专题06 充分条件与必要条件（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

充分条件与必要条件专题06 一、选择题（共9小题） 1．（2024秋•许昌期末）已知a，b是实数，则“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B．a2＞b2 C．|a|＞|b| D．a3＞b3 2．（2025•四川模拟）已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024春•惠农区校级期末）已知a∈R，集合A＝{2，|a+1|，a+3}，则“a＝0”是“1∈A”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2024•青铜峡市校级学业考试）“a＞b”是“ac2＞bc2”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 6．（2024秋•衢州期中）“x＝0”是“x2+x＝0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024•江宁区校级二模）设x∈R，则“x＜0”是“x＜3”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023秋•重庆月考）若命题p：（x+y）（x﹣y）＝0，q：x＝y，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2022秋•灌南县校级期末）设x，y∈R，则“xy+1≠x+y”的充要条件是（　　） A．x，y不都为1 B．x，y都不为1 C．x，y都不为0 D．x，y中至多有一个是1 二、多选题（共3小题） （多选）10．（2024秋•富民县期中）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＞﹣1 D．x＞3 （多选）11．（2021秋•爱民区校级期末）若x2﹣x﹣2＜0是﹣2＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）12．（2021秋•岳阳期中）下列说法中正确的是（　　） A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2﹣2x﹣3＝0” C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件 三、填空题（共8小题） 13．（2023秋•新建区校级月考）若p：x﹣3＜0是q：2x﹣3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　 ． 14．（2022秋•张掖期中）关于x的方程m2x2﹣（m+1）x+2＝0的所有根的和为2的充要条件是　 　 ． 15．（2024秋•赫章县期末）若p：﹣2＜x＜2，，则p是q的 　 　 条件． 16．（2024秋•固始县期末）不等式m﹣2＜x＜m+1成立的充分非必要条件是0＜x＜1，则m的取值范围是 　 　 ． 17．（2024秋•衡阳校级期末）设p：x≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0．若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 　 　 ． 18．（2024秋•浦东新区校级期末）已知a，b是正实数，那么“a＞b”是“”的 　 　 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）． 19．（2024秋•鄠邑区期中）设p：x＜1，q：x﹣（2a+1）＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 　 　 ． 20．（2024秋•普陀区校级期中）已知条件α：0＜x＜2和条件β：0＜x＜a，若α是β的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 21．（2025春•梧州期末）已知命题p：“∃x∈R，使得不等式x2﹣mx﹣m＜0成立”是假命题． （1）求实数m的取值范围； （2）设m的取值范围为集合A，集合B＝{y|k﹣2≤y≤k+1}，若y∈B是y∈A的充分条件，求实数k的取值范围． 22．（2025春•普陀区校级期末）设p：实数x满足x2﹣2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足． （1）若a＝1，求p，q都成立时x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 23．（2024秋•榆林期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}． （1）若a＝3，求A∪（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 24．（2025春•成都校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，集合B＝{x|﹣1+m≤x≤1+m}． （1）当m＝2时，求A∩B； （2）若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围． 25．（2024秋•蚌埠期末）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}． （1）若m＝4，求A∪B； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 一、选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A C A A A A B B 二、多选题（共3小题） 题号 10 11 12 答案 BC BCD ABC 一、选择题（共9小题） 1．【答案】A 【分析】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断． 【解答】解：对于A，由，得a＞b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但，没有意义，即由a＞b推不出，A是； 对于BC，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，|a|＞|b|，而a＜b，BC不是； 对于D，a3＞b3⇔a＞b，D不是． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：若a＝3，b，满足a+b＞2，但ab＞1不成立， ∵a2+b2≥2ab， ∴（a+b）2≥4ab， ∵ab＞1， ∴（a+b）2＞4， ∴a+b＞2， 故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件， 故选：A． 3．【答案】C 【分析】由已知结合元素与集合关系求出a，然后判断充分必要条件即可判断． 【解答】解：若1∈A，则|a+1|＝1或a+3＝1，所以a＝﹣2，或a＝0， 当a＝﹣2时，a+3＝|a+1|＝1，不满足集合中元素的互异性， 当a＝0时，A＝{2，1，3}， 由1∈A，可得a＝0；当a＝0时，显然1∈A也成立． 故选：C． 4．【答案】A 【分析】不等式的基本性质，“a＞b”不一定能得出“ac2＞bc2”的结论，因为必须有c2＞0这一条件；反过来若“ac2＞bc2”，说明c2＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案． 【解答】解：当c＝0时，a＞b⇏ac2＞bc2； 当ac2＞bc2时，说明c≠0， 有c2＞0，得ac2＞bc2⇒a＞b． 故a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件， 故选：A． 5．【答案】A 【分析】根据题意，x2＜1等价于﹣1＜x＜1，若所求必要条件对应的范围为A，则（﹣1，1）⫋A，由此判断即可得到本题的答案． 【解答】解：不等式x2＜1等价于﹣1＜x＜1， 使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 6．【答案】A 【分析】先解方程x2+x＝0，再根据充分必要条件的概念，得解． 【解答】解：由x2+x＝0，知x（x+1）＝0，解得x＝0或﹣1， 所以“x＝0”是“x2+x＝0”的充分不必要条件． 故选：A． 7．【答案】A 【分析】根据充分不必要条件定义判断即可． 【解答】解：由题意，x＜0⇒x＜3，但x＜3不能得出x＜0， x＜0是x＜3的充分不必要条件． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由命题p可知，x＝﹣y或x＝y， 所以由p不能推出q，由q可以推出p， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：B． 9．【答案】B 【分析】将xy+1≠x+y化简，可得到其等价命题，即可得答案． 【解答】解：因为xy+1≠x+y即xy+1﹣x﹣y≠0，即（x﹣1）（y﹣1）≠0， 即等价于x≠1且y≠1， 故“xy+1≠x+y”的充要条件是x，y都不为1． 故选：B． 二、多选题（共3小题） 10．【答案】BC 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可． 【解答】解：x＞2的一个必要不充分条件可以是：x＞1或x＞﹣1， 故选：BC． 11．【答案】BCD 【分析】求解一元二次不等式，把若x2﹣x﹣2＜0是﹣2＜x＜a的充分不必要条件转化为（﹣1，2）⫋（﹣2，a），由此得到a的范围，则答案可求． 【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2． 又x2﹣x﹣2＜0是﹣2＜x＜a的充分不必要条件， ∴（﹣1，2）⫋（﹣2，a），则a≥2． ∴实数a的值可以是2，3，4． 故选：BCD． 12．【答案】ABC 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：A．若A∩B＝B，则B⊆A，但此时B不一定是∅，即充分性不成立， 当B＝∅时，A∩B＝B成立，即必要性成立，即“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件，故A正确， B．由x2﹣2x﹣3＝0，得x＝3或x＝﹣1，即“x＝3”的必要不充分条件是“x2﹣2x﹣3＝0”，故B正确， C．m是实数，则m不一定是有理数，反之若m是有理数，则m一定是实数，即“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”，故C正确， D．当x＝﹣1时，满足|x|＝1，但x＝1不一定成立，即“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件错误，故D错误， 故选：ABC． 三、填空题（共8小题） 13．【答案】{m|m＞3}． 【分析】由已知可得关于m的不等式，求解得答案． 【解答】解：由x﹣3＜0得x＜3，由2x﹣3＜m得xm， 由p是q的充分不必要条件知：{x|x＜3}⫋{x|x}，∴3， 解得：m＞3． 故答案为：{m|m＞3}． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】m＝0时，求出方程的解，m≠0时，结合二次函数的性质求出满足条件的m的值即可． 【解答】解：当m＝0时，方程为﹣x+2＝0，解得：x＝2， 当m≠0时，方程为一元二次方程， 设x1，x2是方程的解，则x1+x2， 若x1+x2＝2，解方程2，解得：m或1， 当m或1时，Δ＜0，即当m或1时，方程无解， 故m＝0时符合题意， 故答案为：m＝0． 15．【答案】既非充分又非必要． 【分析】先求出命题q的范围，即可求解． 【解答】解：∵， ∴q：0≤x＜16， ∵﹣2＜x＜2既不能推出0≤x＜16，也不能被0≤x＜16推出， 故答案为：既非充分又非必要． 16．【答案】[0，2]． 【分析】根据m﹣2＜x＜m+1成立的充分非必要条件是0＜x＜1，列不等式组求解即可． 【解答】解：由题知（0，1）是（m﹣2，m+1）的真子集， 所以解得0≤m≤2， 所以m的取值范围是[0，2]． 故答案为：[0，2]． 17．【答案】{a|0}． 【分析】先求出q所对应不等式的范围，结合充分必要条件与集合的包含关系的转化即可求解． 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0可得a≤x≤a+1， 若p是q的充分不必要条件，则[，1]⫋[a，a+1]， 则，两等号不能同时取得，解得0． 故答案为：． 18．【答案】充要． 【分析】由已知结合不等式性质检验充分必要性即可判断． 【解答】解：因为a，b是正实数， 当a＞b＞0时，成立，即充分性成立； ，即必要性成立． 所以“a＞b”是“”的充要条件． 故答案为：充要． 19．【答案】（0，+∞）． 【分析】化简x﹣（2a+1）＜0，再根据p是q的充分不必要条件判断两集合关系即可求得a的取值范围． 【解答】解：由x﹣（2a+1）＜0可得x＜2a+1， 因为p：x＜1，p是q的充分不必要条件， 所以（﹣∞，1）⫋（﹣∞，2a+1）， 所以1＜2a+1，所以a＞0． 故答案为：（0，+∞）． 20．【答案】{a|a＞2}． 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得a的取值范围． 【解答】解：α：0＜x＜2，β：0＜x＜a，由于α是β的一个充分不必要条件， 所以{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜a}， 所以a＞2． 故答案为：{a|a＞2}． 四、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）[﹣4，0]； （2）[﹣2，﹣1]． 【分析】（1）由题意可得“∀x∈R，使得不等式x2﹣mx﹣m≥0成立”是真命题，结合二次函数性质即可求解； （2）若y∈B是y∈A的充分条件，则B⊆A，结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）命题p：“∃x∈R，使得不等式x2﹣mx﹣m＜0成立”是假命题， 则“∀x∈R，使得不等式x2﹣mx﹣m≥0成立”是真命题， 所以Δ＝m2+4m≤0，解得﹣4≤m≤0， 故m的范围为[﹣4，0]； （2）A＝{m|﹣4≤m≤0}，集合B＝{y|k﹣2≤y≤k+1}， 若y∈B是y∈A的充分条件，则B⊆A， 所以，解得﹣2≤k≤﹣1， 故k的范围为[﹣2，﹣1]． 22．【答案】（1）{x|2＜x＜3}； （2）{a|a}． 【分析】（1）分别解出不等式，求出两个命题的范围，求交集即可． （2）根据充分不必要条件与集合的关系，可知q所代表的范围是p所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得． 【解答】解：（1）由q得（x﹣4）（x﹣2）＜0，解得2＜x＜4， 即q：2＜x＜4， a＝1时，x2﹣2x﹣3＜0，﹣1＜x＜3， 即p：﹣1＜x＜3， 而p，q都为真命题，所以2＜x＜3， 即p，q都成立时x的取值范围为{x|2＜x＜3}； （2）a＞0，x2﹣2ax﹣3a2＜0⇔﹣a＜x＜3a， 由q是p的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为a＞0， 所以． 即实数a的取值范围为{a|a}． 23．【答案】（1）A∪（∁UB）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞）； （2）[﹣6，﹣3]． 【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合A，B，代入a＝3再次化简集合B，进而利用集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得到B是A的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解． 【解答】解：（1）由题意知A＝{x|x2+2x＜3}＝（﹣3，1）， 若a＝3，B＝{x|﹣3＜3x﹣3＜6}＝{x|0＜x＜3}， 所以∁UB＝（﹣∞，0]∪[3，+∞）， 所以A∪（∁UB）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞）． （2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B⫋A， 因为，所以， 所以且等号不同时成立，解得﹣6≤a≤﹣3， 则a的取值范围是[﹣6，﹣3]． 24．【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤3}； （2）[﹣1，9]． 【分析】（1）根据已知条件化简集合A和B，再求交集即可． （2）根据已知可得B是A的子集，列不等式组进而求解． 【解答】解：（1）由A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}＝{x|﹣2≤x≤10}， 当m＝2时，B＝{x|1≤x≤3}， 所以A∩B＝{x|1≤x≤3} （2）因为x∈A是x∈B的必要条件， 所以B⊆A， 所以，解得：﹣1≤m≤9， 所以m的取值范围是[﹣1，9]． 25．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}； （2）[5，+∞）． 【分析】（1）根据题意化简集合A，B，进而求并集； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可． 【解答】解：（1）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}． 则B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}， 当m＝4时，A＝{x|0≤x≤9}， 所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}． （2）因为p是q的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 则，且等号不同时成立，解得m≥5， 所以实数m的取值范围为[5，+∞）． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 充分条件与必要条件专题06 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件． 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 4．初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提高逻辑推理素养． 1 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件、必要条件的理解 （1）“推出” 对于命题p：x>2，q：x>1．显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． （2）若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． （3）若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）对充要条件的理解 ①p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． ②要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． （5）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 2 01 充分条件、必要条件的判断 充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法 若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件． （2）集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件． （3）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立． 【例1】　（2025•南京模拟）已知，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解． 【解答】解：，，， 则，当且仅当时，等号成立， 故充分性成立， 当，，满足，，，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【例2】　（2025•南宁模拟）已知正实数，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】充分性举反例，必要性用均值不等式证明． 【解答】解：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误； 若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是， 所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件． 故选：． 【例3】　（2025•杨浦区校级模拟）已知为正数，则“”是“”的　　 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【解答】解：为正数，则或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：． 【例4】　（2025春•和平区期末）已知，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】解出的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【例5】　（2025春•双峰县校级月考）设，是两个集合，则“且”是“”的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得． 【解答】解：，是两个集合， 因“且” “” “”，充分性、必要性均成立， 故“且”是“”的充要条件． 故选：． 02 求充分条件、必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件、必要条件的理解 （1）“推出” 对于命题p：x>2，q：x>1．显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． （2）若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． （3）若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）对充要条件的理解 ①p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． ②要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． （5）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 【例6】　（2024春•三明期末）已知，，，使成立的一个充分而不必要条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：对于：若，得，则，反之不成立，即是成立的充分不必要条件； 对于与互相推不出是既不充分也不必要条件． 对于与互相推不出是既不充分也不必要条件． 对于 是充要条件． 故选：． 【例7】　（2024秋•海门区校级月考）已知实数，则“”成立的一个充分条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质，依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于选项，若，，则，所以；即不是“ “成立的充分条件；错误； 对于选项，若，则；即是“ “成立的充分条件；正确； 对于选项，当，时，能满足，但不满足，所以不是“ “成立的充分条件；错误； 对于选项，若，，能满足，但不满足，所以不是“ “成立的充分条件；错误． 故选：． 【例8】　（2024秋•肇庆期末）已知，，若是的必要条件，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】若是的必要条件，则，然后结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：，， 若是的必要条件，则， 所以． 故选：． 【例9】　（2024秋•南京期中）已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合必要条件的定义检验各选项即可判断． 【解答】解：因为命题， 若命题是命题的必要条件，则， 结合选项可知，符合题意． 故选：． 【例10】　（2024秋•翔安区校级期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可． 【解答】解：若是成立的充分条件，则， 因为集合，， 所以，解得． 故选：． 03 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解． 【例11】　（2024秋•长春期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据是的充分条件得，解出即可． 【解答】解：解方程，得或3， 因为是的充分条件，所以，所以． 故选：． 【例12】　（2025•香洲区校级开学）设，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【解答】解：因为是的必要条件，，， 所以， 所以，解得， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 【例13】　（2025春•岳阳县校级月考）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可． 【解答】解：若“”是“”的必要条件， 则“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是． 故答案为：． 【例14】　（2024秋•上城区校级期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】由已知结合充分条件与集合包含关系即可求解． 【解答】解：因为，， 若是的充分条件，则，，， 所以，即． 故答案为：． 【例15】　（2025•龙文区校级模拟）已知集合，，，若的充分条件为，则实数的取值范围为 　　 ． 【答案】或． 【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解． 【解答】解：集合，，， 若的充分条件为，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的范围为或． 故答案为：或． 04 充要条件的证明 充要条件的证明思路 （1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． （2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 【例16】　（2024秋•深圳校级月考）已知是实数，集合，，． （1）若，请写出集合的所有子集； （2）求证：“”是“”的充要条件． 【答案】（1），，，，，，，，； （2）证明见解析． 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可． 【解答】解：已知是实数，集合，，， （1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，，． （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立． 所以“”是“”的充要条件． 【例17】　已知△的三边，，所对的角分别是，，，求证：的充要条件是． 【答案】证明见解析． 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可． 【解答】证明：（必要性） ，即，， ，即必要性成立； （充分性） ，， ， 即，，即，即充分性成立，得证． 【例18】　求证：一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根的充要条件是． 【答案】见证明过程． 【分析】根据根与系数关系可证明此题． 【解答】证明：必要性：关于的一元二次方程，根据根与系数关系可知，两根之积为，若， 则一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根； 充分性：若一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根，根据根与系数关系可知两根之积为负，又因为两根之积为，则． 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $