精品解析：河南省郑州市第六中学2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学

2025-2026学年下期八年级期末学情调研数学学科 时间：90分钟 分值：100分 注意事项： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2. 考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国传统纹样承载着深厚的文化底蕴，下面的纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可找出不成立的不等式． 【详解】解：已知， 对于A选项：不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，A成立； 对于B选项：不等式两边同时乘正数，不等号方向不变， ∴，B成立； 对于C选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴，C成立； 对于D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴， 再两边同时加，不等号方向不变， ∴，D不成立． 3. 下列分式为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项B：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项C：的分子分母没有公因式， 是最简分式，符合题意； 选项D：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意． 4. “已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形的内角和定理 D. 三角形的三边关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【详解】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 5. 如图，的对角线交于点O，，分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，交于点F，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，．由尺规作图可知垂直平分，点在上，故，的周长可转化为，代入得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 由尺规作图的作法可知，， 直线是线段的垂直平分线． 点在上， ， 的周长为． 6. 某班级为丰富阳光大课间活动，计划购买羽毛球拍和乒乓球拍共15副．已知羽毛球拍每副120元，乒乓球拍每副80元，活动总费用不超过1500元．设购买羽毛球拍x副，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据总数量表示出乒乓球拍的数量，再根据总价公式表示总费用，最后根据不等关系列出不等式即可． 【详解】解：设购买羽毛球拍副，则乒乓球拍的数量为副， 根据题意得． 7. 如图，已知，，若平分，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接，利用三角形内角和定理可得、，进而得到；利用角平分线的定义可得，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8. 若可以被和之间的某两个数整除，这两个数是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式对原式逐步因式分解，即可得到60到70之间的两个因数． 【详解】解：， ，，，和都在和之间， 可以被和整除． 9. 已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的定义，求出两个一次函数相等时的的值，再分情况得到的表达式，结合一次函数的增减性得到的取值范围，即可求出最小值． 【详解】解：由题意，令，解得， ， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而增大， 当时，此时， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而减小， 当时，此时， 综上，，因此的最小值为． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，规定：将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”．则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图：过B作轴于D，过C作轴于E，即，，；证明可得、、，即；再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：过B作轴于D，过C作轴于E，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”． ∴连续经过101次“L变换”后，点C对应的坐标为，即． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 【答案】0 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，计算整数解的和即可 【详解】解： 由①得： 移项得 系数化为得 由②得：不等式两边同乘得 移项合并同类项得 系数化为得 原不等式组的解集为 原不等式组的所有整数解为 整数解的和为 12. 如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 【答案】A点荷花向左平移1个单位长度 【解析】 【分析】根据轴对称和平移的定义即可解答． 【详解】解：∵四个点中，点和关于y轴对称， ∴平移点A使得其与关于y轴对称， ∴平移A点荷花向左平移1个单位长度得到可实现目标．（答案不唯一） 13. 如图（1）是古建筑中的花窗，图（2）是从其中抽象出的几何图形，则的度数为____°． 【答案】135 【解析】 【分析】观察发现是正八边形的一个内角，然后求出正八边形的一个外角，进而求得． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴正八边形的一个外角为， ∵是正八边形的一个内角， ∴． 14. 如图，在平行四边形中，，，为对角线，若，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点E，由平行四边形的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点E，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由中算出，分点在上方、下方两种情况，均先由旋转得求出，再由的垂直平分线得推出，接着结合图形用角的和差表示出，列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在旋转过程中，当，，三点共线时，分两种情况讨论： ①当点在上方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得； ②当点在下方时，点在延长线上，如图， 由旋转得，， ∴， ∵的垂直平分线交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 综上，当，，三点共线时，的度数为或． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 按要求完成下列各题： （1）先化简：，然后从的整数中选取一个合适的整数代入求值； （2）请写出一条分式化简求值过程中的注意事项． 【答案】（1），时值为（或时值为4)； （2）注意运算顺序应先算除法，再算减法 【解析】 【小问1详解】 解： ； ∵分式有意义， ∴，0，， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 【小问2详解】 解：注意运算顺序应先算除法，再算减法．（答案合理即可） 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出平移后的，使得C点的对应点是点． （2）画出关于点O成中心对称的． （3）点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）如图：即为所求． （2）如图：即为所求． （3）如图：点F即为所求，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由C点的对应点是点可知：将向右移动一个单位、再向上平移两个单位得到，据此作图即可； （2）先利用中心对称的性质求得的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求；然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求， ∴的最小值是， ∴的最小值为，即． 18. 如图，在四边形中，，，，为四边形的对角线，且平分． （1）求的长； （2）若E，F分别为边，的中点，点G为对角线的中点，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由且平分得，由得，故，等角对等边得，已知，故． （2）由分别为的中点，得、分别为和的中位线，故，．由得，由及得，故，由勾股定理得． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【小问2详解】 解：分别为的中点，为对角线的中点， ∴、分别为和的中位线， ∴，， 已知，， ∴，， 由， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 根据所给材料解答下列问题． 材料1：如图1，平行四边形的对角线与相交于点O，点F是上一点，请用无刻度直尺和圆规，在上求作一点E，使得四边形为平行四边形． 材料2：小明很快有了思路，他的作图痕迹如图所示： （1）请判断小明的作法是否符合题意，并说明理由； （2）请你在图1中作出一种不同于小明的作法．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）解：小明的作法符合题意，理由如下： 由作图痕迹得， ∴， ∵平行四边形的对角线与相交于点O，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴小明的作法符合题意； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图痕迹得，则，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形； （2）以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，由平行四边形的性质得到，再由，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 21. 定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． （1）“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； （2）求分式所有的巧数； （3）对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 【答案】（1）正确，把代入，得，是整数，所以是分式的巧数 （2），，，是分式的巧数 （3）分式的巧数为， 【解析】 【分析】（1）将代入分式计算出结果为整数，结合巧数定义即可判断说法正确； （2）根据分式值为整数推出分母是分子的因数，找出的所有整数因数，依次算出对应的值即为全部巧数； （3）先对分式因式分解约分并确定的取值限制，再拆分变形分式，根据分式值为整数得到是1的因数，求出对应值并检验，即可得到该分式所有巧数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵分式值为整数， ∴是的因数， ∴，，则的值为，，，， ∴，，，是分式的巧数； 【小问3详解】 解：由题意得：，且且， 又∵， ∵的值为整数， ∴为整数，则是的因数， ∴， ∴或， ∴分式的巧数为，． 22. 如图1，为等边三角形，过点O作直线，点M是直线l上的一个动点（不与O重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，作直线交l于点D． 　　 （1）当点M在O点上方时． ① 求证：； ② 连接，猜想，，这三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）当点M在O点下方时，直接写出，，这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）①证明：由题意得：， ∵ ∴为等边三角形 又∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中，， ∴， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． ②猜想：． 理由：连接， 由①可知， ， ， 在与中， ， ， 在中，， 由①得， ， ， ． （2）或 【解析】 【分析】（1）①由且得为等边三角形，为等边三角形，故，结合，，证，得，故． ②由①得，故，结合，，为公共边，可得，得，．由①全等得，而，故． （2）分两种情况讨论点与点的位置关系．由（1）同理可得，当点在右侧时，，故；当点在左侧时，，故 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当点M在O点下方，点在的右侧时， 由（1），同理可得，，， ，， ， ． 如图，当点M在O点下方，点在的左侧时， 由（1），同理可得，，， ，， ， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期八年级期末学情调研数学学科 时间：90分钟 分值：100分 注意事项： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分100分． 2. 考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 中国传统纹样承载着深厚的文化底蕴，下面的纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. “已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形的内角和定理 D. 三角形的三边关系 5. 如图，的对角线交于点O，，分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，交于点F，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 6. 某班级为丰富阳光大课间活动，计划购买羽毛球拍和乒乓球拍共15副．已知羽毛球拍每副120元，乒乓球拍每副80元，活动总费用不超过1500元．设购买羽毛球拍x副，根据题意可列不等式（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，若平分，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 若可以被和之间的某两个数整除，这两个数是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，规定：将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”．则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 13. 如图（1）是古建筑中的花窗，图（2）是从其中抽象出的几何图形，则的度数为____°． 14. 如图，在平行四边形中，，，为对角线，若，则的长度为_____． 15. 如图，在中，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，的垂直平分线交直线于点，在旋转过程中，当，，三点共线时，的度数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 按要求完成下列各题： （1）先化简：，然后从的整数中选取一个合适的整数代入求值； （2）请写出一条分式化简求值过程中的注意事项． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出平移后的，使得C点的对应点是点． （2）画出关于点O成中心对称的． （3）点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 18. 如图，在四边形中，，，，为四边形的对角线，且平分． （1）求的长； （2）若E，F分别为边，的中点，点G为对角线的中点，，，求的长． 19. 根据所给材料解答下列问题． 材料1：如图1，平行四边形的对角线与相交于点O，点F是上一点，请用无刻度直尺和圆规，在上求作一点E，使得四边形为平行四边形． 材料2：小明很快有了思路，他的作图痕迹如图所示： （1）请判断小明的作法是否符合题意，并说明理由； （2）请你在图1中作出一种不同于小明的作法．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 21. 定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． （1）“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； （2）求分式所有的巧数； （3）对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 22. 如图1，为等边三角形，过点O作直线，点M是直线l上的一个动点（不与O重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，作直线交l于点D． 　　 （1）当点M在O点上方时． ① 求证：； ② 连接，猜想，，这三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）当点M在O点下方时，直接写出，，这三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $