抛物线的解析式即可求解； （3）由点A、点B是定点，则长度固定，只需满足最小即可，找点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，即为所要找的点Q，求出坐标即可，且最小周长为． 【详解】（1）解：把、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴与x轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立直线与抛物线的解析式得 解得，， ∴D点的坐标为． （3）解：存在点Q，使得的周长最小． 如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，连接，则取得最小值，即的周长最小值为， 设， ∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． (1)若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②当时，线段的长度取得最大值 (2) 【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可； ②先求出正比例函数的表达式为，设点M的坐标为，则点A的坐标为，列出关于的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象经过点，求出，令，求出，．然后根据和求解即可． 【详解】（1）解：①∵点为二次函数图象的顶点， ∴可得方程组 解得 ∴二次函数的表达式为． ②正比例函数的图象经过点， ，解得． ∴正比例函数的表达式为． 设点M的坐标为，则点A的坐标为， ． ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：a的取值范围是． ∵二次函数的图象经过点， ， 化简，得． 令，则， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，且， ∴． ， ，即． ， 解得． ， ∴a的取值范围是． 5．已知抛物线经过和两点，其顶点为D． (1)如图，当时，求抛物线的解析式． (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点求出． （2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到、的距离相等，将转化为，利用三角形两边之差小于第三边，当、、三点共线时取得最大值，求出直线与对称轴的交点即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， 设抛物线的解析式为， ，即抛物线过点， ， ， ． （2）解：点在轴正半轴上，且到原点的距离为， ， 抛物线经过和， 对称轴为直线， 点为抛物线的顶点，且在对称轴直线上， 又对称轴直线是线段的垂直平分线， 对称轴上的任意一点到、两点的距离相等，即， ， 在中，， 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 点在对称轴上， ， ． 6．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 【答案】(1) (2)D的坐标为，是直角三角形 (3)的最小周长为，M 【分析】（1）利用待定系数法将的坐标代入解析式求解即可； （2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解的三条边，可得三条边间的关系，判定的形状； （3）由于线段长度为定值，将求周长最小值转换成求最小值，通过将军饮马模型进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵为定值， ∴要使周长最小，则需最小， ∵与关于对称轴对称， ∴， ∴， 直线过和，其解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点的坐标为， 当点M位于处时，的周长最小，为， ∵， ∴最小， ∴的最小周长为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、顶点坐标、两点间距离公式、将军饮马模型、勾股定理逆定理等知识点，本题掌握平面直角坐标系的距离公式、二次函数的图像与性质是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)请在y轴上找一点M，使的周长最小，请直接写出点M的坐标； 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）由已知条件，运用待定系数法，求得a，c的值，从而求得抛物线的表达式； （2）先求出点D坐标，点M为y轴上一点，连接，，作点D关于y轴的对称点，连接，，则有，则，由此可得，当点M为与y轴的交点时，有最小值．运用待定系数法，求出直线的解析式，从而求得该直线与y轴交点，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴将，代入抛物线， 可得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，作轴于点E，连接． ∵， ∴抛物线顶点， ∵，，轴于点E， ∴，，， 在中， ， ∴的周长为：． 如图2，点M为y轴上一点，连接，，作点D关于y轴的对称点，连接，，则有， ∴， ∴当点M为与y轴的交点时，有最小值，最小值为的长． ∵，点D与点关于y轴对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴当的周长最小时，M的坐标为． 8．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为 ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，以及二次函数与三角形综合，三角形面积求法，待定系数法．在直角坐标系中“三角形的面积=水平宽铅垂高”是常用的方法． 10．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点 ，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，求面积的最大值及此时点D的坐标； (3)当的点G落在x轴上时，求出D的坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值4，此时 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据（1）中抛物线解析式求得点，点的坐标，待定系数法求直线的解析式；连接，过点作于点，交于点，设点的坐标，根据面积公式列面积的表达式，配方求得面积的最大值，即可求解； （3）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质，即可求得． 【详解】（1） ∵抛物线与轴交于，两点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）∵抛物线的解析式为 ∴ ∵点是线段的中点 ∴ 设直线的解析式为 ∵， ∴ 解得 ∴直线的解析式为 如图，连接，过点作于点，交于点 设，则点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值4，此时 （3）当在轴上的时候，如图 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ 即点到轴的距离为1 将代入抛物线解析式 解得， ∴点的坐标为或 11．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，点P不在直线上，理由如下： 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意可得，当时，点的坐标为， 将代入直线的解析式可得， ∴当时，点P不在直线上； ②存在最大值，为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得出结果； （2）①求出，待定系数法求出直线的解析式为，由题意可得，当时，点的坐标为，将代入直线的解析式计算即可得出结果； ②由题意可得：平移后，，,，，，求出，从而可得，结合，得出四边形为梯形，根据得出关于的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点M的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式经过原点， ∴将代入抛物线解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①略 ②∵，，四边形为矩形， ∴由题意可得：平移后，，,，，， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值，为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练05二次函数中的线段、周长、面积问题(5题型) 【知识点1 基础知识铺垫】 1. 二次函数的基本形式与最值 一般式：，顶点坐标为 顶点式：，顶点坐标为 当时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 当时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值 注意：最值必须在自变量的取值范围内讨论，这是实际问题的关键 1. 平面直角坐标系中两点间距离公式（教材推导得出） · 已知两点，，则： 水平线段（）：（取绝对值保证长度为正） 竖直线段（）： 斜线段：（勾股定理应用） 【知识点2 线段问题】 （1） 水平与竖直线段的长度计算 0. 核心方法：横坐标差或纵坐标差的绝对值 0. 典型应用：已知抛物线上一点，求它到x轴、y轴或某条水平/竖直线的距离 点到x轴的距离： 点到y轴的距离： 点到直线的距离： 点到直线的距离： （二）线段的最值问题 1. 竖直线段最值 问题：在抛物线上找一点，使它到某条水平直线或另一个点的竖直距离最大/最小 解法：设点的横坐标为，表示出纵坐标，然后用纵坐标差表示线段长度，转化为二次函数求最值 1. 斜线段最值 问题：在x轴/y轴上找一点，使最小（将军饮马问题） 解法：作其中一个点关于x轴/y轴的对称点，连接对称点与另一个点，与坐标轴的交点即为所求点 注意：教材中此类问题通常不直接求斜线段长度的表达式，而是利用几何性质找最值点 【知识点3 周长问题】 （1） 三角形周长最值 0. 固定两边+动边：若三角形的两条边长度固定，只需让第三条边最短即可 0. 固定一边+两动边： · 典型问题：在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小 · 解法：利用抛物线的对称性，将其中一条动边转化为对称点的连线，转化为"两点之间线段最短"问题 （二）四边形周长最值 1. 固定两边+两动边：通常出现在梯形或平行四边形中 1. 核心思路： 先表示出四边形各边的长度 利用对称性或二次函数性质求动边的最值 注意：教材中四边形周长问题以平行四边形和梯形为主，一般不涉及复杂多边形 【知识点3 面积问题】 （1） 基本图形的面积计算 0. 三角形面积 公式： 坐标系中常用方法： 水平底法：以水平线段为底，高为纵坐标差的绝对值 竖直底法：以竖直线段为底，高为横坐标差的绝对值 割补法：将不规则三角形分割或补成规则图形（教材最常用） 1. 四边形面积 矩形/正方形： 平行四边形： 梯形： 不规则四边形：通常用割补法，分割成两个三角形或一个三角形加一个梯形 （二）面积最值问题（教材重中之重） 1. 三角形面积最值 核心方法： 设动点的横坐标为 用表示出三角形的底和高 写出面积关于的二次函数表达式 求出二次函数的顶点坐标，结合自变量取值范围确定最值 1. 四边形面积最值 解法与三角形类似，先将四边形面积表示为关于的二次函数，再求最值 注意：教材中四边形面积最值问题通常以梯形为主，或可分割为两个三角形的四边形 【题型1 利用二次函数求线段最值的问题】 1．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 2．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【题型2 利用二次函数求线段和最值的问题】 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴，y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若C（0，2），D（2，4）． （1）求抛物线解析式； （2）在对称轴上找一点P，使AP+CP最小，求出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中，． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． (3)在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．    (1)写出C点的坐标______，B点的坐标______； (2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式； (3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由． 【题型3 利用二次函数求线段差最值的问题】 7．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 8．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 9．已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 【题型4 利用二次函数求周长最值的问题】 10．如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点，的坐标； (2)点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 12．图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与y轴交于，对称轴为直线，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在抛物线上是否存在点B，使得以A、E、P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)直线上有M、N两点（M在N的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值． 【题型5 利用二次函数求面积最值的问题】 13．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数与正比例函数的图象交于点，二次函数图象与轴交于点，以下几个结论中，正确的有（     ） ①正比例函数的表达式为； ②二次函数的对称轴为直线； ③当时，； ④若点C为抛物线对称轴上一动点，的最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 6．如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ） A．11 B．12 C． D．13 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且经过点A（2，1），点是抛物线上的动点，的横坐标为，过点作轴，垂足为，交于点，点关于直线的对称点为，连接，，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则当（    ）时，的周长最小. A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 11．如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 12．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 2．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 当时，， ， 设直线的解析式为， 3．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 6．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 7．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 1．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 3．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． (1)若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 5．已知抛物线经过和两点，其顶点为D． (1)如图，当时，求抛物线的解析式． (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标． 6．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)请在y轴上找一点M，使的周长最小，请直接写出点M的坐标； 8．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 10．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点 ，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，求面积的最大值及此时点D的坐标； (3)当的点G落在x轴上时，求出D的坐标． 11．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $