精品解析：辽宁省大连市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

大连市2024～2025学年度第二学期期末考试 高二数学 命题人：申丽萍 刘彦永 刘宁 费扬 注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2. “数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则集合中包含的元素个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 下列结论正确的是（ ） A 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，则 C. 若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D. 相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 6. 已知，，，且，，（其中是自然对数底数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第次传球后，球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则 B 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 11. 已知函数（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是上的增函数 B. 若，则为函数的极大值点 C. 当且仅当时，函数有两个不同的零点 D. 若函数在上存在零点，则的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分．） 12. 已知函数，则曲线在点处切线方程为________． 13. 已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为，，而且这人之间的考试互不影响．则在恰有人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为________． 14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 某生产线上有甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，随机抽取两台机床生产的产品，共抽取100件．产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 总计 甲机床 30 乙机床 10 总计 75 100 （1）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ （2）将上述抽样所得的频率视为概率．现从生产线上采取随机抽样的方法，每次抽取一件产品． ①若抽取3次，记抽取的3件产品中二级品件数为，求随机变量的分布列，期望及方差； ②若抽取100次，记抽取100件产品中一级品件数为，当最大时，求的值． 附： ． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的不等式（其中是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大连市2024～2025学年度第二学期期末考试 高二数学 命题人：申丽萍 刘彦永 刘宁 费扬 注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质直接可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 则，解得， 故选：B. 2. “数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项，充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 3. 已知集合，，则集合中包含的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，即可得解. 【详解】由， 则，共个元素， 故选：B. 4. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到，为一个周期为8的周期函数，故，代入求值即可. 【详解】函数图象关于对称，故， 又为奇函数，故，所以， 所以，故， 为一个周期为8的周期函数， 故， 时，，故，所以 故选：A 5. 下列结论正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，则 C. 若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D. 相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何分布的期望公式代入验证选项A；根据正态分布在均值处的对称性判断选项B；根据回归直线必过样本均值点，代入验证选项C；根据相关系数绝对值与线性相关性的关系判断选项D. 【详解】根据超几何分布的期望公式：，故A错； 正态分布，均值是对称中心，故，因此，故B错； 回归方程必过样本均值点，代入，得：，故C错. 相关系数r的绝对值范围为，绝对值越大，线性相关性越强，故D对. 故选：D. 6. 已知，，，且，，（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而判断函数值大小，即可得解. 详解】设，， 则，且，，， 则当且时，，当时，， 即函数在和上单调递减，在上单调递增， 则， 即， 又，，， 则， 故选：C. 7. 已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，，， 作出的图象，如图， 令，得， 或， 当时，仅存在唯一的满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第次传球后，球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，构造等比数列，求出，同理求出，CD正确，再判断出AB，得到答案. 【详解】由题意得， 故，其中，所以， 所以，，C正确； ，A正确； 同理可得，， 其中，故， 所以，，D正确； ，， ， ，B错误. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式，函数单调性逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，当且仅当取等号，错误； 对B，在单调递增，所以最小值为，正确； 对C，由，当时，有最小值为，正确； 对D，由，当时，；当时，，错误. 故选：BC 10. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用退一相减法求得，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项. 【详解】A选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，A选项错误； B选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 综上所述，B选项正确； C选项：由，即，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，所以，C选项正确； D选项：由已知， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知函数（其中是自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是上的增函数 B. 若，则为函数的极大值点 C. 当且仅当时，函数有两个不同的零点 D. 若函数在上存在零点，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别求导，根据导数判断函数单调性、极值与零点情况，即可判断ABC选项；D选项：由函数有零点可知，又表示点到直线距离的平方，可知，构造函数，求导判断函数单调性，即可得最值. 【详解】由已知，则， A选项：当时，，， 设，则， 可知当时，，函数单调递减，当时，，单调递增， 即当时，取得最小值为， 即，所以函数在R上单调递增，A选项正确； B选项：当时，，， 设，则， 可知在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以存在，使， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，B选项正确； C选项：由B选项可知，当时，，，，即此时，使， 即当时，有两个零点，C选项错误； D选项：， 由函数在上存在零点， 即，使，即， 又表示点到直线即直线的距离的平方， 设距离为， 即， 设，， 则恒成立， 即在上单调递增， 所以在处取得最小值为， 即的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．共15分．） 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程. 【详解】由，得， 则，且， 则曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：. 13. 已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为，，而且这人之间的考试互不影响．则在恰有人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及条件概率公式直接计算. 【详解】设事件：恰有人通过考试，事件：甲通过考试， 则， ， 则， 故答案为：. 14. 下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第行第列的数为（其中），则________，数字在表中总计出现________次． 13 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“森德拉姆数筛”的特点可写出通项公式，进而可得及出现的次数. 【详解】由已知， 所以， 令， 则， 又， 设与所表示的数对为， 则其可能的取值有，，，，，，，，，，，，，，，共有个， 即数字共出现次， 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解即可； （2）裂项相消法计算求和. 【小问1详解】 由已知可得， 解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以． ． 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 17. 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，由可知， 两式相减得，即． 又因为，且， 所以数列从第二项起是等比数列，公比为， 所以， 综上所述，； 【小问2详解】 由（1）可知． ，① ，② ①②，得 ． 所以． 18. 某生产线上有甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，随机抽取两台机床生产的产品，共抽取100件．产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 总计 甲机床 30 乙机床 10 总计 75 100 （1）根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ （2）将上述抽样所得的频率视为概率．现从生产线上采取随机抽样的方法，每次抽取一件产品． ①若抽取3次，记抽取的3件产品中二级品件数为，求随机变量的分布列，期望及方差； ②若抽取100次，记抽取的100件产品中一级品件数为，当最大时，求的值． 附： ． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，没有 （2）①分布列见解析，，；② 【解析】 【分析】（1）依据题意填写表格，然后计算卡方判断； （2）①由题可知，然后写出所有取值以及对应的概率，写出分布列，然后根据二项分布的期望和方差计算即可；②由题可知，然后列出计算即可. 【小问1详解】 完善列联表如下， 一级品 二级品 总计 甲机床 30 15 45 乙机床 45 10 55 总计 75 25 100 根据列联表计算可得 ． 所以没有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 【小问2详解】 ①由列联表得抽到二级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为二级品的概率是． 由题意可知，的取值范围是． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以，． ②由列联表得抽到一级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为一级品的概率是． 由题意可知，，， 所以， 因为是正整数，所以，即当最大时，． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的不等式（其中是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且，求证：． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）方法一：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值；方法二：将不等式转化为，构造函数，根据函数单调性可将不等式转化为，分离参数，结合函数单调性可得最值.. （3）方法一：由（1）可知，，欲证，只需证，在上单调递减，令，则在上单调递减，易知，所以只需证，即证．设，函数，根据导数判断函数单调性，即可得证；方法二：由（1）可知，，所以欲证，只需证证，在上单调递增，令，则在上单调递增，易知，所以只需证，即证，设，函数，求导，根据导数判断函数单调性，进而可得证；方法三：由（1）可知，，所以欲证，只需证．即证，令，①，又因为，所以②，可得，，所以只需证，构造函数，求导，设，求导，根据导数判断函数单调性，进而判断函数最值，即可判断单调性，再根据切线不等式可证，即可得证；方法四：由（1）可知，，所以欲证，只需证，因为，，所以，设函数，求导，判断函数单调性，可得，化简可得．因为，所以，即，所以成立． 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 由恒成立，可知， 方法一：因为， 设，函数在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； 方法2： 因为 设，函数在上单调递增， 因为，，所以恒成立， 所以，即恒成立， 由（1）可知的最大值为， 所以，即实数的取值范围是； 【小问3详解】 证明：方法一： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递减， 令，则在上单调递减． 因为，且， 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故上单调递增，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法二： 由（1）可知，． 欲证，只需证，即证． 在上单调递增， 令，则在上单调递增． 因为，且． 所以欲证，只需证，即证， 即证． 设，函数， 则． 令，则当时，， 故在上单调递减，所以， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，即成立， 所以成立． 方法三： 由（1）可知，． 欲证，只需证． 因为，即证． 令，则，．① 又因为，所以．② 由①、②两式，可解得，， 所以只需证． 设函数， 则 ． 因为，所以，． 设函数， 则， 所以在上单调递增，所以， 因此，在上单调递增． 设函数，则． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以，即（当且仅当时取等号）． 因为，所以，即，． 所以，因为，所以， 又因当时，，两边夹可得，当时，，， 因为在上单调递增， 所以时，，即， 所以成立． 方法四： 由（1）可知，． 欲证，只需证， 即证，即证． 因为，，所以， 设函数， 则，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 所以， 展开整理，得． 因，所以，即， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$