专题15 幂函数（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

幂函数专题15 1．幂函数的概念和五个幂函数图象的变化情况和性质． 2．会观察同一坐标系中五个幂函数图象特征，归纳出幂函数的基本性质． 3．能应用幂函数性质解决简单问题． 1 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象（如图）． 3．一些常用幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在（－∞，＋∞）上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（－∞，＋∞）上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（0， ＋∞）上单调递减 在（－∞，0]上单调递减 在（－∞，0）上单调递减 2 01 幂函数的概念 1．幂函数的特征 （1）xα的系数是1； （2）xα的底数x是自变量； （3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2．判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1． 【例1】　（2025春•南宁期末）“m＝﹣1”是“f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m﹣3为幂函数”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出m，利用充分不必要条件的定义求解． 【解答】解：f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m﹣3为幂函数， 则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或﹣1， 当m＝2时，f（x）＝x； 当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣5； 所以“m＝﹣1”是“f（x）＝（m2﹣m﹣1）x2m﹣3为幂函数”的充分不必要条件． 故选：A． 【例2】　（2024秋•衡阳校级期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm的图象与坐标轴没有公共点，则m＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．﹣2或1 【答案】B 【分析】由系数为1求得m，然后代入确定函数图象是否与坐标有交点． 【解答】解：由题意m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1， m＝2时，f（x）＝x2，图象与坐标轴交点为（0，0），舍去， m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1满足题意． 故选：B． 【例3】　（2025春•江西期末）“点P（a，b）在幂函数f（x）＝（m+2）xm图象上”的充要条件是 　　 ． 【答案】ab＝1． 【分析】利用幂函数的定义确定m＝﹣1，即得f（x）＝x﹣1，由点P（a，b）在幂函数f（x）＝x﹣1图象上即可推得等价条件． 【解答】解：∵f（x）＝（m+2）xm是幂函数， ∴m+2＝1，解得m＝﹣1， ∴f（x）＝x﹣1， ∴点P（a，b）在幂函数f（x）＝x﹣1图象上， 当且仅当点P（a，b）满足方程b＝a﹣1，即ab＝1， ∴“点P（a，b）在幂函数f（x）＝（m+2）xm图象上”的充要条件是ab＝1． 故答案为：ab＝1． 02 幂函数的性质 1．幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 2．解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 【例4】　（2024秋•孝南区校级期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是定义域上的奇函数，则m＝（　　） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】由幂函数定义得到等量关系，解出m的值，代入m的值，验证函数f（x）为奇函数． 【解答】解：∵函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数， ∴由幂函数的定义得： 3m2﹣2m＝1，解得m＝1或， 当m＝1时，f（x）＝x是定义域上的奇函数，满足题意； 当时，是定义域上的奇函数，满足题意． ∴m＝1或． 故选：D． 【例5】　（2025春•顺庆区校级月考）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣7m﹣5）xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，则m＝（　　） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和其单调性进行求解． 【解答】解：由题意得，3m2﹣7m﹣5＝1，解得m＝3或m，又f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以m﹣1＞0， 故m＝3． 故选：C． 【例6】　（2025春•广东月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则a＝（　　） A．﹣1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可． 【解答】解：因为幂函数在定义域内单调递增， 所以2a2+a＝1，且a，解得． 故选：C． 03 幂函数的图象 幂函数图象的画法 （1）确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． （2）确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f（x）在其他象限内的图象． 【例7】　（2024秋•四平期中）已知f（x）为幂函数，m为常数，且m＞1，则函数的图象经过的定点坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（﹣1，1） D．（﹣1，2） 【答案】B 【分析】结合幂函数、指数函数的性质，即可求解． 【解答】解：f（x）为幂函数，m为常数，且m＞1， 则f（x）恒过定点（1，1） 所以 的图象经过定点（1，2）． 故选：B． 【例8】　（2024秋•滨海新区校级期中）函数y＝a2﹣x+7（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）＝xα的图象上，则f（3）＝　　 ． 【答案】27． 【分析】根据指数函数的图象恒过定点，求出点P的坐标，代入幂函数的解析式求出f（x），再计算f（3）的值． 【解答】解：由指数函数的性质知函数y＝a2﹣x+7（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P（2，8）， P在幂函数f（x）＝xα的图象上， 可得2α＝8，解得α＝3， 则f（x）＝x3， ∴f（3）＝27． 故答案为：27． 【例9】　（2024秋•凉州区校级期末）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝ax﹣m+1（a＞1）的图象过定点 　　 ． 【答案】（3，2）． 【分析】根据幂函数的性质求出m，再利用对数函数的单调性求解即可． 【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递增， ∴m2﹣2m﹣2＝1且m＞0，∴m＝3， ∴g（x）＝ax﹣3+1（a＞1）， 令x﹣3＝0，则x＝3，g（3）＝ax﹣3+1＝2， ∴g（x）＝ax﹣m+1的图象过定点（3，2）， 故答案为：（3，2）． 04 利用幂函数的性质比较大小 比较幂值大小的三种基本方法 （1）直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较． （2）转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小． （3）中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的． 【例10】　（2024秋•抚松县校级期末）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可． 【解答】解：因为20.2＞0.40.2，即a＞b， 又因为0.40.2＝0.160.1＞0.150.1，b＞c， 所以a＞b＞c． 故选：A． 【例11】　（2024秋•新疆校级期中）下列大小关系正确的是（　　） A．1.55＜1.65 B．0.24＞0.64 C．3.1﹣2＜5.8﹣2 D．0.18﹣6＞0.15﹣6 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小． 【解答】解：对于A，y＝x5在（0，+∞）上单调递增，且1.5＜1.6，所以1.55＜1.65，选项A正确； 对于B，y＝x4在（0，+∞）上单调递增，且0.2＜0.6，所以0.24＜0.64，选项B错误； 对于C，y＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，且3.1＜5.8，所以3.1﹣2＞5.8﹣2，选项C错误； 对于D，y＝x﹣6在（0，+∞）上单调递减，且0.18＞0.15，所以0.18﹣6＜0.15﹣6，选项D错误． 故选：A． 【例12】　（2024秋•泰安校级期中）已知，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性和指数的运算性质比较大小即可． 【解答】解：， 因为幂函数在（0，+∞）上单调递增，且4＞3， 所以，即a＞c， 因为，c， 所以，， 又因为64＜243， 所以b15＜c15，所以b＜c， 所以b＜c＜a． 故选：C． 05 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【例13】　（2025•天宁区校级三模）已知幂函数f（x）＝（2m+3）xm，写出一个使得不等式成立的自然数x的值 　　 ． 【答案】3或4（写对一个即可）． 【分析】根据f（x）＝（2m+3）xm为幂函数，得到，再解不等式即可． 【解答】解：因为f（x）＝（2m+3）xm为幂函数， 所以2m+3＝1， 解得m＝﹣1， 则， 不等式可化为， 即， 解得， 所以符合条件的自然数x可以是3或4． 故答案为：3或4（写对一个即可）． 【例14】　（2024秋•静宁县期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（16，4），则不等式f（x2﹣x+2）＞2的解集为　　 ． 【答案】{x|x＜﹣1或x＞2}． 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，α为实数， 由f（x）的图象过点（16，4），得16α＝4，解得α，所以f（x）， 所以f（4）＝2，不等式f（x2﹣x+2）＞2，即为f（x2﹣x+2）＞f（4）． 令x2﹣x+2≥0，解得x∈R． 根据f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数， 所以x2﹣x+2＞4，解得x＜﹣1或x＞2， 所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}． 故答案为：{x|x＜﹣1或x＞2}． 【例15】　（2024秋•河北期末）幂函数为偶函数，则不等式f（3x﹣1）＞f（x+2）的解集为　　 ． 【答案】． 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得f（x）＝x6，再结合单调性解不等式即可． 【解答】解：根据题意，幂函数， 则m2﹣m﹣1＝1，即m＝2或m＝﹣1， ①当m＝2时，f（x）＝x3为奇函数，不合题意故舍去， ②当m＝﹣1时，f（x）＝x6为偶函数，符合题意， 综上所述：m＝﹣1，f（x）＝x6， 因为函数f（x）＝x6在[0，+∞）内单调递增，且f（x）为偶函数， 根据f（3x﹣1）＞f（x+2），即f（|3x﹣1|）＞f（|x+2|）， 则|3x﹣1|＞|x+2|，两边取平方可得，8x2﹣10x﹣3＞0，即或， 即不等式f（3x﹣1）＞f（x+2）的解集为：． 故答案为：． 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数专题15 一、选择题（共8小题） 1．（2025•闵行区校级模拟）“m＝2”是“为幂函数”的（　　）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 2．（2024秋•渭滨区期末）幂函数y＝f（x）的图象过点，则此函数的解析式为（　　） A．（x＞0） B． C． D． 3．（2024秋•龙岗区校级期末）若函数f（x）＝（m+2）x2m为幂函数，则函数f（x）在定义域内为（　　） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 4．（2025春•杭州期中）已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 5．（2024秋•芜湖期末）幂函数f（x）过点（8，2），g（x）＝f（|x|），则不等式g（2a﹣1）＜g（a+2）的解集为（　　） A．（3，+∞） B．（﹣∞，3） C． D． 6．（2024秋•福贡县期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，1），则f（4）的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（2024秋•菏泽期末）已知幂函数f（x）过点，则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（　　） A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（0，2] D．[0，2] 8．（2024秋•湖北期末）已知幂函数f（x）的图象过点，若f（3﹣2m）＜1，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B． C． D． 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2025春•清远期中）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），则下列判断中正确的是（　　） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[1，4] C．函数满足f（x）+f（﹣x）＝0 D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0] （多选）10．（2024秋•铜陵期末）已知幂函数f（x）＝xα，则下列结论正确的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若α＝2，则对任意实数x1，x2，有 （多选）11．（2024秋•阜阳校级期末）当时，幂函数y＝xα的图象不可能经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题（共3小题） 12．（2025春•和平区校级期末）幂函数在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为 　 　 ． 13．（2025春•昭通期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝　 　 ． 14．（2024秋•和平区校级期末）若幂函数是偶函数，则n＝　 　 ． 四、解答题（共5小题） 15．（2025春•博野县校级期末）已知点在幂函数f（x）的图像上，g（x）＝f（x）+ax+b（a，b∈R）． （1）求f（x）的解析式； （2）若b＝1，且方程g（x）＝0有解，求实数a的取值范围； （3）当g（﹣1）＝0时，解关于x的不等式g（x）≤0． 16．（2024秋•日照期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围． 17．（2024秋•邢台期末）已知幂函数y＝xm（m∈R）经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）已知点A（a+2，y1），点B（3﹣2a，y2）（a∈R）在此幂函数的图象上，且满足y1＜y2，求实数a的取值范围． 18．（2024秋•沙依巴克区校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点． （1）求f（x）的解析式． （2）设函数，判断g（x）的奇偶性． 19．（2024秋•西安期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm（m∈R）在区间（0，+∞）上单调递增． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（a2﹣6a+6）＜f（1），求实数a的取值范围． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D B C B D D 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AD BCD BD 一、选择题（共8小题） 1．【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果． 【解答】解：当为幂函数可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1， 所以“m＝2”是“为幂函数”的充分不必要条件． 故选：D． 2．【答案】A 【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xa，将点代入y＝xa得，所以． 所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则x＞0， 故函数的解析式为（x＞0）． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】结合幂函数的定义与性质，即可求解． 【解答】解：函数f（x）＝（m+2）x2m为幂函数， 则m+2＝1，解得m＝﹣1， 故f（x）， f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）在定义域内不单调，故AB错误， f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，故C错误，D正确． 故选：D． 4．【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断． 【解答】解：是幂函数， 则m2＝1，解得m＝±1， 当m＝1时，f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，不合题意； 当m＝﹣1时，f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，满足题意，故m＝﹣1． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】设f（x）＝xα，代入点解出f（x），再由单调性和偶函数的性质解不等式即可． 【解答】解：设f（x）＝xα， 幂函数f（x）过点（8，2）， 则8α＝2，解得， 所以在（0，+∞）上单调递增， 且，为偶函数， 所以g（2a﹣1）＜g（a+2）， 则|2a﹣1|＜|a+2|，解得， 所以所求解集为． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】由题意，设幂函数的解析式为f（x）＝xα（α∈R），代入点（2，1），解得α＝0，得到幂函数的解析式，即可求解． 【解答】解：由题意，设幂函数的解析式为f（x）＝xα（α∈R）， 又由幂函数过点（2，1），代入得2α＝1，解得α＝0，即f（x）＝x0， 所以f（4）＝40＝1， 故选：B． 7．【答案】D 【分析】先求出函数解析式，然后结合幂函数的性质可求函数定义域． 【解答】解：因为幂函数f（x）过点，则f（x）， 函数y＝f（x）+f（2﹣x）， 由题意可得，，即0≤x≤2． 故选：D． 8．【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得f（x）解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可． 【解答】解：设f（x）＝xα， 因为幂函数f（x）的图象过点， 所以， 即α＝﹣1， 所以， 所以不等式f（3﹣2m）＜1可转化为， 所以， 即， 所以（2m﹣2）（3﹣2m）＜0， 解得或m＜1， 即实数m的取值范围为（﹣∞，1）∪（，+∞）． 故选：D． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】AD 【分析】根据题意，求得函数f（x）＝x2，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【解答】解：因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4）， 可得2α＝4，解得α＝2，即f（x）＝x2， 因为f（﹣1）＝1，所以A正确； 因为函数f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增， 所以当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0， 又由f（﹣1）＝1，f（2）＝4，所以f（x）max＝4，所以函数的值域为[0，4]，所以B错误； 因为f（x）+f（﹣x）＝x2+（﹣x）2＝2x2，所以C错误； 因为函数f（x）＝x2开口向上，对称轴为x＝0， 所以函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，所以D正确． 故选：AD． 10．【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，x＞0时，xα＞0，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小． 【解答】解：对于A，当α＝﹣1时，f（x），不经过原点，选项A错误； 对于B，当x＞0时，xα＞0，幂函数f（x）的图象不经过第四象限，选项B正确； 对于C，若α＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，选项C正确； 对于D，α＝2时f（x）＝x2，则f（）， ， 所以f（）， 当且仅当x1＝x2时，等号成立， 所以，选项D正确． 故选：BCD． 11．【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项． 【解答】解：y＝x﹣1经过第一、三象限； 经过第一象限； y＝x经过第一、三象限； y＝x3经过第一、三象限． 故选：BD． 三、填空题（共3小题） 12．【答案】见试题解答内容 【分析】由幂函数及其单调性即可求解． 【解答】解：幂函数在（0，+∞）上是减函数， 则，解得：m＝﹣1，f（m）＝f（﹣1）＝1． 故答案为：1 13．【答案】见试题解答内容 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式． 【解答】解：设幂函数的解析式为y＝xa， ∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，）， ∴2a， 解得a， ∴f（x）． 故答案为： 14．【答案】﹣2． 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【解答】解：∵幂函数是偶函数，∴n2+n﹣1＝1，且 n2﹣2n为偶数， 则n＝﹣2， 故答案为：﹣2． 四、解答题（共5小题） 15．【答案】（1）f（x）＝x2； （2）{a|a≤﹣2或a≥2}； （3）答案见解析． 【分析】（1）利用待定系数法，即可求得f（x）的解析式； （2）根据一元二次方程有解，Δ≥0，解出即可； （3）结合条件把不等式化为（x+1）（x+a﹣1）≤0，分类讨论a的取值范围，即可得到不等式的解集． 【解答】解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα， 由点在幂函数f（x）的图象上， 所以，解得α＝2， 所以f（x）＝x2； （2）b＝1时，g（x）＝x2+ax+1， 由方程g（x）＝0有解， 可得Δ＝a2﹣4≥0， 解得a≤﹣2或a≥2； 故实数a的取值范围为{a|a≤﹣2或a≥2}； （3）由g（﹣1）＝0得 1﹣a+b＝0，即 b＝a﹣1， 所以g（x）＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）（x+a﹣1）， 当﹣1＜1﹣a即a＜2时，g（x）≤0的解集为[﹣1，1﹣a]， 当﹣1＝1﹣a即a＝2时，g（x）≤0的解集为{﹣1}， 当﹣1＞1﹣a即a＞2时，g（x）≤0的解集为[1﹣a，﹣1]． 16．【答案】（1）f（x）＝x2； （2）（﹣∞，﹣1]． 【分析】（1）将点代入幂函数的解析式，即可求解； （2）分离出变量t，再结合二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）． 则2a＝4，解得α＝2， 故f（x）＝x2； （2）由（1）可得∀x∈R，t≤x2+2x恒成立，∴t≤（x2+2x）min， ∴令g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴g（x）min＝﹣1，∴t≤﹣1， ∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 17．【答案】（1），定义域为（0，+∞）； （2）． 【分析】（1）依题意可得，求出m的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到a+2＞3﹣2a＞0，解得即可． 【解答】解：（1）∵幂函数y＝xm（m∈R）过点， ∴，即22m＝2﹣1，∴， 则幂函数为：； 因为，所以的定义域为（0，+∞）． （2）由于函数在其定义域（0，+∞）上单调递减， 又因为点A（a+2，y1），点B（3﹣2a，y2）（a∈R）在此幂函数的图象上，且满足y1＜y2， 可得a+2＞3﹣2a＞0，即满足，解得， 所以． 18．【答案】（1）f（x）＝x﹣1； （2）函数g（x）为奇函数． 【分析】（1）设f（x）＝xα，代入点求得α的值，即得解； （2）由函数奇偶性的定义即可． 【解答】解：（1）设f（x）＝xα，则（）α， 解得α＝﹣1， 则f（x）＝x﹣1； （2）函数x， 函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 又g（﹣x）（x）＝﹣g（x）， 则函数g（x）为奇函数． 19．【答案】（1）f（x）＝x3；（2）（1，5）． 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得m的值，从而求得f（x）的解析式． （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得a的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数的定义与性质知， ，解得m＝3， 所以f（x）＝x3． （2））因为f（x）＝x3在R上单调递增， 且f（a2﹣6a+6）＜f（1）， 所以a2﹣6a+6＜1，即a2﹣6a+5＜0， 解得1＜a＜5， 所以实数a的取值范围是（1，5）． 第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $