第二周 第2天 充要条件 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第2天 充要条件 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. (重点) 3.能对充要条件进行证明. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 充要条件 ❓问题1　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. ❓问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 💡知识梳理 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有_______，又有_____，就记作 _____，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p _______________条件 q⇒p，且p⇏q _______________条件 p⇒q，且q⇒p __________条件 p⇏q，且q⇏p _______________条件 ⚠️ 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 🎯例1-1　(课本例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 🎯例1-2　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：x=1，q：x-1=； (2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0； (3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 反思 归纳 📐跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 知识点2 充要条件的证明 🎯例2-1　(课本例4)已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 🎯例2-2　求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 反思 归纳 📐跟踪训练2　求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 知识点3 充要条件的应用 🎯例3　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 📐延伸探究1　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 📐延伸探究2　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 反思 归纳 自学小结 充要条件 1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：条件和结论辨别不清. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.“x>0”是“x≠0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(　　) A.m>0 B.m>1 C.m>3 D.m>4 4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第2天 充要条件 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. (重点) 3.能对充要条件进行证明. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 充要条件 ❓问题1　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 💬 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. ❓问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 💬 提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 💡知识梳理 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 ⚠️ 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 🎯例1-1　(课本例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). 解　(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件. (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立(为什么)，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件. (4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件. 🎯例1-2　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：x=1，q：x-1=； (2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0； (3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解　(1)方法一　当x=1时，x-1=成立； 当x-1=时，x=1或x=2. ∴p是q的充分不必要条件. 方法二　A={x|x=1}={1}， B={x|x-1=}={1，2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件. (2)若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，故p⇒q；若a≠0，则方程ax+b=0的根为x=-只有一解，故q⇒p，综上，p是q的充要条件. (3)由q：(x+2)2≠y2， 得x+2≠y且x+2≠-y，又p：x+2≠y， 故p是q的必要不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 反思 归纳 📐跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解　(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件. 知识点2 充要条件的证明 🎯例2-1　(课本例4)已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 证明　设p：d=r，q：直线l与☉O相切. (1)充分性(p⇒q)：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在☉O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共点P.所以直线l与☉O相切. (2)必要性(q⇒p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 🎯例2-2　求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0， ∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 反思 归纳 📐跟踪训练2　求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明　(1)充分性：如果b=0，那么y=kx， 当x=0时，y=0，函数图象过原点. (2)必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点， 所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0. 综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 知识点3 充要条件的应用 🎯例3　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}， 故有 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 📐延伸探究1　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 因为p是q的充分不必要条件， 所以AB， 所以解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 📐延伸探究2　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)， 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 若p是q的充要条件，则集合A=B， 即无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 反思 归纳 自学小结 充要条件 1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：条件和结论辨别不清. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.“x>0”是“x≠0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件. 2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由x2-4x-5=0得x=5或x=-1， 则当x=5时，x2-4x-5=0成立， 但当x2-4x-5=0时，x=5不一定成立. 因此“x2-4x-5=0”是“x=5”的必要不充分条件. 3.(多选)已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有(　　) A.m>0 B.m>1 C.m>3 D.m>4 答案　CD 解析　A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4. 4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　. 答案　m=-2 解析　函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；反之，若m=-2， 则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $