湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学综合复习小卷4

**基本信息** 聚焦必修1与2综合内容，以坐标法、几何直观、模型构建为核心方法，系统整合向量、复数、立体几何与三角函数知识，强化数学思维与实际应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量几何|题1|坐标法转化向量关系|向量运算与平面几何性质结合| |复数应用|题2|复数几何意义分析|复数与坐标系中点的对称及模长关系| |统计计算|题3|百分位数计算方法|数据排序与分位数取值原理| |立体几何|题6|面面垂直判定、线面平行构造|空间线面关系推导及线面角求解| |三角函数模型|题7|实际问题建模|三角函数性质在摩天轮高度问题中的应用|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期数学综合复习小卷4 时间：2026-7-01 范围：人教A版必修1与2（5.4--9.2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、多选题 1．如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（    ） A．为定值 B．且 C．的最小值为 D．的最大值为 2．已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若与关于实轴对称，则为实数 B．若与关于实轴对称，则 C．若，则 D．若，则： 二、填空题 3．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，，25，26，27，34，37，38，若该组数据的分位数为24，则__________． 4．已知向量，且，满足，则的最大值为________． 5．圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为_____cm 三、解答题 6．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，侧面底面ABCD，，，M是棱SB上靠近点S的一个三等分点． (1)求证：平面平面SAB； (2)求证：平面SCD； (3)若△SAB是边长为2的等边三角形，求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值． 7．摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. (1)求关于的表达式； (2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 《曾都一中25级高一下学期数学综合复习小卷4》参考答案 题号 1 2 答案 BD ABD 1．BD【详解】 如图：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，，，设，， 因为，所以， ，，，由可得：， 所以，，即，， 对于选项A：， 的值随的变化而变化，所以不是定值，故选项A不正确； 对于选项B：可得，所以，故选项B正确； 对于选项C：，因为，可得 当时，的最大值为，而不是最小值，故选项C不正确； 对于选项D： 当时，最大值为，故选项D正确，故选：BD. 2．ABD【分析】由复数的几何意义和复数的运算可解. 【详解】若与关于实轴对称，则复数与虚部互为相反数， 设， 所以，所以，所以选项A、B正确；若，设，则，， 则，所以，可得， 而，无法判定，选项C错误； 所以，选项D正确.故选：ABD 3．23【分析】根据百分位数的计算方法和取法方式，直接求解即可. 【详解】由题可得，则该组数据的40%分位数为， 又该组数据的分位数为24，所以，解得. 4．【分析】借助绝对值三角不等式计算即可得. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 故，即，当且仅当或时取等，故的最大值为. 5．【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离． 【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为, 由图得：所求的最短距离是，设，圆心角是，则由题意知，①， ②，由①②解得，，∴，则． 则绳子最短距离为cm．故答案为：． 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知面面垂直可得BC⊥平面SAB，再由面面垂直的判定定理可证得结论， （2）取棱SC上靠近点S的一个三等分点N，连接MN，DN，则可得到四边形ADNM为平行四边形，所以，再由线面平行的判定定理可证得结论， （3）取AB中点E，连接SE，EC，可证得SE⊥平面ABCD，所以∠SCE为直线SC与平面ABCD所成角，然后在△SCE中求解即可 【详解】（1）证明：因为平面SAB⊥平面ABCD，平面平面，平面ABCD，BC⊥AB，所以BC⊥平面SAB．因为平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB． （2）证明：取棱SC上靠近点S的一个三等分点N，连接MN，DN，如图所示 在平面SBC中，由得，且，又，， 所以，，所以四边形ADNM为平行四边形，所以， 又平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． （3）解：取AB中点E，连接SE，EC．因为△SAB为等边三角形，所以SE⊥AB 因为平面SAB⊥平面ABCD，平面平面，平面SAB，所以SE⊥平面ABCD 所以∠SCE为直线SC与平面ABCD所成角，在中， ， 在梯形ABCD中，在△SCE中，有， 所以．即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为． 7．(1)，(2)(3) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以，所以，. 又当时，小朱位于点，以为终边的角为，所以， 所以，，即，. （2）设小毛距离地面的高度为，则，， 令，可得，即， 所以，或，（舍去）， 即，，又，当时，. （3）令，则，， 所以， 当，，即，时，. 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $