1.2 与三角形有关的线段 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

本初中数学讲义聚焦“与三角形有关的线段”核心知识点，系统梳理三角形三边关系（含判断构成、确定范围等应用）、稳定性，以及中线（重心）、角平分线（交点性质）、高（画法及交点位置）等重要线段的定义与性质，构建从基础关系到性质应用再到具体线段的学习支架。 资料以知识梳理与达标检测结合为特色，通过高的“一靠二移三画”步骤培养几何直观，以等腰三角形周长计算、中线分面积问题发展推理意识。课中辅助教师系统授课，课后通过选择、填空、解答题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 与三角形有关的线段（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的三边关系 1、三角形的三边关系。 三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。 2、三角形三边关系的主要应用。 （1）判断已知的三条线段能否构成三角形； （2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围； （3）解决线段的不等式关系问题（如证明几何不等式）； （4）式子的化简。 知识点二三角形的稳定性 1、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性 知识点三三角形的中线 1、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 2、重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内部。 3、三角形中线的数量和交点的位置。 知识点四三角形的角平分线 1、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形三条角平分线的交点到三边距离相等。 2、三角形角平分线的数量和交点的位置。 知识点五三角形的高 1、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内。 2、三角形高的画法。 作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤： 一靠：三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过要作高的边所对的顶点； 三画：画垂线段。 3、三角形高的数量及交点的位置。 一、选择题 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 【答案】D 【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【解答】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 2．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，即可求解． 【解答】解：依题意，，即 ∴，间的距离不可能是米 故选：B． 3．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【解答】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 4．已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【答案】C 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合中点性质逐步计算即可得到结果． 【解答】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵和同高， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的中点，即，且和同高， ∴， ∴． 5．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【解答】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 7．如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 【答案】17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可） 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，由，设腰长，可知，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，可得的取值范围，进而可得周长的取值范围，即可求解． 【解答】解：已知等腰，，且，设腰长， 可得：， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，即，得， ∴， 则，周长，可得， 即，因此，周长的整数值可以是 13、14、15、16、17 中的任意一个， 故答案为：17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可）． 8．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为________． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【解答】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，几何问题（二元一次方程组的应用），等腰三角形的定义，根据三角形中线求长度等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 9．如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 【答案】 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【解答】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 10．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【解答】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 三、解答题 11．已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 【答案】的三边长分别为，，． 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，设等腰的腰长为，底边长为，分，两种情况建立二元一次方程组求解，再根据三角形三边关系即可解答． 【解答】解：设等腰的腰长为，底边长为，则， ∵一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，设中线长为， ∴， 当时， 即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴能组成三角形； 当时，即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的三边长分别为，，． 12．一个等腰三角形的周长是． （1）如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ （2）能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）能围成一边是的等腰三角形，其它两边长分别为， 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点． （1）设该等腰三角形的底边长为a，则腰长为，依题意得，由此解得，则此时该等腰三角形的三边长分别为，满足构成三角形的条件，据此即可得出该三角形各边的长； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形，分两种情况讨论如下：①该等腰三角形的腰长是时，则底边为，不满足构成三角形的条件；②当该等腰三角形的底边长是时，则腰长为，据此即可得出答案． 【解答】（1）解：设该等腰三角形的底边长为， 该等腰三角形的腰长是底边的3倍， 腰长为， 又等腰三角形的周长是， ， 解得：， ， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 该三角形各边的长分别是； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形， 有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长是时，设底边长为， 等腰三角形的周长是， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，不满足构成三角形的条件， 此种情况不存在； ②当该等腰三角形的底边长是时，设腰长为， 等腰三角形的周长是， ，解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 综上所述：能围成一个底边长腰长为的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为， 13．如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． 【解答】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即①， 又②， ①②得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 14．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． （1）如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 15．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； （2）如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【答案】（1） （2）三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 （3）；； 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【解答】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 与三角形有关的线段（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的三边关系 1、三角形的三边关系。 三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。 2、三角形三边关系的主要应用。 （1）判断已知的三条线段能否构成三角形； （2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围； （3）解决线段的不等式关系问题（如证明几何不等式）； （4）式子的化简。 知识点二三角形的稳定性 1、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性 知识点三三角形的中线 1、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 2、重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内部。 3、三角形中线的数量和交点的位置。 知识点四三角形的角平分线 1、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形三条角平分线的交点到三边距离相等。 2、三角形角平分线的数量和交点的位置。 知识点五三角形的高 1、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内。 2、三角形高的画法。 作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤： 一靠：三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过要作高的边所对的顶点； 三画：画垂线段。 3、三角形高的数量及交点的位置。 一、选择题 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 2．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 4．已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 5．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C．D． 二、填空题 6．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 7．如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 8．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为________． 9．如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 10．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 三、解答题 11．已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 12．一个等腰三角形的周长是． （1）如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ （2）能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． 13．如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 14．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． （1）如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 15．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； （2）如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 学科网（北京）股份有限公司 $