第03讲 交集、并集（3大知识点+8大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第03讲 交集、并集 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：并集 3 知识点二：交集 3 知识点三：区间 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：有限数集的交集求解 5 题型二：不等式解集的交集计算 5 题型三：有限数集的并集求解 6 题型四：不等式解集的并集计算 6 题型五：交、并、补集的综合计算 7 题型六：借助 Venn 图表示集合关系与运算 8 题型七：依据集合运算性质确定参数取值 9 题型八：数集的区间表示规则 10 04 过关测试 12 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 题型一：有限数集的交集求解 【例1】（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型二：不等式解集的交集计算 【例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·浙江·期中）集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 题型三：有限数集的并集求解 【例3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖南岳阳·二模）已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】（2026·云南玉溪·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式解集的并集计算 【例4】（24-25高一下·安徽淮北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·河北保定·二模）已知集合 ，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：交、并、补集的综合计算 【例5】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 【变式5-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集为，，或，求： (1) (2) (3) 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·期中）设全集，集合，. (1)求集合； (2)求集合； 【变式5-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 题型六：借助 Venn 图表示集合关系与运算 【例6】（多选题）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选题）设全集为，下列选项中是的充要条件的为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【变式6-3】（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【变式6-4】（多选题）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 题型七：依据集合运算性质确定参数取值 【例7】（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【变式7-4】（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 题型八：数集的区间表示规则 【例8】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 【变式8-1】将数集用区间表示为________． 【变式8-2】（24-25高一上·广东东莞·阶段检测）若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 【变式8-3】用区间表示下列集合： （1）：____________； （2）：____________； （3）：____________； （4）：____________． 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·云南昆明·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 8．若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·全国·期末）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 13．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 14．已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 18．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 20．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 交集、并集 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：并集 3 知识点二：交集 3 知识点三：区间 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：有限数集的交集求解 5 题型二：不等式解集的交集计算 5 题型三：有限数集的并集求解 6 题型四：不等式解集的并集计算 7 题型五：交、并、补集的综合计算 8 题型六：借助 Venn 图表示集合关系与运算 9 题型七：依据集合运算性质确定参数取值 13 题型八：数集的区间表示规则 16 04 过关测试 18 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且．我们规定： ①满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 题型一：有限数集的交集求解 【例1】（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 【变式1-1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则. 【变式1-2】（21-22高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 【变式1-3】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，又，所以. 题型二：不等式解集的交集计算 【例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 【变式2-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 【变式2-2】（25-26高一下·浙江·期中）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，故， 又，所以． 故选：D． 题型三：有限数集的并集求解 【例3】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知集合， ， ． 【变式3-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 由，故. 【变式3-2】（2026·湖南岳阳·二模）已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】因为， 所以，共8个元素. 【变式3-3】（2026·云南玉溪·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，， 所以. 题型四：不等式解集的并集计算 【例4】（24-25高一下·安徽淮北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合，，得. 【变式4-1】（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由. 【变式4-2】（2026·河北保定·二模）已知集合 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合 ， 那么，所以. 【变式4-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以. 题型五：交、并、补集的综合计算 【例5】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 【解析】（1）因为集合，集合， 所以； （2）由于全集， 则，则， 又，所以. 【变式5-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知全集为，，或，求： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，或， 所以或； （2）因为，或， 所以； （3）因为，或， 所以或，， 所以. 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·期中）设全集，集合，. (1)求集合； (2)求集合； 【解析】（1）∵，， ∴； （2）由题意，或， ∴. 【变式5-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，全集，求，及. 【解析】由全集，且集合， 则， 又由或， 则，或. 题型六：借助 Venn 图表示集合关系与运算 【例6】（多选题）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 【变式6-1】（多选题）设全集为，下列选项中是的充要条件的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如图，由Venn图可知，ABC都是的充要条件，而D不是的充要条件． 故选：ABC． 【变式6-2】（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【解析】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD. 【变式6-3】（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【解析】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 【变式6-4】（多选题）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 题型七：依据集合运算性质确定参数取值 【例7】（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 【变式7-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【解析】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合，.，，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，，所以，解得， 所以实数的取值集合； （2）由可得， 若，则，即，此时，即成立； 若，则或， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【变式7-4】（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【解析】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 题型八：数集的区间表示规则 【例8】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为___________ 【答案】 【解析】由或， 则区间为． 故答案为： 【变式8-1】将数集用区间表示为________． 【答案】 【解析】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高一上·广东东莞·阶段检测）若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】根据题意可知，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式8-3】用区间表示下列集合： （1）：____________； （2）：____________； （3）：____________； （4）：____________． 【答案】 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【解析】已知集合，若， 所以，解得. 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，阴影部分为． 3．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，， 则. 4．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，，， 所以，则． 5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 6．（25-26高二下·浙江·期中）集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在全集中，满足的元素是，因此， 补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以． 7．（25-26高一下·云南昆明·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，即，将中每个元素加1，得， 所以. 8．若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. 9．（多选题）（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 10．（多选题）（25-26高一上·全国·期末）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，， 则，，则A、C正确， 又，， 则，则B、D错误 故选：AC. 11．（多选题）（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】若，则，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则，所以，故C正确； 若， 可知包含于，故，故D正确， 故选：ACD. 12．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【解析】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 13．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【解析】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 14．已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】空：因为， 所以， 若，则， 所以， 空：若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 又，所以； （2）因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 17．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 18．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）由题知当时，， ， 所以； （2）若，即，由（1）知，， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 所以的取值范围为. 19．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1） 当时， （2）因为，当时，，即 当时，，此时 综上，实数m的取值范围为或． 20．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $