辽宁大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟卷（十三）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，以函数、数列、概率统计等核心知识为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高二期末综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分条件、函数解集、概率计算|基础概念辨析，如第3题结合小组学生转移考查全概率公式| |多选题|3/18|等差数列、正态分布、函数极值|情境化设计，第10题以高考成绩正态分布渗透数学建模| |填空题|3/15|等比数列求和、二项分布方差、切线斜率|聚焦运算能力，第14题通过导数几何意义考查直观想象| |解答题|5/77|独立性检验、函数单调性、概率分布、数列求和、导数证明|综合应用导向，第15题列联表分析体现数据观念，第19题双零点证明考查逻辑推理|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十三） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 3．甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（     ） A． B． C． D． 4．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 6．已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 8．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（     ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 10．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等比数列的前n项和为，若，则______． 13．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则 ___________ 14．若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 75 280 数学优秀 40 合计 400 (1)完善上面列联表，并据此判断是否有的把握认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联？ (2)若将频率视为概率，现从该学校随机抽取3人．其中数学成绩优秀的学生有人，求的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．设． (1)求的单调区间和极值点； (2)求在区间的最大值与最小值． 17．一只不透明的箱子中装有3类卡片，其中A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张，所有卡片除类别外完全相同.抽取规则为：每次从箱子中随机抽取1张卡片，记录类别后放回箱子并且补充1张与抽取类别相同的卡片放入箱子，重复抽取3次. (1)设3次抽取中抽到A类卡片的次数为，求的分布列与数学期望； (2)已知第三次抽取的是A类卡片，求前两次抽取的卡片类别相同的概率. 18．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A D C A B BCD BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 2．B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 3．B 【分析】设事件后，求出相关事件的概率，再由全概率公式计算即得. 【详解】设从甲小组中抽出1名男生为事件，从甲小组中抽出1名女生为事件， 从乙小组中抽出的学生是女生为事件. 则， 故. 4．A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 5．D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 6．C 【分析】就或或分类讨论后可求实数的和. 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 7．A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 8．B 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】是奇函数，所以， 即， 且，又，所以， 因为，即， 即，令，得， 即， 即，则关于直线对称， 可得， 可得 则，故函数是周期为4的函数， ， 所以 9．BCD 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可判断A，求出，再求，即可判断B，表示出，列出其前几项，即可判断C，结合二次函数性质求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 10．BCD 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 11．AD 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D. 【详解】， 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图 由图知，A正确，B错误； 若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误； 由得或. 因为，， 所以与，的图象共有5个交点， 所以函数有5个零点，故D正确. 12．－144 【分析】先利用前项和公式求出首项与时的通项，再根据等比数列的定义确定参数，最后由等比数列通项公式计算. 【详解】由，得. 当时，； 当时，. 因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式， 即，解得. 此时，公比，故. 13． 【分析】分析可知，结合二项分布的方差公式运算求解. 【详解】因为有放回地取球5次，可知每次取到红球的概率均为， 则，所以. 故答案为：. 14． 【分析】设切点为，再利用导数的几何意义求出切线方程，然后将原点坐标代入可求出，再将代入导函数中可求出切线的斜率. 【详解】因为，所以， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 所以，所以， 所以切线方程的斜率. 15．(1)完善后的列联表： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 205 75 280 数学优秀 40 80 120 合计 245 155 400 有99.9%的把握认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联 (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）根据总人数及已知数据补全列联表，代入卡方公式计算后与临界值比较判断关联性； （2）将频率作为概率，确定服从二项分布，并计算分布列和期望. 【详解】（1）总人数为，数学优秀合计为； 数学不优秀中语文不优秀人数为； 数学优秀中语文优秀人数为； 语文不优秀合计为，语文优秀合计为； 完善列联表如下： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 205 75 280 数学优秀 40 80 120 合计 245 155 400 提出零假设：数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关联， 则， 故假设不成立，即有99.9%的把握认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联； （2）由题意，抽取名学生数学成绩优秀的概率为，随机抽取人， 则其中数学成绩优秀的学生人数，的可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16．(1)单调递减区间为，，单调递增区间为，极小值点为，极大值点为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的正负性的关系，结合函数极值的定义进行求解即可； （2）根据函数的最值定义，结合（1）中的结论进行求解即可. 【详解】（1）由， 得． 由，解得； 由，解得或． ∴的单调递减区间为，，单调递增区间为， ∴的极小值点为，极大值点为． （2）由（1）可知在上的极小值为，极大值为． 又，． ∴在的最大值为，最小值为． 17．(1)分布列为： 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）先确定的可能取值为0，1，2，3，再求对应的概率，进而得到的分布列、求得； （2）设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同”.计算，，根据条件概率计算公式求解. 【详解】（1）由题意可知的可能取值为0，1，2，3. ：三次都没有抽到A，则. ：三次抽取中恰好一次取到A（分三种情况：A在第1或第2或第3次被抽到） 则. ：三次抽取中恰好两次取到A（分三种情况：非A在第1或第2或第3次被抽到） 则. ：三次都抽到A，则. 因此的分布列为： 0 1 2 3 . （2）设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同”，则. 按照抽取的次序及类别共有9种情况：AAA、ABA、ACA、BBA、BAA、BCA、CCA、CAA、CBA，则 . 前两次抽取类别相同且第三次抽取A的情况有3种：AAA、BBA、CCA. 则：. 故. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 19．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (3)， 因为函数有两个零点，，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【分析】（1）求出函数的导函数，再解，即可得解； （2）求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立． 【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是． 令，解得 ，所以函数的增区间是． （2）函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，， 当，；当 ，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或 ， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $