复习专题解三角形讲义（题型+知识点+典例+练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题 正弦定理、余弦定理 【题型】 1.判断三角形形状 2.三角形多解问题 3.利用正余弦定理解三角形 4.三角形三线问题 5.已知三角形的一角及其对边求取值范围（最值） 6.已知三角形的一角求取值范围（最值） 7.已知三角形的一角及其邻边求取值范围（最值） 8.测量 【知识点归纳】 1.正余弦定理及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形多解问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 3.三角形中的面积公式 基础公式：（a为任意一边，h为a对应的高）。 与正弦定理结合： 与内切圆结合：S= (a＋b＋c)·r 与外接圆半径结合：（R为外接圆半径）。 海伦公式： 4.解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C；sin ＝cos ；cos ＝sin . （3） 三角形中的射影定理： 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）奔驰定理：若 是 内一点，记 的面积分别为 ，则有 （5）张角定理：在 中，若 是 上一点，连 ，则有 （6）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. （7）0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典型例题】 例1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【解析】法一(化角为边)：因为b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a，所以a sin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sinA＝sin2A， 故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形． 法三(射影定理)：因为b cos C＋c cos B＝a＝a sin A， 所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 变式1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可. 【解析】在△ABC中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 例2 △ABC中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】给定的边、和角，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关系 【解析】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么△ABC可能有两解，所以由不能推出△ABC有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若△ABC有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由△ABC有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“△ABC有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 变式2（多选）△ABC的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】由正弦定理得，再由有唯一解，则或，解不等式即可得出答案. 【解析】由正弦定理，得，则， 由于△ABC有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的可以为1，2，4. 故选：ABD. 例3.(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【解析】由2sin B＝3sin C，则2b＝3c， 则b－c＝b－b＝a，即b＝a， 则c＝b＝a＝a， 故cos A＝＝＝＝－.故选A. 变式3（多选）已知△ABC中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若△ABC是钝角三角形，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．的最大值是 【答案】CD 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【解析】因为△ABC中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 例4(2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0. (1)求角C的大小； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 【解析】　(1)由已知可得 2cos C·－cos (B＋C)＝0， sin B cos C＋cos B cos C－(cos B cos C－sin B sin C)＝0， 整理得sin B(cos C＋sin C)＝0. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b. 法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2， 所以c＝b. 在△ACD中，AD＝， 所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD， 即＝b2＋22－2b×2×， 将c＝b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6. 若b＝6，则a＝12，c＝6，BD＝4，AD＝2， 所以在△BCD中，由余弦定理的推论得 cos ∠CDB＝＝＜0，同理可得cos ∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除． 所以b＝3，a＝6， S△ABC＝ab sin 120°＝. 法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC， 所以×2b sin 60°＋×2a sin 60°＝ab sin 120°， 所以b＋a＝ab. 因为a＝2b，所以b＝3，a＝6， 所以S△ABC＝ab sin 120°＝. 例5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________． 【答案】 【解析】因为a cos B－b cos A＋b＝c， 由正弦定理可知，sin A cos B－sin B cos A＋sin B＝sin C， 又因为A＋B＋C＝π， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 则2cos A sin B＝sin B， 又由于B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 设AD＝x，又DB＝DC＝1， 在△ADB，△ADC中分别有： cos ∠ADB＝，cos ∠ADC＝， 又由于cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 所以2x2＋2＝b2＋c2. 在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4＝b2＋c2－bc， 因为b2＋c2≥2bc，所以4＝b2＋c2－bc≥， 从而b2＋c2≤8，所以2x2＋2≤8，解得x≤(当且仅当b＝c时等号成立)， 所以BC边上的中线AD长度的最大值为. 例6.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 【答案】6 【解析】　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0， 所以sin A＝. (2)由正弦定理＝， 得BC＝·sin A＝＝3， 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2. 由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜， 又A＋B＝，所以B＞， 即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C， 即5h＝2×3， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6. 法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 易得cos A cos C≠0， 所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3， 又sin A＞0， 所以sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A) ＝＝， 由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6. 变式6.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. cos C＝c cos A (1)求sin C； (2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）因为cos C＝c cos A， 所以由正弦定理得cos C＝sin C cos A， 所以2sin B cos C＝sin ＝sin B， 因为B∈，所以sin B≠0⇒cos C＝. 又C∈，所以C＝，所以sin C＝. (2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝－3ab＝16，所以ab＝＝3. 于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch， 所以h＝＝＝. 例7.在锐角三角△ABC中，内角、、的对边分别为、、， ，求的取值范围. 【答案】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】因为，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 变式7在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. 若，，求面积的最大值. 【答案】 【分析】法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【解析】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 例8.(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 【答案】　(1) （2） 【解析】　(1)由正弦定理，得2sin B sin A＝sin A， 因为sin A≠0，0＜B＜，故sin B＝，B＝. (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A. 由△ABC是锐角三角形，得A∈. 由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得 cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋ ＝sin ∈. 故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是. 例9.(2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ n mile. 【答案】8(n mile) 【解析】在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝135°＋15°＝150°，∠CAD＝180°－150°－15°＝15°，所以AD＝CD＝8， 所以AC＝＝8×(n mile)， 在△BCD中， ∠BDC＝15°，∠BCD＝15°＋120°＝135°，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°， 由正弦定理得＝，BC＝＝16×sin ＝16×＝16× ＝4(n mile)， 在△ABC中，∠ACB＝120°， 所以AB＝ ＝ ＝＝ ＝＝8(n mile)． 例10.(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 因为∠APQ＝30°，∠CPB＝90°－α， 所以∠APB＝30°－90°＋α＝α－60°， 则∠PBA＝180°－30°－α＋60°＝180°＋30°－α， 在△PBA中，由正弦定理得， ＝， 则＝， 得PA＝， 在直角三角形PAQ中，sin 60°＝， 得PQ＝.故选D. 例11(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为________ h，角α的正弦值为________. 【答案】. 【解析】设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x km，BC＝10x km，∠ABC＝120°. 在△ABC中，根据余弦定理得＝122＋－240×x×cos 120°，解得x＝2， 故AC＝28 km，BC＝20 km. 根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝. 【强化训练】 1.在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 【解析】因为sin2＝， 所以＝，即cos B＝. 法一：由余弦定理得＝， 即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2. 所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等． 法二：由正弦定理得cos B＝， 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以cos B sin C＝sin B cos C＋cos B sin C， 即sin B cos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0， 又角C为三角形的内角，所以C＝， 所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等． 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为(　　) A．(3，4] B． C． D．(2，5] 【答案】C 【解析】∵A＝2B，B＋2B＋C＝π，∴B∈，sin A＝sin 2B＝2sin B cos B，sin C＝sin (A＋B)＝sin 3B＝3sin B－4sin3B， 由正弦定理可得＝＝＝6cos B＋4(1－cos2B)－3＝－4cos2B＋6cosB＋1， 令cos B＝t∈，则＝－4t2＋6t＋1， 由二次函数性质知y＝－4t2＋6t＋1∈， ∴∈.故选C. 3.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是（ ）． A．(1＋,4) B．（1＋，4＋2) C．（1＋，4＋2] D．(4,4＋2) 【答案】B 【解析】因为c＝2，A＝， 则由正弦定理， 可得a＝＝，b＝＝， 所以a＋b＝ ＝1＋＝1＋ ＝1＋， 由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0<－C<，则<C<， 所以<<，2－<tan <1. 所以1＋<a＋b<4＋2.所以选B 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及得出，；再利用余弦定理即可求解. 【解析】由的面积为可得：； 由可得：. 因为， 所以，， 则. 因为， 所以，. 由余弦定理可知：，即. 故选：D 5．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【解析】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 6.在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理得到，在中利用余弦定理得到，然后解方程即可. 【解析】   在中，；在中，； ，∴， 又， ，整理可得：，即， ∴，， 在中，， ，解得：（舍）或.故选：B. 7．在中，角所对的边分别为，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【解析】根据余弦定理得，因为，所以， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：C. 8．早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设为地心，为月球表面上一点，为圆上不同的两点，地球半径的长记为，经测量，，则地月距离OC用可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合正弦定理求；在中，由余弦定理求． 【解析】解：，，， ， ； 在中，， . ， ． 又，， 所以， 故选：A 二、多选题 9.（多选）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．是的充要条件 D．若，，，则有两解 【答案】CD 【分析】利用正弦定理及余弦定理逐个判断即可. 【解析】对于A，由余弦定理得，则为锐角， 无法判断角是否为锐角， 所以无法判断是否为锐角三角形，故A错误； 对于B，因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，充分性：已知，由正弦定理得， 必要性：已知，由正弦定理得， 即是的充要条件，故C正确； 对于D，因为， 所以由正弦定理得，即， 又因为， 所以,且, 所以或，故D正确. 故选：CD. 10.（多选题）(2020·全国Ⅱ卷改编)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C，BC＝3 则正确的是（ ） A. A= B． C．△ABC周长取得最大值3＋2 D．△ABC周长取得最大值3+4 【答案】A,C 【解析】　由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.　① 由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A.　② 由①②得cos A＝－. 因为0＜A＜π，所以A＝.所以A 正确， B错误 (2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9， 即－AC·AB＝9. 因为AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以9＝－AC·AB≥－＝， 解得AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)， 所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2， 所以△ABC周长的最大值为3＋2.所以C.正确， D错. 法二(三角函数法)：由正弦定理得 ＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin . 又0＜B＜， 所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2，选A,C 11.在△ABC中，角的对边分别是，若，，则（    ） A．△ABC面积的最大值为 B．△ABC周长的最大值为6 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】由余弦定理得出，结合求出可判断A；结合可判断B；利用以及可判断C；令，消元得出关于的一元二次方程，利用即可判断D. 【解析】由余弦定理可得，， 因，则，等号成立时， 则，故A正确； 因，则， 结合可得，，等号成立时， 又，即，则，故B正确； 因，，则，故C正确； 令，则，代入中得， 此关于的一元二次方程有解，则，解得， 等号成立时，，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________． 【答案】5 【解析】连接BD，如图， 在△BCD中，由于BC＝CD＝2，∠C＝120°， ∴∠CBD＝＝30°，∴∠ABD＝90°. 在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2， ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2×2×2×sin 120°＝5. 13.(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为________． 【答案】 【解析】设BC边上的中线为AD，由余弦定理的推论知cos ∠BAC＝， 则||2＝＝＝＝＝， 所以中线长为. 14.(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________． 【答案】（2，4） 【解析】由图可得，要使△ABC有两解， 则b sin A<a<b，即b<2<b，解得2<b<4. 四、解答题 15.(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 【答案】(1) (2)2＋＋3 【解析】　(1)由sin A＋cos A＝2，得 sin A＋cos A＝1，即sin ＝1， 由于A∈(0，π)，所以A＋∈， 故A＋＝， 所以A＝. (2)由题设条件和正弦定理得 sin B sin C＝2sin C sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝. sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝， 故△ABC的周长为2＋＋3. 16．已知分别为△ABC三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若△ABC的周长为，面积为 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【解析】（1）由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为△ABC的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 17.(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【答案】(1) (2)b＝c＝2 【解析】　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 在△ABD中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 所以tanB＝＝. (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论， 得＝－， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos ∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC ＝bc ＝bc ＝ ＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则＝)， 所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8， 则1＝(8＋2bc cos A)，所以bc cos A＝－2①， S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2②， 由①②解得tan A＝－，所以A＝， 所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2. 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16， 所以a2＝12. 又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2， 又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 得12＝8－2bc·cos A，所以bc cos A＝－2， 故tan A＝－⇒cos A＝－， 所以bc＝4， 又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2， b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2， 故可得b＝c＝2. 18.已知△ABC中，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和可得，结合三角恒等变换可得； （2）根据同角三角关系求，进而可得，利用正弦定理可得，进而可求面积. 【解析】（1）因为，且，可得，即， 又因为， 可得， 整理可得，所以. （2）由（1）得，且， 联立方程，解得，， 则， 由正弦定理得，则， 所以△ABC的面积为． 19.已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，当△ABC的周长取最大值时，求△ABC的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求得答案. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. （3）结合余弦定理变形目标式并用正弦定理化边为角，再利用和角的正弦及正切函数的性【解析】（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理， 得，由余弦定理得， 于是，而，所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，解得， 因此当时，的周长取得最大值6， 此时△ABC的面积. （3）在锐角中，，由，得，， ， 所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正弦定理、余弦定理 【题型】 1.判断三角形形状 2.三角形多解问题 3.利用正余弦定理解三角形 4.三角形三线问题 5.已知三角形的一角及其对边求取值范围（最值） 6.已知三角形的一角求取值范围（最值） 7.已知三角形的一角及其邻边求取值范围（最值） 8.测量 【知识点归纳】 1.正余弦定理及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形多解问题 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 3.三角形中的面积公式 基础公式：（a为任意一边，h为a对应的高）。 与正弦定理结合： 与内切圆结合：S= (a＋b＋c)·r 与外接圆半径结合：（R为外接圆半径）。 海伦公式： 4.解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 sin(A＋B)＝sin C； cos(A＋B)＝－cos C；sin ＝cos ；cos ＝sin . （3） 三角形中的射影定理： 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）奔驰定理：若 是 内一点，记 的面积分别为 ，则有 （5）张角定理：在 中，若 是 上一点，连 ，则有 （6）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. （7）0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典型例题】 例1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 变式1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 例2 △ABC中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式2（多选）△ABC的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3.(2025·福建厦门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　) A．－ B． C．－ D． 变式3（多选）已知△ABC中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若是钝角三角形，则 C．若是锐角三角形，则 D．的最大值是 例4(2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0. (1)求角C的大小； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积． 例5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________． 例6.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 变式6.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. cos C＝c cos A (1)求sin C； (2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h. 例7.在锐角三角△ABC中，内角、、的对边分别为、、， ，求的取值范围. 变式7在中，内角所对的边分别为，已知. 若，，求面积的最大值. 例8.(2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2b sin A－a＝0. (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 例9.(2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ n mile. 例10.(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为(　　) A． B． C． D． 例11(2025·广东广州模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14 km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为________ h，角α的正弦值为________. 【强化训练】 1.在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围为(　　) A．(3，4] B． C． D．(2，5] 3.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则a＋b的取值范围是（ ）． A．(1＋,4) B．（1＋，4＋2) C．（1＋，4＋2] D．(4,4＋2) 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 6.在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（   ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，角所对的边分别为，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设为地心，为月球表面上一点，为圆上不同的两点，地球半径的长记为，经测量，，则地月距离OC用可以表示为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．是的充要条件 D．若，，，则有两解 10.(2020·全国Ⅱ卷改编)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C，BC＝3 则正确的是（ ） A. A= B． C．△ABC周长取得最大值3＋2 D．△ABC周长取得最大值3+4 11.在△ABC中，角的对边分别是，若，，则（    ） A．面积的最大值为 B．周长的最大值为6 C．的取值范围为 D．的最大值为 三、填空题 12. 在平面四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积等于________． 13.(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为________． 14.(2025·河北邢台模拟)在△ABC中，已知A＝，a＝2，若△ABC有两解，则边b的取值范围为________． 四、解答题 15.(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 16．已知分别为△ABC三个内角的对边，满足 (1)求; (2)若△ABC的周长为，面积为 求. 17.(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 18.已知△ABC中，，． (1)求； (2)若，求的面积． 19.已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积； (3)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $