专题07 全称量词与存在量词（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

全称量词与存在量词专题07 1．理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． 2．了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 3．会写全称量词命题和存在量词命题的否定． 1 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x）． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”． 3．含有一个量词的命题的否定﹁ 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p（x），它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p（x）； 存在量词命题p：∃x∈M，p（x），它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p（x）． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 2 01 全称量词命题和存在量词命题 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）” 3．判断全称量词命题及存在量词命题时应关注以下几点： （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词为“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词为“有的”等． 4．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【提醒】全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 【例1】　（2024秋•常州月考）下列命题是全称量词命题的是　　 A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】 【分析】根据全称量词的特征即可得答案． 【解答】解：对于，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符题意； 对于，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符题意； 对于，命题即为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符合题意； 对于，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符题意． 故选：． 【例2】　（2024秋•华州区月考）下列命题是全称量词命题的是　　 A．， B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．至少有两个合数小于7 【答案】 【分析】根据全称量词命题的定义，判断选项中的命题即可． 【解答】解：对于，“，”，含有存在量词，是存在量词命题； 对于，“存在一个菱形的四条边不相等”，含有存在量词，是存在量词命题； 对于，“偶数的平方是偶数”，可改写成“每一个偶数的平方是偶数”，含有全称量词，是全称量词命题； 对于，“至少有两个合数小于7”，含有存在量词，是存在量词命题． 故选：． 【例3】　（2022秋•碑林区校级期末）下列语句不是全称量词命题的是　　 A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 【答案】 【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可． 【解答】解：，，都是全称命题，不是命题， 故选：． 【例4】　（2024秋•射阳县校级期中）下列命题中是存在量词命题的是　　 A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断． 【解答】解：根据存在量词命题的定义可知， 对于中含有“所有的”，是全称量词命题； 对于中含有“”，是全称量词命题； 对于中含有“任意一个”，是全称量词命题； 对于中含有“有一个”，是存在量词命题． 故选：． 【例5】　（2023秋•怀仁市校级期中）下列语句不是存在量词命题的是　　 A．至少有一个，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 【答案】 【分析】根据题意，由存在量词命题的定义分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，至少有一个，使成立，是存在量词命题； 对于，有的无理数的平方不是有理数，是存在量词命题； 对于，存在，是偶数，是存在量词命题； 对于，梯形有两边平行，即任意的梯形都有两边平行，是全称量词命题； 故选：． 02 命题的真假 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可． （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 【例6】　（2024秋•肇东市校级期末）下列命题中为真命题的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】对：由判断命题为假；对：当时命题不成立；对：由及关系判断命题为真；对：由△判断命题为假． 【解答】解：，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中△，此方程无解，故是假命题． 故选：． 【例7】　（2024秋•吴中区校级月考）设有下面四个命题： ，是质数； ，； ，； ，． 其中真命题共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的特征逐个判断即可． 【解答】解：对于：当时，为质数，故是真命题， 对于：当时，，故是假命题， 对于，，故是假命题， 对于：令得，， 解得或， 所以当或时，，故是假命题， 综上所述，真命题共有1个． 故选：． 【例8】　（2024秋•临潼区期末）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是　　 A．， B．任意两个无理数之和仍是无理数 C． D．至少存在两个质数的平方是偶数 【答案】 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题以及真假命题的定义即可求解． 【解答】解：对于，，，是全称量词命题； 对于，任意两个无理数之和仍是无理数，是全称量词命题； 对于，，，是存在量词命题，且时， ，是真命题； 对于，至少存在两个质数的平方是偶数，是存在量词命题， 在所有质数中，只有2的平方是偶数，是假命题． 故选：． 03 由命题的真假求参数的范围 根据命题的真假求参数取值范围的策略 1．全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题． 2．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： （1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）． （2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围． （3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 【例9】　（2025•安源区模拟）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可写出原命题的否定，再根据全称量词命题与恒成立问题的关系可解． 【解答】解：命题“，使”是假命题， 则命题的否定为，使为真命题， 当时，不满足题意， 当时，则，则． 故选：． 【例10】　（2022秋•拱墅区校级期末）若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用一元一次方程和一元二次方程的有解求出结果． 【解答】解：命题“，都有”为假命题， 故：，为真命题， 当时，解得，满足条件； 当时，一元二次方程有解，即△，解得． 综上所述：实数的取值范围为：． 故选：． 【例11】　（2023秋•渭城区校级期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果． 【解答】解：由“，”为真命题，得对于恒成立， 令，易知，时，，所以，， 故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件． 故选：． 【例12】　（2025•徐州模拟）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值． 【解答】解：因为命题，为真命题，所以不等式的解集为． 所以：若，则不等式可化为，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：． 故选：． 【例13】　（2024秋•惠城区校级期末）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C．或 D． 【答案】 【分析】由已知，为真命题，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解． 【解答】解：命题“”为假命题， 则，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得， 故的范围为． 故选：． 04 全称量词命题及存在量词命题的否定 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． p ﹁p 结论 全称量词命题 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，﹁p（x） 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M，p（x） ∀x∈M，﹁p（x） 存在量词命题的否定是全称量词命题 【例14】　（2025春•岳麓区校级期末）命题“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可． 【解答】解：全称命题的否定为特称命题， 故命题“，”的否定是“，”． 故选：． 【例15】　（2025•汉中模拟）命题“，，”的否定为　　 A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据全称命题的否定，将原命题的任意改为存在，并否定原结论，即可得． 【解答】解：，，为全称量词命题， 由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是，，． 故选：． 【例16】　（2025•沧州模拟）若命题，，则命题的否定为 　　 ． 【答案】“，”． 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解． 【解答】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题的否定为“，”． 故答案为：“，”． 【例17】　（2024秋•阜阳校级期末）命题“，”的否定是 　　． 【答案】，． 【分析】根称特称命题的否定，否定结论，存在量词换成全称量词即可． 【解答】解：由命题否定的定义可知，存在改任意，将结论取反， 则命题“，”的否定是“，”． 故答案为：，． 【例18】　（2024秋•朝阳校级期末）命题：“，”的否定是 　　． 【答案】，． 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可． 【解答】解：全称命题：“，”的否定为特称命题，即：，． 故答案为：，． 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 全称量词与存在量词专题07 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•岳麓区校级期末）命题，则¬p是（　　） A． B． C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0 2．（2025春•常州月考）命题“∃x＞0，x2+ax﹣3≥0”的否定是（　　） A．∃x＞0，x2+ax﹣3＜0 B．∃x≤0，x2+ax﹣3＜0 C．∀x＞0，x2+ax﹣3＜0 D．∀x≤0，x2+ax﹣3≥0 3．（2025春•重庆期末）命题“∃x＞1，x2﹣2x﹣3＜0”的否定是（　　） A．∃x＞1，x2﹣2x﹣3≥0 B．∃x≤1，x2﹣2x﹣3≥0 C．∀x≤1，x2﹣2x﹣3≥0 D．∀x＞1，x2﹣2x﹣3≥0 4．（2025•南开区学业考试）已知命题P：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P是（　　） A．∀x∈R，ex﹣x﹣1＜0 B．∃x0∈R，x0﹣1≤0 C．∃x0∈R，x0﹣1＜0 D．∀x∈R，ex﹣x﹣1≤0 5．（2025•吉林四模）已知命题p：∀x∈R，|x|＞0，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（　　） A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 6．（2025•广西模拟）已知命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0；命题q：∃x∈R，3x0+1≤0，则（　　） A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题 7．（2024秋•南京期末）若命题“∀x＞0，（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0”是真命题，则实数a的取值集合为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•汕头期末）下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（　　） A．∀x＞1，x3＞1 B．∃x∉Q，x3∈Q C．∃x＞1， D．∀x∈Q，x3∈Q 9．（2024•商城县一模）若命题：“∃x∈R，使x2﹣x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•延平区校级期中）下面四个命题中，真命题为（　　） A．∃x∈R，x2+1＜0 B．∀x∈R，x+|x|＞0 C．∀x∈Z，|x|∈N D．∃x∈R，x2﹣2x+3＝0 二、多选题（共4小题） （多选）11．（2024秋•邢台期末）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（　　） A．有些菱形是正方形 B．若x＞2，则2x+1＞5 C．∃x∈R，x2﹣2x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0 （多选）12．（2024秋•重庆期末）已知a，b∈Z，p：a+b是奇数：q：ab是偶数，则下列命题为真命题的是（　　） A．若p，则q B．若q，则p C．若￢q，则￢p D．若￢p，则￢q （多选）13．（2024秋•吉林校级期末）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2+2x+1≥0 B．∃x∈N，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 （多选）14．（2024秋•广州校级期中）下列命题是真命题的是（　　） A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈Q，x2﹣2＝0 C．∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．∃x∈Z，3x+4＝7 三、填空题（共10小题） 15．（2025春•崇义县校级月考）若∀x∈R，a＜x2+1，则实数a的取值范围是 　 　 ．（用区间表示） 16．（2025春•西青区校级月考）若命题“∀x∈R，（a+1）x2+x+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为 　 　 ． 17．（2025•西安校级学业考试）若命题：“∃x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为 　 　 ． 18．（2024秋•梅河口市校级期末）已知命题：“∀x∈R，m2﹣1＝（m+m2）x”为真命题，则m的取值为 　 　 ． 19．（2025•香洲区校级开学）若命题“∀x＞0，使得x2+2ax+2a+3≥0”为假命题，则实数a的取值范围 　 　 ． 20．（2025春•西湖区校级月考）若“∀x∈R，x2﹣ax﹣2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 　 　 ． 21．（2024秋•电白区期中）若命题“∀x∈R，a（1+x）≤x2+3”为真命题，则实数a的取值范围是 　 　 ． 22．（2024春•合江县校级期中）命题“∃x0∈R，x2+2x+a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是 　 　 ． 23．（2024秋•山东期末）已知命题p：“∀x∈R，x2﹣2（a+1）x+4＞0”为真命题，则实数a的取值范围是 　 　 ． 24．（2024秋•广东校级期末）已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则命题p的否定是 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 25．（2024秋•嘉峪关期中）判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定： （1）p：对任意的x∈R，x2+x+1＝0都成立； （2）p：∃x∈R，x2+2x+5＞0． 26．（2024秋•雁江区校级期末）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0． （1）写出命题p的否定； （2）判断命题p的真假，并说明理由． 27．（2024秋•丘北县校级月考）写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）任何一个平行四边形的对边都平行； （2）非负数的平方是正数； （3）有的四边形没有外接圆； （4）∃x，y∈Z，使得． 28．（2024秋•新邵县校级期中）已知集合A＝{x|a≤x≤a+3}，集合B＝{x|x＜﹣1，或x＞5}，全集U＝R． （1）若a＝4，求A∩B，A∪B； （2）若命题“∀x∈A，都有x∈B”是真命题，求实数a的取值范围． 29．（2024秋•东城区校级期中）已知命题：“∃x0∈R，使得2mx0+4m﹣3≤0”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式（x﹣a）（x﹣a﹣3）≤0的解集为B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C B A B C C 二、多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 ACD AC AC CD 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案． 【解答】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为或x﹣1＝0． 故选：D． 2．【答案】C 【分析】根据存在性命题的否定求解． 【解答】解：∃x＞0，x2+ax﹣3≥0的否定是∀x＞0，x2+ax﹣3＜0． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据命题的否定求解即可． 【解答】解：命题“∃x＞1，x2﹣2x﹣3＜0”的否定是：∀x＞1，x2﹣2x﹣3≥0． 故选：D． 4．【答案】B 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x∈R，ex﹣x﹣1＞0，则￢P是∃x0∈R，x0﹣1≤0． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】举出反例证明p为假命题，所以￢p为真；找出实例证明q为真命题，所以￢q为假；由此即可求解． 【解答】解：对于命题q，x3＝x，解得x＝0，x＝﹣1或x＝1＞0， 所以q：∃x＞0，x2＝x，为真命题，￢q为假命题； 对于命题p，x＝0时，|x|＝0， 所以p：∀x∈R，|x|＞0为假命题，￢p为真命题； 所以￢p和q都是真命题． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】根据题意结合不等式恒成立以及能成立相关知识可判断． 【解答】解：已知命题p：∀x∈R，x2+2x+1＞0； 令y＝x2+2x+1，则y＝（x+1）2≥0，即当x＝﹣1时，不成立，故p为假命题； 又命题q：∃x∈R，3x0+1≤0， 令y＝x2+3x+1，又Δ＝9﹣4＝5＞0， 则∃x∈R，3x0+1≤0，故q为真命题， 则￢p和q都是真命题． 故选：B． 7．【答案】A 【分析】变形给定的不等式，将不等式恒成立问题，借助单调性转化为两个函数在（0，+∞）上必有相同零点求解． 【解答】解：“∀x＞0，（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0”是真命题， 当x＞0时，，方程x2﹣2ax﹣1＝0必有一个正根， 函数在（0，+∞）上单调递增， 则函数在（0，+∞）上必有相同零点， 否则存在x0＞0使得， 因此函数在（0，+∞）上的零点是函数的零点， 即，而a＞0，解得， 所以实数a的取值集合为． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】结合存在量词命题的定义及命题的真假关系检验各选项即可判断． 【解答】解：选项A，D均是全称量词命题，不符合题意； B，C均是存在量词命题，C为假命题，不符合题意． 故选：B． 9．【答案】C 【分析】由题意得x2﹣x﹣m＝0有实根，然后结合二次方程根的存在条件即可求解． 【解答】解：若命题：“∃x∈R，使x2﹣x﹣m＝0”是真命题， 则Δ＝1+4m≥0， 解得m． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据量词的定义，逐项分析其真假，即可求解． 【解答】解：对A：由x2+1≥1恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对C：∀x∈Z，|x|∈N，故该命题为真命题，故C正确； 对B：当x＝0时，x+|x|＝0+0＞0，故该命题为假命题，故B错误； 对D：Δ＝4﹣12＝﹣8＜0，故x2﹣2x+3＝0无解，故该命题为假命题，故D错误． 故选：C． 二、多选题（共4小题） 11．【答案】ACD 【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案． 【解答】解：对于A，命题改写为：存在一个菱形是正方形，是存在命题且正确，故A正确； 对于B，等价于∀x＞2，则2x+1＞5，这不是存在量词命题，故B错误； 对于C，当x＝1时，x2﹣2x+1＝1﹣2+1＝0≤0，是存在命题且正确，故C正确； 对于D，当x＝0时，x2﹣2x+1＝1＞0，是存在命题且正确，故D正确． 故选：ACD． 12．【答案】AC 【分析】根据命题的几种形式以及真假判断方法可解． 【解答】解：已知a，b∈Z，p：a+b是奇数：q：ab是偶数， 当a+b是奇数，则a，b为一奇一偶，则ab是偶数，则若p则q为真命题，则若￢q则￢p也是真命题； 当ab是偶数，不能推出a+b是奇数，则若q则p不是真命题，若￢p则￢q也是不是真命题． 故选：AC． 13．【答案】AC 【分析】结合含有量词的命题的真假关系检验各选项即可判断． 【解答】解：对A，是全称量词命题，是真命题，A正确； 对B，是真命题，但不是全称量词命题，B错误； 对C，是全称量词命题，也是真命题，C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，D错误． 故选：AC． 14．【答案】CD 【分析】利用量词命题真假性的判断方法，逐一分析各选项即可． 【解答】解：对于A，取x＝0∈R，则x2＝0，故A错误； 对于B，由x2﹣2＝0，得，故B错误； 对于C，∀x∈R，恒成立，故C正确； 对于D，由3x+4＝7，得x＝1∈Z，故D正确． 故选：CD． 三、填空题（共10小题） 15．【答案】（﹣∞，1）． 【分析】利用二次函数的性质计算即可． 【解答】解：由题得a＜（x2+1）min＝1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）． 16．【答案】{a|}． 【分析】由一元二次不等式恒成立可得． 【解答】解：因为命题“∀x∈R，（a+1）x2+x+1≥0”是真命题， 当a+1＝0，即a＝﹣1时，不等式为x+1≥0，显然不满足题意，； 当a+1≠0，即a≠﹣1时，所以，解得． 故答案为：{a|}． 17．【答案】． 【分析】由条件可得∀x∈R，4x2﹣2x+m≠0，列不等式求m的取值范围． 【解答】解：由题可得：“∀x∈R，4x2﹣2x+m≠0”为真命题， 即方程4x2﹣2x+m≠0没有实数根， 所以4﹣16m＜0，故． 故答案为：． 18．【答案】﹣1． 【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可知等式m2﹣1＝（m+m2）x恒成立，此时与x的取值无关， 则只需，解得m＝﹣1，则m的取值为﹣1． 故答案为：﹣1． 19．【答案】（﹣∞，﹣1）． 【分析】由题意可得“∃x0∈（0，+∞），使得”为真命题，分离参数可得在x0∈（0，+∞）内有解，利用基本不等式求出即可． 【解答】解：因为“∀x∈（0，+∞），使得x2+2ax+2a+3≥0”为假命题， 所以“∃x0∈（0，+∞），使得”为真命题， 即在x0∈（0，+∞）内有解，即， 因为， 当且仅当，即x0＝1时等号成立， 所以2a＜﹣2，解得a＜﹣1． 故答案为：（﹣∞，﹣1）． 20．【答案】（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）． 【分析】根据“∀x∈R，x2﹣ax﹣2a＞0”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：∀x∈R，x2﹣ax﹣2a＞0是假命题， 所以∃x∈R，x2﹣ax﹣2a≤0为真命题，即x2﹣ax﹣2a≤0有解， 所以Δ＝a2+8a≥0，解得a≤﹣8或a≥0． ∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）． 21．【答案】[﹣6，2]． 【分析】利用判别式法即可得到答案． 【解答】解：由题意得“∀x∈R，a（1+x）≤x2+3”为真命题， 即∀x∈R，x2﹣ax﹣a+3≥0， 根据二次函数的性质可得，Δ＝a2﹣4（3﹣a）≤0，解得﹣6≤a≤2． 故答案为：[﹣6，2]． 22．【答案】{a|a≤1}． 【分析】根据Δ＝4﹣4a≥0得到答案． 【解答】解：∃x0∈R，x2+2x+a＝0，为真命题，故Δ＝4﹣4a≥0， 解得a≤1． 故答案为：{a|a≤1}． 23．【答案】{a|﹣3＜a＜1}． 【分析】通过求解Δ＜0来确定实数a的取值范围． 【解答】解：已知命题p：“∀x∈R，x2﹣2（a+1）x+4＞0”为真命题， 对于二次函数y＝x2﹣2（a+1）x+4，Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4×1×4． 根据题意，令Δ＜0，即[﹣2（a+1）]2﹣4×1×4＜0，得（a﹣1）（a+3）＜0成立， 解得﹣3＜a＜1．故实数a的取值范围是﹣3＜a＜1． 故答案为：{a|﹣3＜a＜1}． 24．【答案】∀x∈R，x2+x﹣1≥0． 【分析】否定命题的结论，把存在量词改为全称量词． 【解答】解：命题p的否定是∀x∈R，x2+x﹣1≥0． 故答案为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0． 四、解答题（共5小题） 25．【答案】见试题解答内容 【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定． 【解答】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”， 因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”； （2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”． 26．【答案】（1）∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0； （2）命题p为假命题，理由详见解析． 【分析】（1）结合命题否定的定义，即可求解； （2）结合特殊值法，即可求解． 【解答】解：（1）命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0， 则命题p的否定为∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0； （2）命题p为假命题，理由如下： 当x＝0时，x2﹣x﹣2＜0，故命题p为假命题． 27．【答案】（1）命题的否定为存在一个平行四边形的对边不平行，命题的否定是假命题． （2）命题的否定为存在一个非负数的平方不是正数，命题的否定是真命题． （3）命题的否定为所有四边形都有外接圆，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为∀x，y∈Z，都有，原命题为真命题，命题的否定为假命题． 【分析】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假； （2）写出原命题的否定，通过取特殊值0，即可判断真假； （3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假； （4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假． 【解答】解：（1）命题的否定为存在一个平行四边形的对边不平行， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题． （2）命题的否定为存在一个非负数的平方不是正数， 因为02＝0，不是正数，所以该命题的否定是真命题． （3）命题的否定为所有四边形都有外接圆， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为∀x，y∈Z，都有， 因为当x＝0，y＝5时，x+y＝5，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． 28．【答案】（1）A∩B＝{x|5＜x≤7}，A∪B＝{x|x＜﹣1或x≥4}； （2）{a|a＞5或a＜﹣4}． 【分析】（1）把a＝4代入求出集合A，然后结合集合的交集及并集运算即可求解； （2）由题意可得A⊆B，然后结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）a＝4时，A＝{x|4≤x≤7}，集合B＝{x|x＜﹣1，或x＞5}， A∩B＝{x|5＜x≤7}，A∪B＝{x|x＜﹣1或x≥4}； （2）若命题“∀x∈A，都有x∈B”是真命题，则A⊆B， 所以a＞5或a+3＜﹣1， 即a＞5或a＜﹣4， 故a的范围为{a|a＞5或a＜﹣4}． 29．【答案】（1）A＝{m|m≤1或m≥3}； （2）（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）． 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）命题“∃x0∈R，使得”为真命题， 所以Δ＝（﹣2m）2﹣4（4m﹣3）≥0， 即m2﹣4m+3≥0， 解之得m≤1或m≥3， 所以实数m的取值的集合A＝{m|m≤1或m≥3}； （2）不等式（x﹣a）（x﹣a﹣3）≤0的解集为B＝{x|a≤x≤a+3}， 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⇐A， 则a≥3或a+3≤1， 所以a≥3或a≤﹣2， 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $