2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十一）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，以函数、数列、概率统计等核心知识为载体，通过视力调查、游园活动等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，梯度设计合理，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性、等差数列|基础概念辨析，如第3题奇函数求值| |多选题|3/18|正态分布、事件独立性|情境化问题，如第9题出行时间概率分析| |填空题|3/15|等比数列、排列组合方差|创新设问，如第13题字母排列方差计算| |解答题|5/77|导数应用、回归分析、极值证明|综合应用，如第17题游园数据回归与离园概率计算，体现数学语言表达现实世界|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十一） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 5．已知等差数列的前项和为，若， ，则 （ ） A． B． C．1 D． 6．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A．-2 B．2 C． D．4 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B．若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C．若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 出发，则应选择坐公交车 10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“第一次掷出的点数为偶数”，事件B表示“第一次掷出的点数为3的倍数”，事件C表示“两次掷出的点数之和大于6”，事件D表示“第二次掷出的点数比第一次掷出的点数大”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D． 11．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 13．将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________． 14．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 16．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 17．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18．某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． (1)当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 19．设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（十一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D B A D BCD BD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】，解得， ； ，解得， ； ， ． 2．B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 3．A 【详解】由已知得，而， 则， 所以. 4．A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 5．D 【分析】将题目条件转化成和，即可得解. 【详解】由，得 ∴， 又公差 ， 所以. 6．B 【分析】设某校学生近视为事件，玩手机超过1小时为事件，则所求概率为，然后由全概率公式结合题设可得答案. 【详解】设某校学生近视为事件，玩手机超过1小时为事件，由题设可得，，. 则从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为. 则由全概率公式：. 7．A 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 8．D 【分析】令，由当时，，当时，，结合恒成立，得到，即，再利用基本不等式求解. 【详解】令， 当时，，当时，， 因为恒成立，所以当时，， 当时，， 又是连续函数，所以当时，，即， 又，则，若，则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4. 9．BCD 【分析】根据所给数据求出坐公交车的均值方差判断A，由正态分布及所给图象分析可判断BCD. 【详解】坐公交车所花时间的均值为： ， 方差为 ，故A错误； 根据题意，可以得到， 7：50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故B正确； 由题中图可知， ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上 出发，有可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故D正确． 10．BD 【详解】当第一次掷出6点时，事件A与事件B同时发生，故A与B不是互斥事件，故A错误； 因为，，， 所以， 所以A与B相互独立，故B正确； 通过列举发现满足事件C有21种情况，则, ， 所以，而，， 所以B与C不相互独立，故C错误； 因为 所以，因此，故D正确. 11．BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 12． 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 13．/ 【分析】的可能取值为0，1，2，利用排列组合知识求得，，的排列数，求得分布列，进而利用方差公式求解即可. 【详解】由题意知, 的可能取值为0，1，2. 由将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧， 当，即，之间没有其它字母时.先将，全排，有种排法， 再把，的全排看作一个大元素，与剩下的3个元素全排列，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，之间只有，之一时，先将，全排列有种排法， 再在，中选1个放入，之间，有种选法， 再把这三个元素的排列看作一个大元素，和剩下的2个元素全排，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，都在，之间时，先将，全排，有种排法， 把，全排列，有种排法， 再把，全排作为一个大元素放入，之间有1种放法， 再把这4个元素的排列看作一个大元素与全排，有种排法， 因此共有种排法. 所以基本事件共有种. 其中，，， 所以， 所以. 14． 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 15．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数计算研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性及零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 16．(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 17．(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 18．(1)分布列为，数学期望； (2)所求概率为。 【分析】（1）由题意顾客给出五星评价的人数服从二项分布，据此求出五星评价率的概率，得出分布列，再由二项分布的数学期望及数学期望性质计算求解； （2）由（1）可得该店五星评价率超过的概率，再由组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为任一顾客给某店五星评价的概率为，且顾客给予评价时互不影响， 所以n 位顾客给某店五星评价数服从二项分布 ， 因为五星评价率， 所以当时，， 所以分布列为： X 1 P 所以. （2）由（1）知，该店五星评价率超过的概率为 , 由组合数性质知，， 记， 所以，且， 所以. 即为奇数时，该店五星评价率超过的概率为. 19．(1)1 (2)（i）且； （ii）根据（i）可知时，存在两个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 为的零点，则，因为，所以， 则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 即，，， 所以， 故，，当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【分析】（1）直接求导，求出函数有唯一的极大值点，即为最大值点，求出最大值即可； （2）（i）由存在两个极值点，则存在个变号零点，令，求出零点即可求出的取值范围；（ii）先根据导数关系确定极大值点和极小值点，再分别求出极值，最后利用基本不等式得出证明结论. 【详解】（1）由题可知，定义域为，则， 当时，则，所以在上单调递增， 当时，则，所以在上单调递减， 故在处取极大值，即最大值，为． （2）（i）由题可得，，则， 因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令， 则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根， 当时，方程无解，则，所以，因此且； （ii）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $