必修二知识点全集-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1平面向量的概念 知识点一　向量与数量 (1)向量： 叫做向量． (2)数量： 称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 ． 表示法 几何表示：用 来表示向量， 表示向量的大小， 表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作 ． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 叫做零向量，记作0 单位向量 ，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定： 与任意向量平行（零向量的方向是 的） 相等向量 叫做相等向量；向量a与b相等，记作 相反向量 叫做相反向量；向量a与b相反，记作 [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 6.2.1向量的加法运算 知识点一　向量的加法 (1)向量加法的定义 ，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量，在平面内取任意一点A，作＝，＝，则向量 叫做与的和，记作 ，即＝＋＝ . 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 口诀： 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，以OA，OB为邻边作 ▱OACB，则 就是向量与的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 对于零向量与任意向量，规定＝ ＝ ． [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 知识点二 向量的三角不等式 当且仅当中有一个是 或是方向 的非零向量时左侧等号成立． 当且仅当中有一个是 或是方向 的非零向量时右侧等号成立． 知识点三　向量加法的运算律 (1)交换律： . (2)结合律： ． 6.2.2向量的减法运算 知识点一　相反向量 定义 与向量长度 ，方向 的向量，叫做的相反向量，记作 . 规定：零向量的相反向量仍是 结论 －(－)＝ ，＋(－)＝(－)＋＝ 如果互为相反向量，那么＝－，＝－，＋＝ 知识点二　向量的减法 定义 向量加上的 ，叫做与的差，即－＝＋(－)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 已知向量，在平面内任取一点O，作＝，＝， 则＝－，如图所示 几何意义 如果把两个向量的起点放在一起，则－可以表示为 的向量 知识点三 向量的三角不等式 当且仅当中有一个是 或是方向 的非零向量时左侧等号成立． 当且仅当中有一个是 或是方向 的非零向量时右侧等号成立． 6.2.3向量的数乘运算 知识点一　向量的数乘 定义 实数λ与向量a的积是一个 ，记作 长度 |λa|＝ 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 当λ＝0时，λa＝ 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 知识点二　向量数乘的运算律 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ 知识点三　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： ． 6.2.4 向量的数量积 知识点一　向量的夹角 条件 两个 向量， 产生过程 O是平面上的任意一点，作＝，＝，则 ＝θ叫做向量与的夹角 范围 记法 特殊情况 θ＝0 与 θ＝π 与 θ＝ 与 ，记作 知识点二　向量数量积的概念 已知条件 两个非零向量与，它们的夹角为θ 定义 叫做向量与的数量积(或内积) 记法 记作 ，即·＝ 规定 零向量与任一向量的数量积为 知识点三　投影向量 (1)如图1，设，是两个非零向量，＝，＝，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量向向量 ，叫做向量在向量上的 ． (2)如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝，＝.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量在向量上的投影向量． (3)设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则与，，θ之间的关系为＝ ． 知识点四　向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 (1)·＝·＝ ． (2)⊥⇔ ． (3)当与同向时，·＝ ； 当与反向时，·＝ |． (4)·＝ 或||＝＝. (5)|·| ||||. 知识点五　向量数量积的运算律 对于向量，，和实数λ，有 (1) (交换律)． (2)(λ)·＝ ＝ (结合律)． (3) (分配律)． [拓展] 　(1)(±)2＝2±2·＋2. (2)(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2. (3)(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. (4) 6.3.1 平面向量基本定理 知识点一　平面向量基本定理 条件 是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底 若不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 注（1）基底的选取不唯一 （2） 选定基底后，λ1，λ2唯一 （3） 零向量 作为基底 平面向量基本定理的推广：平面内任意三个不共线的向量，任何一个向量都可以用其它两个向量线性表示，并且表示唯一。 6.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 ，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与 、 方向相同的两个 分别为，，取{，}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知， 一对实数x，y，使得＝x＋y 定义坐标 有序数对 叫做向量的坐标，记作＝(x，y) 特殊向量的坐标 ＝ ，＝ ，＝ 知识点二 　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则＋＝ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则－＝ 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝ 知识点三　平面向量数乘运算的坐标表示 文字 符号 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若＝(x，y)，λ∈R，则λ＝ 知识点四　平面向量共线的坐标表示 前提条件 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠ 结论 向量，(≠)共线的充要条件是 知识点五　线段中点、三等分点的坐标公式 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标是 ；若点P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则点P的坐标是 ；若点P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则点P的坐标是 ． 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们 ，即·＝ 两个向量垂直 ，是非零向量，⊥⇔ 知识点二　三个重要公式 6.4.3 余弦定理 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于 ． 即a2＝ ，b2＝ ，c2＝ ． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ ． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的 ， ， 和它们的 ， ， 叫做三角形的元素． (2) 叫做解三角形． 注：（1）余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立。 ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可以求第四个量。 （2） 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 在∆中，；； 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形 6.4.3 正弦定理 正弦定理 正弦定理的描述 ①文字语言： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言： 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为， ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 正弦定理应用解三角形 (1) 已知 ，解三角形； (2)已知 ，解三角形． 三角形常用面积公式 ①； ② ； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； 注：对正弦定理的理解 （1） 适用范围：正弦定理对任意三角形都成立。 （2） 结构形式：分子为三边边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式。 （3） 揭示规律：描述三角形中边与角的一种数量关系。 （4） 主要功能：实现三角形中边角关系的转化。 7.1 复数的概念 知识点一　复数定义及表示方法 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做 ，其中i叫做 ，满足 . 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的 ． 3． 复数集的定义及表示 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做 ，通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0； 当 时，它叫做虚数；当 时，它叫做纯虚数． 可以通过下图表示： (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 注：两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系。 知识点三　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 ． 7.1.2 复数的几何意义 知识点一　复平面 　建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示 ． 知识点二　复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi复平面内的点 . （2）复数z＝a＋bi平面向量. 知识点三　复数的模 （1） 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的 或 . （2） 记作 或 . （3） |z|＝ ＝ (a，b∈R)． （4） 模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z到原点的距离. 知识点四　共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为 ．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ． （2）复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ ． （3）性质： ① ②实数的共轭负数是它本身，即 7.2.1复数加减法及其几何意义 知识点一　复数的加法与减法 (1)复数的加、减运算法则 (a＋bi)+(c＋di)＝ (a，b，c，d∈R)． (a＋bi)-(c＋di)＝ (a，b，c，d∈R)． (2)复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 （1） z1＋z2＝ ； （2） (z1＋z2)＋z3＝ ． 知识点二　复数加、减法的几何意义 知识点三　复平面内的两点间距离公式 若z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，且z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，则点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝ . 7.2.2 复数的乘除运算 知识点一　复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ ． 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成 ，并且把实部和虚部分别合并即可． 知识点二　复数的乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律：z1z2＝ ； 结合律：(z1z2)z3＝ ； 分配律：z1(z2＋z3)＝ ． 知识点三　复数的除法法则 复数除法的法则：＝ (a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 复数除法的实质： . 8.1.1 棱柱、棱锥、棱台 1.空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形，分为 和 两类。 2.多面体：一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体. 3.旋转体：一条 （包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做 . 4.棱柱 （1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. （2）棱柱的表示：棱柱. （3） 棱柱的结构特征： ①底面互相 且 ②侧面都是 ③侧棱 且 （4）棱柱的分类： ①按棱柱底面边数分类: 、 、 …… ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 （5）特殊的棱柱 正棱柱：底面是 的 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 注：常见的几种四棱柱之间的转化关系 5.棱锥 （1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （2）棱锥的表示：棱锥. （3）棱锥的结构特征： ①仅有一个底面是多边形 ②侧面都是 ③各侧面有且只有一个公共顶点 （4） 棱锥的分类：①按照棱锥的底面边数分类： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… ，特别地，三棱锥又叫四面体。 （5）特殊的棱锥 正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 正四面体：每条棱都相等的三棱锥 6.棱台 （1）棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做 . （2）棱台的表示：棱台. （3）棱台的结构特征： ①上底面和下底面是 的相似的多边形； ②侧面都是 ③侧棱延长后必须交于一点 （4）棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （5） 特殊的棱台 正棱台：由正棱锥截得的棱台，上下底面都是正多边形，侧面都是全等的等腰梯形的棱台. 7.棱柱、棱锥、棱台关系图 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 1. 圆柱 （1）圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转 形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 如图中的圆柱记作圆柱. （2）圆柱的结构特征： ①圆柱有无数条母线，它们 且 . ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆. ③过轴的截面(轴截面)都是全等的 . ④过任意两条母线的截面是矩形. 2.圆锥：以直角三角形的一条 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 如图中的圆锥记作圆锥. 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 . 如图中的圆台记作圆台. 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的 叫做球面，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球. 如图中的球记作球O. 5. 简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体. 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成；一种是由简单几何体 或挖去一部分而成. 8.2 立体图形的直观图 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ （或 ），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 ，平行于y轴的线段，长度变为原来的 ． 口诀：“ ， ， ” 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画′轴，′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ① 不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行； ②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交； ③平行于x，轴的长度不变． 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝2S底+S侧． 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底； 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝ ． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 棱柱的底面积S，高为h，其体积V棱柱＝ . 2．棱锥的体积 棱锥的底面积为S，高为h，其体积V棱锥＝ . 3．棱台的体积 棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V棱台＝ ． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积： 侧面积： 表面积： 圆锥 底面积： 侧面积： 表面积： 圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积： 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积 (是底面半径，是高)， (是底面半径，是高)， (，分别是上、下底面半径，h是高). 3. 球的表面积和体积 表面积： ．（是球的半径） 体积： ．（是球的半径） 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 8.4.1　平面 知识点一　平面的概念及表示 (1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中 的，是 的． (2)平面的画法：①常用 ，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 . ②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常 ，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图2. (3)表示法：常用 等来表示；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 知识点二　点、线、面之间的关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l 知识点三　平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过 ，有且只有一个平面 ⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果 ，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 用来证明直线在平面内 基本事实3 如果 ，那么它们有且只有一条 ⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 推论 内容 图形 符号 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点， 平面 A∉BC⇒存在唯一的平面α，使A∈α，BC⊂α 用来确定一个平面 推论2 经过两条 ，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条 ，有且只有一个平面 a∥b⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 1. 异面直线 ①定义：把不同在任何一个 的两条直线叫做异面直线； ②画法：异面直线的画法(通常用平面衬托) 2.空间中两条直线的位置关系： 3.空间中直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系有且只有三种： 位置关系 公共点 符号语言 图形语言 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 8.5.1 直线与直线平行 知识点一　基本事实4(平行线的传递性) (1)文字语言： ． (2)符号语言：a∥b，b∥c⇒ ． 注： （1）在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线 （2）两个重要结论：①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点二　空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或 符号语言 对于∠BAC和∠B′A′C′，AC∥A′C′，AB∥A′B′⇒∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° 图形语言 等角定理用来证明两个角相等或互补。 8.5.2 直线与平面平行 直线与平面平行的判定及性质 定理 条 件 结 论 图形语言 符号语言 简记 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 线线平行， 则线面平行. 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 线面平行， 则线线平行. 8.5.3 平面与平面平行 知识点一　平面与平面平行定义 平面与平面 公共点 知识点二 平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的 与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α 简 记 线面平行，则面面平行 作用 证明两个平面 注：平面与平面平行的判定方法 （1）平面与平面平行的定义； （2）平面与平面平行的判定定理。 知识点三 平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 . 符号语言 ⇒ a ∥b. 图形语言 简记 面面平行，则线面平行. 作用 证明两条直线 注意：面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 8.6.1 直线与直线垂直 知识点一　空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种： 、 和 ． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点二　直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做 ． （1）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相 ．直线a与直线b垂直，记作 ． （2）当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为 ． （3）空间两条直线所成角θ的取值范围是 ． 空间两条异面直线所成角θ的取值范围是 ． 8.6.2 直线与平面垂直 知识点一　直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的 ，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 ．直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3． 过一点垂直于已知平面的直线 ．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ， 的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的 ，那么该直线与此平面垂直． 2．符号语言： ⇒l⊥α. 3．图形语言：如图所示． 知识点三　直线与平面所成的角的定义 1．定义： ，但 ，这条直线叫做这个平面的斜线， 叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 ， 叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和 ，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2．图形：如图所示． 4． 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 ． 直线与平面所成的角θ的取值范围是 ． 知识点四　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 ⇒ 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点五　线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【常用结论】 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 8.6.3 平面与平面垂直 知识点一：　二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的 ， ②两个半平面叫做二面角的 ． (3)画法： 　　　　　 (4)记法：二面角 或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl， 则二面角α－l－β的平面角是. （6）直二面角：平面角是 的二面角叫做直二面角． （7）二面角的平面角α的取值范围是 ． 知识点二：平面与平面垂直 1、平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：. 2、判定定理 文字语言 一个平面经过另一个平面的 ， 则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 ⇒α⊥β 知识点三 面面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， ⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，则线面垂直. 知识点四 直线、平面之间的位置关系相互转化 9.1.1 简单随机抽样 知识点一：全面调查和抽样调查 （1）全面调查 定义：对 调查对象都进行调查的方法称为全面调查，又称普查. 相关概念：在一个调查中，把调查对象的 称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体. （2）抽样调查 定义：根据一定目的，从总体中抽取 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况做 出 和 的调查方法. 相关概念：把从总体中抽取的 个体称为样本，样本中包含的 称为样本容量，简称样本量. 知识点二：简单随机抽样 1、定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中 抽取n（1≤n≤N）个个体作为样本. 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样. 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 简单随机抽样和 简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2、 简单随机抽样的特点： （1） ， （2） ， （3） ， 知识点三：简单随机抽样方法 （1）抽签法：先给总体中的N个个体 ，然后把所有 写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为 ，并将号签放在一个不透明容器中， 后，每次从中不放回的抽取一个号签，连续抽取N次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. （2）随机数法 ①用随机试验生成随机数. ②用信息技术生成随机数：a.用 生成随机数；b.用 软件生成随机数；c.用 软件生成随机数. 知识点四：总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 = 为总体均值，又称总体平均数. （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量中，不同的值有个，不妨记为，其中出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 . （3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = 为样本均值，又称样本平均数. （4）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数. 9.2.1 总体取值规律的估计 知识点一 频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 （1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“ ”. （3）将数据分组：通常对组内数据取 区间，最后一组数据取闭区间. （4）列频率分布表：一般分为分组、频数累计、频数、频率四列.其中频数合计应是样本容量，频率合计是 . （5）画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴表示. 小长方形的面积组距×频率.各小长方形的 总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. 知识点二 其它统计图表 1.几种常见统计图表 （1）条形图(如图)． （2）扇形图(如图). 某单位某年的水、电、交通开支 某校某年一个学期的开支 （3）折线图(如图)． （4）直方图(如图)． 2.统计图表各自的特点 （1）扇形图：直观描述各类数据占总数的 . （2）条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. （3）折线图：描述数据随 的变化趋势. 9.2.2 总体百分位数的估计 知识点一 第百分位数 1、定义 使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 2、求第百分位数步骤 第1步，按　　　　排列原始数据.； 第2步，计算.（是原始数据的编号）； 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第 项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的 . 3、四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.75% 50% 第三四分位数 上四分位数 中位数 第一四分位数 下四分位数 知识点二 频率分布直方图中第p百分位数的计算 根据频率分布直方图计算样本的第百分位数 第1步：计算各组的频率（即计算各小长方形的面积） 第2步：确定百分位数所在的区间[a，b）.确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为，，第3步：第百分位数为 9.2.3 总体集中数据的估计 知识点一 众数、中位数、平均数 1、众数：一组数据中出现次数 的数. 2、中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置的数（或中间两个数的 ）叫做这组数据的中位数. 3、平均数:如果有个数,那么 叫做这n个数的平均数. 以上三者都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 知识点二 总体集中趋势的估计 1、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关. （1）直方图形状　　　　⇒平均数和中位数　　　　 . （2）直方图形状　　　　⇒平均数　　　　 中位数 （3）直方图形状　　　　⇒平均数　　　　 中位数 单峰频率分布直方图中的平均数与中位数的位置关系 注：也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 2、 众数的特点：众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对　　　　不敏感. 3、 平均数、中位数和众数分别适合描述什么特点的数据？ 对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用　　　　　　　　； 对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用　　　　 知识点三 频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 （1）样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. （2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. （3）将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 9.2.4 总体离散程度的估计 知识点一 极差 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 知识点二 方差、标准差的定义 一组数据为x1，x2，…，xn （1） 平均数为　　　　　　　　= （2） 方差为s2=　　　　　　　　　　　　= （3） 标准差为s=　　　= .  注1：如果总体中所有个体的变量值分别，总体平均数为，则称 为总体方差， 为总体标准差. 住2：如果总体中个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差 . 知识点三 方差和标准差的取值范围 方差和标准差的取值范围为 注：s=0、s2=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的，表明数据没有波动程度，数据没有离散性 知识点四 方差、标准差的意义 （1）标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小. （2）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性. 知识点五 具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么y1，y2，…，yn的 平均数为 ，方差为 ，标准差为 . 知识点六 分层随机抽样的平均数与方差的求法 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则 =xi，=(xi-)2，=yi，=(yi-)2. 若记总的样本平均数为，样本方差为s2，则可以算出 = = ， s2= = . 10.1.1 有限样本空间与随机事件 知识点一 随机试验的概念及特点 1、概念 我们把对 和对他的观察称为随机试验，简称 .常用字母E表示. 2、 特点 随机试验的特点：　　　 　　、　　 　　　、　　 　　 ①试验可以在相同条件下 进行. ②试验的所有可能结果是 的，并且 . ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二 样本点及样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的　　　　　　　　　称为样本点  用　　　表示 样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用　　　表示 有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为　　　　　　  Ω={ω1，ω2，…，ωn} 随机 事件 我们将样本空间Ω的　　　　称为　　　　　　，简称事件，并把只包含　　　　样本点的事件称为　　　　　　，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为　　　　　　　　  必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为　　　　　  不可能 事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为　　　　　　　　　  10.1.2 事件的关系和运算 定义 符号 图示 并事件（或和事件） 一般地，事件A与事件B 有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A∪B （或A+B） 交事件（或积事件） 一般地，事件A与事件B 发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 知识点一 两个事件的运算 知识点二 两个事件的关系 定义 字母表示 图示 包含 若事件A发生，则事件B　　　　发生，我们就称事件B　　　　事件A(或事件A包含于事件B)   记作　　　　　. 相等 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B　　  记作　　　　　. 定义 图示 互斥 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即　　　　　　　　，则称事件A与事件B　　　　(或互不相容).  对立 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有　　　　发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为　　　　.  思考：互斥事件与互为对立事件之间有怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 10.1.3 古典概型 知识点一 事件的概率 对随机事件发生 的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用 表示. 知识点二　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： （1）有限性：样本空间的样本点只有 ； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性 . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 模型，简称 . 知识点三 古典概型的概率公式 1、一般地，设试验E为古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的个样本点，则定义事件A的概率P(A)= = .其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 2、求古典概型概率的计算步骤 （1）确定样本点总个数n； （2）确定事件A包含的样本点个数； （3）计算事件A的概率P(A)= 10.1.4 概率的基本性质 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)　　　　0.  性质2　P(Ω)=　　　　，P(∅)=　　　　.  性质3　若事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=　　　　　　.  推论 若事件A1，A2，…，Am两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪Am)=　　　　　　　.  性质4　若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)= 　　。 P(AB)=　　　　　　;P(A∪B)=　　　　　　　　;P(B)=　　　　　　；P(A)=　　　　　　. 性质5　若A⊆B，那么　　　　　　　　　.(概率的单调性) 推论 对于任意事件A，　　　　　　　　　　　 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)= 　　　　　　　　　. 思考：（1）在同一试验中，对任意两个事件A，B，一定成立吗？ 10.2 事件的相互独立性 知识点一 事件的独立性定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=　　　　　　成立，则称事件A与事件B相互独立.  知识点二 互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 概率公式 注：1、若P(A)且P(B)，则 ① ② 2、相互独立的事件可能同时发生 知识点三 两两独立与相互独立的区别 定义 设是三个事件，若满足等式 则称事件两两相互独立 定义 设是三个事件，若满足等式 则称事件相互独立 注：两两独立 相互独立 思考1：不可能事件与任何事件相互独立吗？必然事件呢？ 思考2：如果事件A与事件B相互独立，那么么A与,与B，与各是什么关系？ 知识点四 相互独立事件的性质 性质1：必然事件Ω、不可能事件∅与任意事件 . 性质2：如果事件A与B相互独立，那么A与,与B，与也都相互独立.即 、 、 . 知识点五 相互独立事件概率的求法 若事件A与事件B相互独立，且概率分别为P(A)、P(B) 事件 表示 概率 A、B同时发生 A、B都不发生 A、B恰有一个发生 A、B中至少有一个发生 A、B中至多有一个发生 10.3　频率与概率 知识点一 频率的稳定性 1、 频率：相同条件下，重复n次实验，事件A出现的比例，f n(A)= 2、 概率：度量事件A发生可能性大小的数值，记作P(A). 3、 频率与概率的区别与联系 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越 概率． （2）频率本身是 的，在试验前不能确定． （3）概率是一个 的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 4、频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的 ．因此，我们可以用频率f n(A)估计概率P(A)． 知识点二 随机模拟 1、随机数的产生方法 (1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的号码就称为随机数． (2)伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性 (周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 2、随机数产生的方法比较 方法 抽签法 用计算器或计算机产生 优点 保证机会均等 操作简单、省时、省力 缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能 3、利用随机模拟法估计概率 蒙特卡洛方法：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1平面向量的概念 知识点一　向量与数量 (1)向量： 既有大小又有方向的量 叫做向量． (2)数量： 只有大小没有方向的量 称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 起点 、 方向 、 长度 ，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 ． 表示法 几何表示：用 有向线段 来表示向量， 线段的长度 表示向量的大小，线段的方向 表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作 ． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 叫做零向量，记作0 单位向量 叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定： 零向量 与任意向量平行（零向量的方向是任意的） 相等向量 大小相等方向相同 叫做相等向量；向量a与b相等，记作 相反向量 大小相等方向相反 叫做相反向量；向量a与b相反，记作 [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 6.2.1向量的加法运算 知识点一　向量的加法 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算 ，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量，在平面内取任意一点A，作＝，＝，则向量 叫做与的和，记作 ，即＝＋＝ . 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 口诀： 首尾顺次相连，由箭尾指向箭头 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，以OA，OB为邻边作 ▱OACB，则 就是向量与的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 对于零向量与任意向量，规定＝ ＝ ． [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 知识点二 向量的三角不等式 当且仅当中有一个是 或是方向 相反 的非零向量时左侧等号成立． 当且仅当中有一个是 或是方向 相同 的非零向量时右侧等号成立． 知识点三　向量加法的运算律 (1)交换律： . (2)结合律： ． 6.2.2向量的减法运算 知识点一　相反向量 定义 与向量长度相等 ，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作 . 规定：零向量的相反向量仍是 零向量 结论 －(－)＝ ，＋(－)＝(－)＋＝ 如果互为相反向量，那么＝－，＝－，＋＝ 知识点二　向量的减法 定义 向量加上的 相反向量 ，叫做与的差，即－＝＋(－)．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 已知向量，在平面内任取一点O，作＝，＝， 则＝－，如图所示 几何意义 如果把两个向量的起点放在一起，则－可以表示为 由向量的终点指向向量的终点 的向量 知识点三 向量的三角不等式 当且仅当中有一个是 或是方向 相同 的非零向量时左侧等号成立． 当且仅当中有一个是 或是方向 相反 的非零向量时右侧等号成立． 6.2.3向量的数乘运算 知识点一　向量的数乘 定义 实数λ与向量a的积是一个 向量 ，记作 长度 |λa|＝ 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 相反 当λ＝0时，λa＝ 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 线性运算 知识点二　向量数乘的运算律 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ λμ1±λμ2 知识点三　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一的实数λ使得 ． 6.2.4 向量的数量积 知识点一　向量的夹角 条件 两个 非零 向量， 产生过程 O是平面上的任意一点，作＝，＝，则 ＝θ叫做向量与的夹角 范围 记法 特殊情况 θ＝0 与 同向 θ＝π 与 反向 θ＝ 与 垂直 ，记作 知识点二　向量数量积的概念 已知条件 两个非零向量与，它们的夹角为θ 定义 叫做向量与的数量积(或内积) 记法 记作 · ，即·＝ 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 知识点三　投影向量 (1)如图1，设，是两个非零向量，＝，＝，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量向向量 的投影 ，叫做向量在向量上的 投影向量 ． (2)如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝，＝.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量在向量上的投影向量． (3)设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则与，，θ之间的关系为＝ ． 知识点四　向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 (1)·＝·＝ ． (2)⊥⇔ · ． (3)当与同向时，·＝ ； 当与反向时，·＝ ． (4)·＝ 或||＝＝. (5)|·| ||||. 知识点五　向量数量积的运算律 对于向量，，和实数λ，有 (1) (交换律)． (2)(λ)·＝ ＝ (结合律)． (3) (分配律)． [拓展] (1)(±)2＝2±2·＋2. (2)(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2. (3)(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. (4) 6.3.1 平面向量基本定理 知识点一　平面向量基本定理 条件 是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底 若不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 注（1）基底的选取不唯一 （2） 选定基底后，λ1，λ2唯一 （3） 零向量 不可以 作为基底 平面向量基本定理的推广：平面内任意三个不共线的向量，任何一个向量都可以用其它两个向量线性表示，并且表示唯一。 6.3.2 平面向量的正交分解与坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个相互垂直的向量 ，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与 轴 、 轴 方向相同的两个 单位向量 分别为，，取{，}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知， 一对实数x，y，使得＝x＋y 定义坐标 有序数对 叫做向量的坐标，记作＝(x，y) 特殊向量的坐标 ＝ ，＝ ，＝ 知识点二 　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则＋＝ (x1+x2，y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则－＝ (x1-x2，y1-y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝ (x2—x1，y2—y1) 知识点三　平面向量数乘运算的坐标表示 文字 符号 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若＝(x，y)，λ∈R，则λ＝ 知识点四　平面向量共线的坐标表示 前提条件 ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠ 结论 向量，(≠)共线的充要条件是 知识点五　线段中点、三等分点的坐标公式 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标是 ；若点P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则点P的坐标是 ；若点P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则点P的坐标是 ． 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)． 数量积 两个向量的数量积等于它们 ，即·＝ 两个向量垂直 ，是非零向量，⊥⇔ 知识点二　三个重要公式 6.4.3 余弦定理 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方和减去两边及夹角余弦乘积的二倍． 即a2＝ ，b2＝ ，c2＝ ． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ ． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的 边 ， 边 ， 边 和它们的角 ， 角 ，角 叫做三角形的元素． (2) 已知三角形几个元素求其它元素的过程 叫做解三角形． 注：（1）余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立。 ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可以求第四个量。 （2） 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 在∆中，；； 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 三边解三角形，另一类是已知 两边及一角 解三角形 6.4.3 正弦定理 正弦定理 正弦定理的描述 ①文字语言： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言： 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为， ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 正弦定理应用解三角形 (1) 已知 两角及一边 ，解三角形； (2)已知 两边及一边对角 ，解三角形． 三角形常用面积公式 ①； ② ； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； 注：对正弦定理的理解 （1） 适用范围：正弦定理对任意三角形都成立。 （2） 结构形式：分子为三边边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式。 （3） 揭示规律：描述三角形中边与角的一种数量关系。 （4） 主要功能：实现三角形中边角关系的转化。 7.1 复数的概念 知识点一　复数定义及表示方法 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做 复数 ，其中i叫做 虚数单位 ，满足 . 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的 实部 虚部 ． 3． 复数集的定义及表示 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做 复数集 ，通常用大写字母C表示. 知识点二　复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，它叫做虚数；当 时，它叫做纯虚数． 可以通过下图表示： 实数 (1)复数a＋bi(a，b∈R) 纯虚数 非纯虚数 虚数 (2)集合表示 注：两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系。 知识点三　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 ． 7.1.2 复数的几何意义 知识点一　复平面 　建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ，y轴叫做 虚轴 ．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 知识点二　复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi复平面内的点 . （2）复数z＝a＋bi平面向量. 知识点三　复数的模 （1） 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的 模 或 绝对值 . （2） 记作 |z| 或 |a＋bi| . （3） |z|＝ |a＋bi| ＝ (a，b∈R)． （4） 模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z到原点的距离. 知识点四　共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部 相等 ，虚部 相反 时，这两个复数叫做互为 共轭复数 ．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 ． （2）复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ a-bi ． （3）性质： ① ②实数的共轭负数是它本身，即 7.2.1复数加减法及其几何意义 知识点一　复数的加法与减法 (1)复数的加、减运算法则 (a＋bi)+(c＋di)＝ （a＋c）+（b+d）i (a，b，c，d∈R)． (a＋bi)-(c＋di)＝ （a-c）+（b-d）i (a，b，c，d∈R)． (2)复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 （1） z1＋z2＝ z2+z1 ； （2） (z1＋z2)＋z3＝ z1＋（z2＋z3） ． 知识点二　复数加、减法的几何意义 终点 终点 对角线OZ 知识点三　复平面内的两点间距离公式 若z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，且z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，则点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2－z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝ . 7.2.2 复数的乘除运算 知识点一　复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ ． 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成 -1 ，并且把实部和虚部分别合并即可． 知识点二　复数的乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律：z1z2＝ z2z1 ； 结合律：(z1z2)z3＝ z1(z2z3) ； 分配律：z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 ． 知识点三　复数的除法法则 复数除法的法则：＝ (a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 复数除法的实质： 分母实数化 . 8.1.1 棱柱、棱锥、棱台 1.空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形，分为 多面体 和 旋转体 两类。 2.多面体：一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体. 3.旋转体：一条 平面曲线 （包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做 旋转体 . 4.棱柱 （1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相 平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. （2）棱柱的表示：棱柱. （3） 棱柱的结构特征： ①底面互相 平行 且 全等 ②侧面都是 平行四边形 ③侧棱 平行 且 相等 （4）棱柱的分类： ①按棱柱底面边数分类: 三棱柱、 四棱柱 、 五棱柱 …… ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 （5）特殊的棱柱 正棱柱：底面是 正多边形 的 直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 注：常见的几种四棱柱之间的转化关系 5.棱锥 （1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （2）棱锥的表示：棱锥. （3）棱锥的结构特征： ①仅有一个底面是多边形 ②侧面都是 三角形 ③各侧面有且只有一个公共顶点 （4） 棱锥的分类：①按照棱锥的底面边数分类： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… ，特别地，三棱锥又叫四面体。 （5）特殊的棱锥 正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 正四面体：每条棱都相等的三棱锥 6.棱台 （1）棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做 棱台 . （2）棱台的表示：棱台. （3）棱台的结构特征： ①上底面和下底面是 互相平行 的相似的多边形； ②侧面都是 梯形 ③侧棱延长后必须交于一点 （4）棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （5） 特殊的棱台 正棱台：由正棱锥截得的棱台，上下底面都是正多边形，侧面都是全等的等腰梯形的棱台. 7.棱柱、棱锥、棱台关系图 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 1. 圆柱 （1）圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转 一周 形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 如图中的圆柱记作圆柱. （2）圆柱的结构特征： ①圆柱有无数条母线，它们 平行 且 相等 . ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆. ③过轴的截面(轴截面)都是全等的 矩形 . ④过任意两条母线的截面是矩形. 2.圆锥：以直角三角形的一条 直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 如图中的圆锥记作圆锥. 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 圆台 . 如图中的圆台记作圆台. 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的 曲面 叫做球面，球面所围成的旋转体叫做 球体 ，简称球. 如图中的球记作球O. 5. 简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体. 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体 拼接 而成；一种是由简单几何体 截去 或挖去一部分而成. 8.2 立体图形的直观图 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝135（或 45 ），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 不变 ，平行于y轴的线段，长度变为原来的 一半 ． 口诀：“ 横不变 ， 纵减半 ， 平行重合不改变 ” 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画′轴，′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ① 平行 不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行； ②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交； ③平行于x，轴的长度不变． 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝2S底+S侧． 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底； 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝ S上＋S下 + S侧 ． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 棱柱的底面积S，高为h，其体积V棱柱＝ S h . 2．棱锥的体积 棱锥的底面积为S，高为h，其体积V棱锥＝ S h . 3．棱台的体积 棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V棱台＝ ． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积： 侧面积： 表面积： + 圆锥 底面积： 侧面积： 表面积： + 圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：++ 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积 S h (是底面半径，是高)， S h (是底面半径，是高)， (，分别是上、下底面半径，h是高). 3. 球的表面积和体积 表面积： ．（是球的半径） 体积： ．（是球的半径） 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 8.4.1　平面 知识点一　平面的概念及表示 (1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中 抽象出来 的，是无限延展 的． (2)平面的画法：①常用 矩形的直观图 ，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 横向 ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 竖向 . ②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常 用虚线表示被遮挡的部分 ，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图2. (3)表示法：常用 希腊字母 等来表示；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD． 知识点二　点、线、面之间的关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l 知识点三　平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过 不共线的三点 ，有且只有一个平面 A，B，C不共线 ⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果 一条直线上的两个点在一个平面内 ，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 用来证明直线在平面内 基本事实3 如果 两个不重合的平面有一个公共点 ，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线 ⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 推论 内容 图形 符号 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点， 有且只有一个 平面 A∉BC⇒存在唯一的平面α，使A∈α，BC⊂α 用来确定一个平面 推论2 经过两条 相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条 平行直线 ，有且只有一个平面 a∥b⇒存在唯一的平面α，使a⊂α，b⊂α 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 1. 异面直线 ①定义：把不同在任何一个 平面内 的两条直线叫做异面直线； ②画法：异面直线的画法(通常用平面衬托) 2.空间中两条直线的位置关系：1 无 无 3.空间中直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系有且只有三种： 位置关系 公共点 符号语言 图形语言 直线在平面内 无数个 直线在平面外 直线与平面相交 1个 直线与平面平行 0个 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 8.5.1 直线与直线平行 知识点一　基本事实4(平行线的传递性) (1)文字语言： 平行于同一条直线的两条直线平行 ． (2)符号语言：a∥b，b∥c⇒ a∥c ． 注： （1）在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线 （2）两个重要结论：①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 知识点二　空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补 符号语言 对于∠BAC和∠B′A′C′，AC∥A′C′，AB∥A′B′⇒∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° 图形语言 等角定理用来证明两个角相等或互补。 8.5.2 直线与平面平行 直线与平面平行的判定及性质 定理 条 件 结 论 图形语言 符号语言 简记 判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 该直线与此平面平行 线线平行， 则线面平行. 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交 该直线与交线平行 线面平行， 则线线平行. 8.5.3 平面与平面平行 知识点一　平面与平面平行定义 平面与平面 没有 公共点 知识点二 平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α 简 记 线面平行，则面面平行 作用 证明两个平面 平行 注：平面与平面平行的判定方法 （1）平面与平面平行的定义； （2）平面与平面平行的判定定理。 知识点三 平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言 ⇒ a ∥b. 图形语言 简记 面面平行，则线面平行. 作用 证明两条直线 平行 注意：面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 8.6.1 直线与直线垂直 知识点一　空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种： 异面 、 平行 和 相反 ． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点二　直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做 异面直线a，b 所成角 ． （1）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相 垂直 ．直线a与直线b垂直，记作 ． （2）当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为 0 ． （3）空间两条直线所成角θ的取值范围是 ． 空间两条异面直线所成角θ的取值范围是 ． 8.6.2 直线与平面垂直 知识点一　直线与平面垂直的定义及画法 1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的 所有直线都垂直 ，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 ．直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示． 3． 过一点垂直于已知平面的直线 有且只有一条 ．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 垂线段 ，垂线段 的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直 ，那么该直线与此平面垂直． 2．符号语言： ⇒l⊥α. 3．图形语言：如图所示． 知识点三　直线与平面所成的角的定义 1．定义： 一条直线l与一个平面α 相交 ，但 不与这个平面垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线， 斜线与平面的交点P 叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 垂线 ， 过垂足和斜足的直线 叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成夹角 ，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2．图形：如图所示． 4． 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 ． 直线与平面所成的角θ的取值范围是 ． 知识点四　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一平面的两条直线相互平行 符号语言 ⇒ 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点五　线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 都相等 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【常用结论】 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 8.6.3 平面与平面垂直 知识点一：　二面角 (1)定义：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的 棱 ， ②两个半平面叫做二面角的 面 ． (3)画法： 　　　　　 (4)记法：二面角 或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl， 则二面角α－l－β的平面角是. （6）直二面角：平面角是 的二面角叫做直二面角． （7）二面角的平面角α的取值范围是 ． 知识点二：平面与平面垂直 1、平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：. 2、判定定理 文字语言 一个平面经过另一个平面的 垂线 ， 则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 ⇒α⊥β 知识点三 面面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面 垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， ⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，则线面垂直. 知识点四 直线、平面之间的位置关系相互转化 9.1.1 简单随机抽样 知识点一：全面调查和抽样调查 （1）全面调查 定义：对 每一个 调查对象都进行调查的方法称为全面调查，又称普查. 相关概念：在一个调查中，把调查对象的 全体 称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体. （2）抽样调查 定义：根据一定目的，从总体中抽取 一部分 个体进行调查，并以此为依据对总体的情况做出 估计 和 推断 的调查方法. 相关概念：把从总体中抽取的 那部分 个体称为样本，样本中包含的 称为样本容量，简称样本量. 知识点二：简单随机抽样 1、定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中 逐一 抽取n（1≤n≤N）个个体作为样本. 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样. 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的每个个体 被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 放回 简单随机抽样和 不放回 简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 2、 简单随机抽样的特点： （1） 有限性 ， 总体个数有限 （2） 逐一性 ， 逐一抽取 （3） 等可能性 ， 每个个体被抽到的可能性相等，都为 知识点三：简单随机抽样方法 （1）抽签法：先给总体中的N个个体 编号 ，然后把所有 编号 写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为 号签 ，并将号签放在一个不透明容器中， 充分搅拌 后，每次从中不放回的抽取一个号签，连续抽取N次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. （2）随机数法 ①用随机试验生成随机数. ②用信息技术生成随机数：a.用 计算机 生成随机数；b.用 电子表格 软件生成随机数；c.用 R统计 软件生成随机数. 知识点四：总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 = 为总体均值，又称总体平均数. （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量中，不同的值有个，不妨记为，其中出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 . （3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = 为样本均值，又称样本平均数. （4）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数. 9.2.1 总体取值规律的估计 知识点一 频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 （1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“ 取整 ”. （3）将数据分组：通常对组内数据取 左闭右开 区间，最后一组数据取闭区间. （4）列频率分布表：一般分为分组、频数累计、频数、频率四列.其中频数合计应是样本容量，频率合计是 1 . （5）画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴表示. 小长方形的面积组距×频率.各小长方形的 面积 总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. 知识点二 其它统计图表 1.几种常见统计图表 （1）条形图(如图)． （2）扇形图(如图). 某单位某年的水、电、交通开支 某校某年一个学期的开支 （3）折线图(如图)． （4）直方图(如图)． 2.统计图表各自的特点 （1）扇形图：直观描述各类数据占总数的 比例 . （2）条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. （3）折线图：描述数据随 时间 的变化趋势. 9.2.2 总体百分位数的估计 知识点一 第百分位数 1、定义 使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 2、求第百分位数步骤 第1步，按　从小到大　排列原始数据.； 第2步，计算.（是原始数据的编号）； 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第 项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的 平均数 . 3、四分位数 25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.75% 50% 第三四分位数 上四分位数 中位数 第一四分位数 下四分位数 知识点二 频率分布直方图中第p百分位数的计算 根据频率分布直方图计算样本的第百分位数 第1步：计算各组的频率（即计算各小长方形的面积） 第2步：确定百分位数所在的区间[a，b）.确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为，，第3步：第百分位数为 9.2.3 总体集中数据的估计 知识点一 众数、中位数、平均数 1、众数：一组数据中出现次数 最多 的数. 2、中位数：把一组数据按 从小到大 的顺序排列，处在 最中间位置的数（或中间两个数的 平均数 ）叫做这组数据的中位数. 3、平均数:如果有个数,那么 叫做这n个数的平均数. 以上三者都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 知识点二 总体集中趋势的估计 1、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关. （1）直方图形状　　对称　　⇒平均数和中位数　　相等　　 . （2）直方图形状　右拖尾　　⇒平均数　　大于　　 中位数 （3）直方图形状　左拖尾　　　⇒平均数　　小于　　 中位数 单峰频率分布直方图中的平均数与中位数的位置关系 注：也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. 2、 众数的特点：众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对　极端值　　不敏感. 3、 平均数、中位数和众数分别适合描述什么特点的数据？ 对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用 中位数或平均数 ； 对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数　。　　　 知识点三 频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 （1）样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. （2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. （3）将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 9.2.4 总体离散程度的估计 知识点一 极差 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 知识点二 方差、标准差的定义 一组数据为x1，x2，…，xn （1） 平均数为 = （2） 方差为s2= = = （3） 标准差为s== .  注1：如果总体中所有个体的变量值分别，总体平均数为，则称 为总体方差， 为总体标准差. 住2：如果总体中个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差 . 知识点三 方差和标准差的取值范围 方差和标准差的取值范围为 注：s=0、s2=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的，表明数据没有波动程度，数据没有离散性 知识点四 方差、标准差的意义 （1）标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小. （2）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性. 知识点五 具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么y1，y2，…，yn的 平均数为 a＋b ，方差为 ，标准差为 . 知识点六 分层随机抽样的平均数与方差的求法 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则 =xi，=(xi-)2，=yi，=(yi-)2. 若记总的样本平均数为，样本方差为s2，则可以算出 = = + ， 10.1.1 有限样本空间与随机事件 知识点一 随机试验的概念及特点 1、概念 我们把对 随机现象的实现 和对他的观察称为随机试验，简称 试验 .常用字母E表示. 2、 特点 随机试验的特点：可重复性 、　可预知性 　、　不确定性　 ①试验可以在相同条件下 重复 进行. ②试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 . ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二 样本点及样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果　　　　　　　称为样本点  用　　表示 样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用　 　表示 有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为　有限样本空间　 Ω={ω1，ω2，…，ωn} 随机 事件 我们将样本空间Ω的　子集　　　称为　随机事件　，简称事件，并把只包含　一个　样本点的事件称为　基本事件　，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生　 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为　　必然事件　　　  不可能 事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为　不可能事件　 10.1.2 事件的关系和运算 定义 符号 图示 并事件（或和事件） 一般地，事件A与事件B至少 有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A∪B （或A+B） 交事件（或积事件） 一般地，事件A与事件B 同事 发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或AB） 知识点一 两个事件的运算 知识点二 两个事件的关系 定义 字母表示 图示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B　　包含　　事件A(或事件A包含于事件B)   记作AB 相等 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B　相等　  记作A=B 定义 图示 互斥 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即　　A∩B=∅　，则称事件A与事件B　互斥　　　(或互不相容).  对立 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有　　　　发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为　　　　.  思考：互斥事件与互为对立事件之间有怎样的关系？ 对立一定互斥，互斥不一定对立. 10.1.3 古典概型 知识点一 事件的概率 对随机事件发生 可能性大小 的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用 表示. 知识点二　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： （1）有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 古典概率 模型，简称 古典概型 . 知识点三 古典概型的概率公式 1、一般地，设试验E为古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的个样本点，则定义事件A的概率P(A)= = .其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 2、求古典概型概率的计算步骤 （1）确定样本点总个数n； （2）确定事件A包含的样本点个数； （3）计算事件A的概率P(A)= 10.1.4 概率的基本性质 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)　　　　0.  性质2　P(Ω)=　　1　　，P(∅)=　0　　　.  性质3　若事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=　　　　　　.  推论 若事件A1，A2，…，Am两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪Am)=　+　　　　　　.  性质4　若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)= 1 　　。 P(AB)= 0 ;P(A∪B)=　;P(B)=　1-P(A)　；P(A)=　1-P(B)　. 性质5　若A⊆B，那么　　　　　　　　　.(概率的单调性) 推论 对于任意事件A，　　　　　　　　　　　 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)= 　　. 思考：（1）在同一试验中，对任意两个事件A，B，一定成立吗？ 不一定。对立或互斥事件成立，一般事件不成立 10.2 事件的相互独立性 知识点一 事件的独立性定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=　　　成立，则称事件A与事件B相互独立.  知识点二 互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响 两个事件不能同时发生 概率公式 P(AB)= P(AB)=0 注：1、若P(A)且P(B)，则 ① 若A、B 互斥，则A与B不独立 ② 若A、B 独立，则A与B不互斥 2、相互独立的事件可能同时发生 知识点三 两两独立与相互独立的区别 定义 设是三个事件，若满足等式 则称事件两两相互独立 定义 设是三个事件，若满足等式 则称事件相互独立 注：两两独立 相互独立 思考1：不可能事件与任何事件相互独立吗？必然事件呢？ 不可能事件总不会发生，所以不受任何事件的影响。 必然事件总会发生，所以不会受任何事件的影响。 不可能事件与任何事件相互独立、必然事件与任何事件相互独立 思考2：如果事件A与事件B相互独立，那么么A与,与B，与各是什么关系？ 由题意可知P(AB)=B A P(A)= 所以A与相互独立 同理P()= 所以与B相互独立 P()= 所以与相互独立 知识点四 相互独立事件的性质 性质1：必然事件Ω、不可能事件∅与任意事件 相互独立 . 性质2：如果事件A与B相互独立，那么A与,与B，与也都相互独立.即 P(A)= 、 P()= 、 P()= . 知识点五 相互独立事件概率的求法 若事件A与事件B相互独立，且概率分别为P(A)、P(B) 事件 表示 概率 A、B同时发生 P(AB)= A、B都不发生 P()== A、B恰有一个发生 A P()=P()+P()=+= A、B中至少有一个发生 方法一P(A∪B)= 方法二P()=P()+P() +P() 方法三P(A∪B)=P() =1-P()=1- A、B中至多有一个发生 方法一P()=P()+P() +P() 方法二P()=1- 10.3　频率与概率 知识点一 频率的稳定性 1、 频率：相同条件下，重复n次实验，事件A出现的比例，f n(A)= 2、 概率：度量事件A发生可能性大小的数值，记作P(A). 3、 频率与概率的区别与联系 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越 接近 概率． （2）频率本身是 随机 的，在试验前不能确定． （3）概率是一个 确定 的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 4、频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的 稳定性 ．因此，我们可以用频率f n(A)估计概率P(A)． 知识点二 随机模拟 1、随机数的产生方法 (1)随机数：要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的号码就称为随机数． (2)伪随机数：计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性 (周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 2、随机数产生的方法比较 方法 抽签法 用计算器或计算机产生 优点 保证机会均等 操作简单、省时、省力 缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能 3、利用随机模拟法估计概率 蒙特卡洛方法：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法． 学科网（北京）股份有限公司 $