专题08 等式性质与不等式性质（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

等式性质与不等式性质专题08 一、选择题（共8小题） 1．（2023秋•巴楚县校级期末）若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（　　） A．c﹣b＞d﹣a B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D． 2．（2025•天水学业考试）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 3．（2023秋•阜康市校级期末）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（　　） A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a﹣c＞b﹣c D．ac＞bc 4．（2024秋•海林市校级月考）若m≠2且n≠﹣1，则M＝m2+n2﹣4m+2n的值与﹣5的大小关系为（　　） A．M＞﹣5 B．M＜﹣5 C．M＝﹣5 D．不确定 5．（2023秋•揭西县期末）b克糖水中含a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•敖汉旗校级月考）设t＝a+2b，s＝a+b2+1，则t与s的大小关系是（　　） A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 7．（2023秋•南海区校级月考）设a，b，c为实数，且a＜b＜0．则下列不等式正确的是（　　） A． B．ac2＜bc2 C． D．a+b＞2a 8．（2022秋•大兴区期末）已知M＝（a+2）（a﹣3），N＝2a（a﹣1），a∈R，则M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2023秋•庐江县期末）下列命题为真命题的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2 C．若b＜a＜0，m＜0，则 D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd （多选）10．（2023秋•南溪区校级期末）已知2＜x＜3，2＜y＜3，则（　　） A．6＜2x+y＜9 B．2＜2x﹣y＜3 C．﹣1＜x﹣y＜1 D．4＜xy＜9 （多选）11．（2023秋•牡丹区校级期末）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（　　） A．若a＞b＞0，则 B．若a＞b，则ac2≥bc2 C．若a＞0＞b，则ab＜a2 D．若c＞a＞b，则 三、填空题（共3小题） 12．（2023秋•渭滨区校级月考）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则 　 　 ． 13．（2022秋•金山区校级期末）已知实数x、y满足﹣2≤x≤3，，则x﹣2y的取值范围为 　 　 ． 14．（2021秋•同安区校级期中）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么2a+3b的取值范围是　 　 ． 四、解答题（共5小题） 15．（2023秋•番禺区校级月考）设x∈R，比较与1﹣x的大小． 16．（2022秋•台山市校级期中）已知2＜a＜3．﹣2＜b＜﹣1，求2a+b的取值范围． 17．（2021秋•会宁县校级期中）已知x＞1，比较x3+6x与x2+6的大小． 18．（2024秋•修文县校级期中）（1）比较（x+2）（x+3）与（x+1）（x+4）的大小； （2）已知a＞b＞0，c＜0，求证：． 19．（2024秋•阿克苏地区校级期中）（1）比较a2+13与6a+3的大小； （2）已知实数a，b满足1＜a+b＜3，3＜2a+b＜5，求2a﹣b的取值范围． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A A A D C 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABC 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】本题可利用不等式的基本性质，运用已知条件，进行正确推导，得本题结论． 【解答】解：∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b，即﹣b＞﹣a． ∵c＞d， ∴c﹣b＞d﹣a． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M﹣N的结果，判断结果的符号． 【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3） ＝（a﹣1）2+2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质，判断A、B、C、D的结论即可． 【解答】解：对于A：由，可知c≠0，当c＞0时选项A成立，当c＜0时选项A不成立，故A错误； 对于B：当c＞0时选项B成立，当c＜0时选项B不成立，故B错误； 对于C：当c＞0时，首先求出a＞b，再整理得a﹣c＞b﹣c，故选项C成立，当c＜0时选项C不成立，故C错误； 对于D：由，可知c≠0，故，整理得ac＞bc，故D成立． 故选：D． 4．【答案】A 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【解答】解：M﹣（﹣5）＝m2+n2﹣4m+2n+5 ＝m2﹣4m+4+n2+2n+1＝（m﹣2）2+（n+1）2， ∵m≠2，n≠﹣1，∴（m﹣2）2＞0，（n+1）2＞0， ∴M﹣（﹣5）＞0，∴M＞﹣5． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得． 【解答】解：∵b g糖水中有a g糖， 糖水的浓度为：； b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0）， 则糖水的浓度为：； 又糖水变甜了，说明浓度变大了， ∴ 故选：A． 6．【答案】A 【分析】作差即可得出s﹣t＝（b﹣1）2≥0，从而可得出s，t的大小关系． 【解答】解：∵s﹣t＝a+b2+1﹣a﹣2b＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0， ∴s≥t． 故选：A． 7．【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质，逐个选项利用作差法比较大小即可得出结果． 【解答】解：A：，因为a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，所以，即，故A错误， B：ac2﹣bc2＝c2（a﹣b），因为a＜b＜0，所以b﹣a＜0，c2≥0，所以ac2﹣bc2≤0，即ac2≤bc2，故B错误， C：，因为a＜b＜0，所以b﹣a＞0，b+a＜0，ab＞0， 所以，即，故C错误， D：（a+b）﹣2a＝b﹣a，因为a＜b＜0，所以b﹣a＞0，所以（a+b）﹣2a＝b﹣a＞0，即（a+b）＞2a，故D正确， 故选：D． 8．【答案】C 【分析】利用作差法即可判断M，N的大小． 【解答】解：因为M﹣N＝（a+2）（a﹣3）﹣2a（a﹣1）＝﹣a2+a﹣6， 所以M＜N， 故选：C． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】BC 【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可． 【解答】解：对于A，c＝0时，显然错误， 对于B，∵﹣2＜a＜3，1＜b＜2， ∴﹣2＜a＜3，﹣2＜﹣b＜﹣1， ∴﹣4＜a﹣b＜2，故B正确， 对于C，∵b＜a＜0，m＜0， ∴0， ∴，故C正确， 对于D，令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝2，d＝1，显然错误， 故选：BC． 10．【答案】ACD 【分析】根据2＜x＜3，2＜y＜3，结合不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：对于A，因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜2x＜6，6＜2x+y＜9，故A正确； 对于B，因为﹣3＜﹣y＜﹣2，所以1＜2x﹣y＜4，故B错误； 对于C，因为﹣3＜﹣y＜﹣2，所以﹣1＜x﹣y＜1，故C正确； 对于D，因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜xy＜9，故D正确． 故选：ACD． 11．【答案】ABC 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误． 【解答】解：A．∵a＞b＞0，∴，，正确． B．∵a＞b，c2≥0，则ac2≥bc2，正确． C．a＞0＞b，则ab＜a2，正确． D．c＞a＞b，则0＜c﹣a＜c﹣b，∴0，但是a，b与0的关系不确定，虽然a＞b，无法判断的正误． 综上可得：ABC正确． 故选：ABC． 三、填空题（共3小题） 12．【答案】＞． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解． 【解答】解：∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴a+（﹣c）＞b+（﹣d）＞0，即a﹣c＞b﹣d＞0， ∴0， 又∵e＜0， ∴． 故答案为：＞． 13．【答案】[﹣4，2]． 【分析】根据不等式的性质可解． 【解答】解：因为实数x、y满足﹣2≤x≤3，，则1≤2y≤2，则﹣2≤﹣2y≤﹣1， 则﹣4≤x﹣2y≤2， 故答案为：[﹣4，2]． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围． 【解答】解：2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b）， ∴∴m，n．∴2a+3b（a+b）（a﹣b）． ∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴（a+b），﹣2（a﹣b）＜﹣1， ∴（a+b）（a﹣b）即2a+3b． 故答案为：2a+3b． 四、解答题（共5小题） 15．【答案】见试题解答内容 【分析】利用作差数和分类讨论思想进行求解． 【解答】解：∵x∈R， ∴（1﹣x）， ∴当x+1＞0，即x＞﹣1时，1﹣x； 当x+1＝0，即x＝﹣1时，不存在，与1﹣x不能比较大小； 当x+1＜0，即x＜﹣1时，1﹣x． 当x＝0时，1﹣x． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【解答】解：∵2＜a＜3．﹣2＜b＜﹣1， ∴4＜2a＜6， ∴2＜2a+b＜5． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】根据作差法判断其大小即可． 【解答】解：x3+6x﹣x2﹣6＝x2（x﹣1）+6（x﹣1）＝（x2+6）（x﹣1）， ∵x＞1，∴（x2+6）（x﹣1）＞0， ∴x3+6x＞x2+6． 18．【答案】（1）（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）； （2）证明见解． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据a＞b＞0，得到，再由c＜0，根据不等式的性质可得，从而得证． 【解答】（1）解：因为（x+2）（x+3）﹣（x+1）（x+4） ＝x2+5x+6﹣（x2+5x+4）＝2＞0， 所以（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）； （2）证明：因为a＞b＞0，可得ab＞0，则，即， 又c＜0，由不等式的性质可证得． 19．【答案】（1）a2+13＞6a+3； （2）（﹣3，11）． 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用不等式的性质即可求解． 【解答】解：（1）（a2+13）﹣（6a+3）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1≥1＞0， 所以a2+13＞6a+3； （2）设m（a+b）+n（2a+b）＝2a﹣b， 即2a﹣b＝（m+2n）a+（m+n）b， 所以，解得m＝﹣4，n＝3， 所以2a﹣b＝﹣4（a+b）+3（2a﹣b）， 因为1＜a+b＜3，3＜2a+b＜5， 所以﹣12＜﹣4（a+b）＜﹣4， 9＜3（2a+b）＜15， 所以﹣3＜﹣4（a+b）+3（2a+b）＜11， 即﹣3＜2a﹣b＜11， 所以2a﹣b的取值范围为（﹣3，11）． 第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 等式性质与不等式性质专题08 1．初步理解不等式的概念，能运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系了解重要不等式的发现和证明的方法． 2．类比等式的表达归纳用不等式表达不等关系的方法，体会数学知识的整体性和联系． 3．通过从实际问题的所蕴含的不等关系中抽象出不等式，发展数学抽象素养． 1 1．两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b． 2．用比较法比较两实数的大小 依据 （1）文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对． （2）符号表示 a>b⇔a－b>0． a＝b⇔a－b＝0． a<b⇔a－b<0． 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3．将不等关系表示成不等式的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 4．用不等式（组）表示不等关系时应注意的问题 在用不等式（组）表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示． 5．用不等式（组）表示不等关系的步骤 （1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． （2）适当地设未知数表示变量． （3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 6．重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 7．等式的基本性质 （1）如果a＝b，那么b＝a． （2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c． （3）如果a＝b，那么a±c＝b±c． （4）如果a＝b，那么ac＝bc． （5）如果a＝b，c≠0，那么＝． 8．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 同正 2 01 用比较法比较大小 1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）； 第四步：得结论． 这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 【例1】　（2023秋•城厢区校级月考）设M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M 与 N 的大小关系与 x 有关 【答案】A 【分析】作差，配方，即可比较大小． 【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣（x2+x﹣1） ＝2x2﹣2x+2 ＝2（x）20， 故M＞N． 故选：A． 【例2】　（2024秋•大兴区期中）设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为　　 ． 【答案】M＞N． 【分析】利用作差法，判断出M﹣N的符号即可获解． 【解答】解：M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3） ＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0， 故M＞N． 故答案为：M＞N． 【例3】　（2024秋•高邮市校级月考）若x∈R，则与的大小关系为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】通过作差配方即可得出大小关系． 【解答】解：0，当且仅当x＝1时取等号． ∴． 故答案为：． 【例4】　（2024秋•肥城市校级期中）已知a＜b＜0，比较与的大小． 【答案】见试题解答内容 【分析】通过“作差法”和利用不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，b2＜a2． ∴0． ∴． 02 等式、不等式的性质 1．等式与不等式的性质类比 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1：a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c 性质2：a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3：a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc 性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d a＝b，c＝d⇒ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a＝b≥0⇒an＝bn 性质7：a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 【注意】（1）在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． （2）要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 【例5】　（2025春•黄浦区校级期末）已知a、b、c、d均为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若a＜b，c＜d，则ac＜bd B．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则 C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，c＞d＞0，则 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于A，令a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1，d＝1，满足a＜b，c＜d，但ac＝bd，故A错误， 对于B，∵ab＞0，bc﹣ad＞0， ∴，故B错误， 对于C，∵a＞b，c＞d， ∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，故C正确， 对于D，令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但，故D错误． 故选：C． 【例6】　（2025春•浦东新区校级期末）若a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a2﹣b2＞0 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．2a＞2b 【答案】D 【分析】结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解． 【解答】解：令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2﹣b2＝0，故A错误； 令c＝0，ac＝bc，ac2＝bc2，故BC错误； a＞b，则2a＞2b，故D正确． 故选：D． 【例7】　（2025•射洪市校级一模）已知a，b，c∈R，则下列结论不正确的是（　　） A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＜b＜0，则a2＞ab C．若c＞a＞b＞0，则 D．若a＞b＞1，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断正误即可． 【解答】解：∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，A正确； ∵a＜b＜0，则a2＞ab，B正确； ∵c＞a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b，0＜c﹣a＜c﹣b， ∴，且a＞b＞0， ∴，C错误； a＞b＞1，∴ab﹣1＞0，，∴，即，D正确． 故选：C． 【例8】　（2025春•黄浦区校级月考）若a＜b＜0，则下列不等式中，一定不成立的是（　　） A． B． C． D．|a|＞|b| 【答案】A 【分析】直接利用不等式的性质即可求解． 【解答】解：若a＜b＜0， 对于A：，故A选项错误； 对于B：，故B选项正确； 对于C：，故C选项正确； 对于D：由于a＜b＜0，所以|a|＞|b|，故D选项正确． 故选：A． 03 利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求取值范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【例9】　（2025•福州模拟）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，则3a+b的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5] 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【解答】解：因为3a+b＝2（a+b）+（a﹣b）， 又﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4， 所以﹣6≤2（a+b）≤﹣4， 即﹣5≤2（a+b）+a﹣b≤0， 所以3a+b的取值范围是[﹣5，0]． 故选：C． 【例10】　（2025•河北模拟）已知2＜a≤4，﹣1＜b≤0，则2a﹣b的取值范围（　　） A．[4，9） B．（4，9） C．（5，8] D．（5，8） 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果． 【解答】解：因为2＜a≤4，﹣1＜b≤0得4＜2a≤8，0≤﹣b＜1，所以4＜2a﹣b＜9， 所以2a﹣b的取值范围为（4，9）． 故选：B． 【例11】　（2024秋•莆田校级期末）若1＜a＜4，﹣2＜b＜4，则2a﹣b的取值范围是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出2a的范围，然后由﹣2＜b＜4 求得﹣4＜﹣b＜2，从而可得﹣2＜2a﹣b＜10，求出所求． 【解答】解：若1＜a＜4，﹣2＜b＜4，则2＜2a＜8，﹣4＜﹣b＜2， ∴﹣2＜2a﹣b＜10， 故答案为（﹣2，10）． 【例12】　（2024秋•张家口期末）已知2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则2x﹣y的取值范围是 　　 ． 【答案】（5，8）． 【分析】利用不等式的基本性质可求得2x﹣y的取值范围． 【解答】解：由2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1可得4＜2x＜6，1＜﹣y＜2， 由不等式的基本性质可得5＜2x﹣y＜8． 故答案为：（5，8）． 04 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式注意事项 （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【例13】　（2025•石景山区校级开学）已知实数x，y满足﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2． （Ⅰ）求x+y和xy的取值范围； （Ⅱ）证明：2＞x（2﹣y）+y． 【答案】（I）x+y的取值范围是（﹣3，3）；xy的取值范围是（﹣2，2）． （II）详见解答过程． 【分析】（I）结合不等式的性质即可求解； （II）利用作差法即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）因为﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2， 由不等式性质可得，﹣3＜x+y＜3． 因为|xy|＝|x||y|＜2，所以﹣2＜xy＜2． 综上，x+y的取值范围是（﹣3，3）；xy的取值范围是（﹣2，2）． （Ⅱ）证明：2﹣y﹣x（2﹣y）＝（1﹣x）（2﹣y）． 因为x＜1，y＜2，所以1﹣x＞0，2﹣y＞0， 所以2+xy＞2x+y． 【例14】　（2024秋•兴宁区校级月考）已知1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1． （1）求2x+3y的取值范围； （2）证明：﹣4＜xy+x﹣y＜4． 【答案】（1）﹣4＜2x+3y＜3， （2）证明见解析． 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明． 【解答】解：（1）已知1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，得2＜2x＜6，﹣6＜3y＜﹣3， 所以﹣4＜2x+3y＜3． （2）证明：﹣2＜y＜﹣1，得1＜﹣y＜2， 1＜x＜3，则2＜x﹣y＜5，1＜﹣xy＜6， 得﹣6＜xy＜﹣1， 所以﹣4＜xy+x﹣y＜4． 【例15】　（2024秋•西城区期末）已知实数a，b满足﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1． （Ⅰ）求a+b和ab的取值范围； （Ⅱ）证明：1+ab＞a+b． 【答案】（I）a+b的范围为（﹣2，2），ab的范围为（﹣1，1）； （Ⅱ）详见解答过程． 【分析】（Ⅰ）由已知结合不等式的性质即可分别求解； （Ⅱ）利用比较法即可证明． 【解答】解：（I）因为实数a，b满足﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1， 所以﹣2＜a+b＜2，﹣1＜ab＜1， 所以a+b的范围为（﹣2，2），ab的范围为（﹣1，1）； （II）证明：因为﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1， 所以1﹣a＜0，1﹣b＜0， 1+ab﹣a﹣b＝（1﹣a）（1﹣b）＞0， 所以1+ab＞a+b． 【例16】　（2024秋•凤庆县校级期中）（1）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，求3a+b的取值范围； （2）已知a＞b＞0，c＜0，证明：． 【答案】（1）（4，8）；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据条件，利用不等式的运算性质，即可求解； （2）根据条件，通过作差，得到，即可证明结果． 【解答】解：（1）因为2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1， 所以6＜3a＜9， 所以4＜3a+b＜8， 所以3a+b的范围为（4，8）； （2）证明：因为，又a＞b＞0， 又c＜0，则c（b﹣a）＞0，得到， 所以． 第2页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $