培优点01 集合参数取值与范围求解（8大题型）-2026年新高一数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

培优点01 集合参数取值与范围求解 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：集合中的参数问题方法总结 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：由元素与集合的关系求参数 4 题型 2：由集合元素个数求参数 4 题型 3：由集合相等关系求参数 5 题型 4：由集合包含关系求参数 6 题型 5：由集合并集结果求参数 7 题型 6：由集合交集结果求参数 7 题型 7：由集合补集结果求参数 7 题型 8：由交并补混合运算求参数 8 知识点一：集合中的参数问题方法总结 集合中的参数问题是高中数学开篇的核心题型，覆盖元素性质、集合关系、集合运算三大考点，是高一入门重难点，也是高考基础题的常考内容。解题核心在于兼顾集合基本性质与逻辑严谨性，避免漏解、增解，以下从四类核心方法展开总结。 第一，坚守元素互异性原则，先求后验防范增解。所有涉及元素含参的题目，根据元素与集合的从属关系列方程求出参数后，必须回代集合逐一检验，剔除导致集合元素重复的取值。这是集合参数问题的解题底线，也是最易忽略的步骤，尤其在多元素对应同一参数时，验证环节必不可少。 第二，集合关系先判空集，分类讨论避免漏解。处理子集、真子集、集合相等类含参问题时，优先讨论含参集合为空集的特殊情形。当集合由不等式、二次方程限定范围时，空集是高频漏点。完成空集讨论后，再分析非空情形，借助数轴或元素对应关系列方程与不等式组，同时单独验证边界端点是否符合题意。 第三，集合运算数形结合，反向转化确定范围。交、并、补运算中的参数问题，优先将运算结果转化为集合间的包含关系。数集类题型借助数轴标注区间，直观观察端点位置关系；抽象集合用韦恩图梳理元素归属，将运算条件反向拆解为参数约束条件，降低逻辑推导难度。 第四，复杂题型分层分类，规范步骤保证完整。遇到二次项系数含参、多集合嵌套运算等复杂问题，按参数临界值划分讨论层级，确保分类标准统一、不重不漏。每类情形下独立求解后，汇总所有符合条件的参数取值，完成整体校验。 综上，集合参数问题的解题核心是 “严谨”，以互异性为底线，以空集讨论为前提，以数形结合为工具，以分类讨论为框架，即可形成完整解题闭环，有效提升解题准确率。 题型 1：由元素与集合的关系求参数 例1．（2026·高一·全国·期末）已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 例2．（2026·高一·云南普洱·期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·天津南开·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 变式2．已知集合，则（    ） A． B． C．4 D． 题型 2：由集合元素个数求参数 例4．（2026·高一·全国·初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例6．（2026·高一·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 变式3．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（    ） A．1 B． C．1， D．，0，1 变式4．（2026·高一·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型 3：由集合相等关系求参数 例7．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，，若集合，则（   ） A．0 B．2 C． D． 例8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知a，，若，则为（   ） A． B．0 C．1 D． 变式5．（2026·高一·河北·阶段检测）设已知集合，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 变式6．（2026·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 题型 4：由集合包含关系求参数 例10．（2026·高一·福建三明·期末）已知全集，集合，集合． (1)求集合； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 例11．（2026·高一·广东惠州·期末）已知集合，集合，其中. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 例12．（2026·高一·湖南郴州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 变式7．（2026·高一·上海·期末）已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 变式8．（2026·高一·四川遂宁·期末）已知集合 (1)若，求及； (2)若是的真子集，求实数的取值范围． 题型 5：由集合并集结果求参数 例13．（2026·高一·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则实数的值为__________. 例14．（2026·高一·上海·期中）集合，，且，则实数的取值范围____. 例15．（2026·高一·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 变式9．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）设集合，集合，若集合A，B满足，，则的值是______． 题型 6：由集合交集结果求参数 例16．（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 例17．（2026·高一·上海·期末）已知集合，，若，则______． 例18．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 变式10．已知集合，，且，则__________. 题型 7：由集合补集结果求参数 例19．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 例20．（2026·高一·广东江门·期末）设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 例21．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 变式12．（2026·高三·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 题型 8：由交并补混合运算求参数 例22．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，，求： (1)，； (2)若，且，求的取值范围. 例23．已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 例24．（2026·高三·贵州铜仁·阶段检测）集合，． (1)当时，求； (2)若_____，求实数的取值范围． 从①，②，③三个条件中，任选一个补充到横线中，并回答问题． 变式13．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点01 集合参数取值与范围求解 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：集合中的参数问题方法总结 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：由元素与集合的关系求参数 4 题型 2：由集合元素个数求参数 5 题型 3：由集合相等关系求参数 7 题型 4：由集合包含关系求参数 9 题型 5：由集合并集结果求参数 11 题型 6：由集合交集结果求参数 12 题型 7：由集合补集结果求参数 13 题型 8：由交并补混合运算求参数 14 知识点一：集合中的参数问题方法总结 集合中的参数问题是高中数学开篇的核心题型，覆盖元素性质、集合关系、集合运算三大考点，是高一入门重难点，也是高考基础题的常考内容。解题核心在于兼顾集合基本性质与逻辑严谨性，避免漏解、增解，以下从四类核心方法展开总结。 第一，坚守元素互异性原则，先求后验防范增解。所有涉及元素含参的题目，根据元素与集合的从属关系列方程求出参数后，必须回代集合逐一检验，剔除导致集合元素重复的取值。这是集合参数问题的解题底线，也是最易忽略的步骤，尤其在多元素对应同一参数时，验证环节必不可少。 第二，集合关系先判空集，分类讨论避免漏解。处理子集、真子集、集合相等类含参问题时，优先讨论含参集合为空集的特殊情形。当集合由不等式、二次方程限定范围时，空集是高频漏点。完成空集讨论后，再分析非空情形，借助数轴或元素对应关系列方程与不等式组，同时单独验证边界端点是否符合题意。 第三，集合运算数形结合，反向转化确定范围。交、并、补运算中的参数问题，优先将运算结果转化为集合间的包含关系。数集类题型借助数轴标注区间，直观观察端点位置关系；抽象集合用韦恩图梳理元素归属，将运算条件反向拆解为参数约束条件，降低逻辑推导难度。 第四，复杂题型分层分类，规范步骤保证完整。遇到二次项系数含参、多集合嵌套运算等复杂问题，按参数临界值划分讨论层级，确保分类标准统一、不重不漏。每类情形下独立求解后，汇总所有符合条件的参数取值，完成整体校验。 综上，集合参数问题的解题核心是 “严谨”，以互异性为底线，以空集讨论为前提，以数形结合为工具，以分类讨论为框架，即可形成完整解题闭环，有效提升解题准确率。 题型 1：由元素与集合的关系求参数 例1．（2026·高一·全国·期末）已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得，， 故选：A． 例2．（2026·高一·云南普洱·期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 例3．（2026·高一·天津南开·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，解得. 故选：A. 变式1．（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 变式2．已知集合，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】， 所以 所以 故选：B. 题型 2：由集合元素个数求参数 例4．（2026·高一·全国·初升高衔接）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 例5．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 例6．（2026·高一·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 变式3．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（    ） A．1 B． C．1， D．，0，1 【答案】D 【解析】由集合有且仅有2个子集， 可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有1个实数解， 当时，方程只有1个实数解，符合题意； 当时，由题意，解得， 所以实数的取值是，0，1. 故选：D 变式4．（2026·高一·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素， 当时，，合乎题意； 当时，则关于的方程有两个相等的实根， 所以，解得. 综上所述，或. 故选：C. 题型 3：由集合相等关系求参数 例7．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，，若集合，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，则，而，所以， 所以集合，结合集合元素的互异性，所以且，所以， 则. 故选：C. 例8．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，故或， 或或 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：. 例9．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知a，，若，则为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得且，由，得，则， 所以. 故选：A 变式5．（2026·高一·河北·阶段检测）设已知集合，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为，且， 所以，解得，即. 故选：B 变式6．（2026·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【解析】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 题型 4：由集合包含关系求参数 例10．（2026·高一·福建三明·期末）已知全集，集合，集合． (1)求集合； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， ， 所以或，    所以， . （2）由（1）知， 当时，则有，即，   当时 则有   即，即， 综上所述，实数的取值范围为. 例11．（2026·高一·广东惠州·期末）已知集合，集合，其中. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1），解得：， ， 或， 当时，， ， 解得：， ， 则 则或， （2）， 易知， 又，解得：， ， 又， ， ， 综上，的取值范围为. 例12．（2026·高一·湖南郴州·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以或， 所以或； （2）由有， 所以实数的取值范围为. 变式7．（2026·高一·上海·期末）已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，又或， 所以. （2）因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 变式8．（2026·高一·四川遂宁·期末）已知集合 (1)若，求及； (2)若是的真子集，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，可得， 令，解得，则， 则，而， 可得或，故或. （2）因为是的真子集，所以，第二个和第三个不等式中等号不能同时成立， 解得，故实数的取值范围为. 题型 5：由集合并集结果求参数 例13．（2026·高一·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】5 【解析】因为集合，， 所以且且， 由，知是的子集， 所以，故. 故答案为： 例14．（2026·高一·上海·期中）集合，，且，则实数的取值范围____. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 例15．（2026·高一·上海·期中）设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【解析】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 变式9．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）设集合，集合，若集合A，B满足，，则的值是______． 【答案】 【解析】因为，故非空， 由可得，由可得，故， 方程与解相同，且二次项系数均为1， 所以，故. 故答案为： 题型 6：由集合交集结果求参数 例16．（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 例17．（2026·高一·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 例18．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 变式10．已知集合，，且，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以，则. 故答案为：. 题型 7：由集合补集结果求参数 例19．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】全集，集合，， ，，故选项D正确. 例20．（2026·高一·广东江门·期末）设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为全集，集合满足， 所以. 所以. 故选：A. 例21．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，且，则，即. 变式11．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【解析】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 变式12．（2026·高三·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解析】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A 题型 8：由交并补混合运算求参数 例22．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，，求： (1)，； (2)若，且，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以； 或， 所以或或； （2）因为，，且， 所以， 即实数的取值范围为. 例23．已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【解析】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 例24．（2026·高三·贵州铜仁·阶段检测）集合，． (1)当时，求； (2)若_____，求实数的取值范围． 从①，②，③三个条件中，任选一个补充到横线中，并回答问题． 【解析】（1）， 当时，则， 所以； （2）若选①，，即， 当时，显然符合条件，即，解得， 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是； 若选②，，即， 下面解法同①； 若选③，，则， 下面求法同①． 综上所述：实数的取值范围为． 变式13．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）已知集合．若，则的取值集合为． (1)求集合． (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）若，则，解得， 所以的取值集合为； （2）若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $