立体几何-2026年高一暑假专项练习

**基本信息** 聚焦立体几何核心几何体，通过高考真题与变式题训练，培养空间观念与推理能力，构建从多面体到旋转体的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直棱柱|3题（含2026新高考1卷）|空间角计算与动态几何问题|空间角概念应用与动态几何推理| |棱锥|3题（含2026新高考2卷）|外接球、体积最值与截割问题|棱锥性质向外接球拓展| |棱台|5题（含2024新高考2卷）|体积计算与线面角（结合实际应用）|棱台体积公式与线面角原理结合| |圆柱圆锥圆台|4题（含2025新高考Ⅱ卷等）|旋转体与球的组合、侧面积体积关系|旋转体性质与空间几何量计算|

高二暑假数学专项练习-立体几何 一、直棱柱 1【多选】已知正方体，则 A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 解：如图，对于选项A：因为，，所以，故A 正确 ; 对于选项B： 因为直线 平面 ，且 平面， 所以直线，故B正确 ; 对于选项C：连接与交于点 ， 则即为直线与平面所成的角， ，所以，故 C 错误 ; 对于选项D：直线与平面ABCD所成的角即为，所以D正确 . 2【多选】在正三棱柱中，，点满足 ，其中，，则　　 A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 解：对于选项A：当时，，即，所以， 故点在线段上，此时△的周长为， 当点为的中点时，△的周长为， 当点在点处时，△的周长为， 故周长不为定值，故选项错误； 对于选项B：当时，，即，所以， 故点在线段上，因为平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 又△的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于选项C：当时，取线段，的中点分别为，，连结， 因为，即，所以， 则点在线段上，当点在处时，，， 又，所以平面， 又平面，所以，即， 同理，当点在处，，故选项错误； 对于选项D：当时，取的中点，的中点， 因为，即，所以， 则点在线的上，当点在点处时，取的中点，连结，， 因为平面，又平面，所以， 在正方形中，，又，，平面， 故平面，又平面，所以， 在正方形中，， 又，，平面， 所以平面， 因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确． 3（2026新高考1卷）．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． (1)由题意证明如下：如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面，∴平面. (2)由题意及（1）得，在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形，∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为，在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，，∴， 在Rt中，，，为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 2、 棱锥 4（2026新高考2卷）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 【答案】 解：由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以， 由三角形面积公式，. 5已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 解：正四棱锥的高为，底面边长为a，球心为 O， 由已知易得球半径为，所以 ， 因为 ， 故当且仅当取到， 当时，得则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时 ， ，正四棱锥体积 ， 故该正四棱锥体积的取值范围是 6底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______ 【答案】28 解1：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6， 所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 解2：棱台的体积为 3、 棱台 7南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为 A. B. C. D. 【答案】C 解：依据棱台的体积公式 选C 8正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 选D 9【2024新高考2卷7】已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 解：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得,即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 10已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 解：由题意如图所示，由正弦定理得上底面所在平面截球所得圆的半径是 ， 下底面所在平面截球所得圆的半径是 ， 则轴截面中由几何知识可得 ， 解得 ， 因此球的表面积是 选A 11在正四棱台中，，则该棱台的体积为________ 【答案】 解：如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 4、 圆柱、圆锥、圆台 12（2025·新高考Ⅱ卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 13【2024新高考1卷5】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 选B 14已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　 A．2 B． C．4 D． 【答案】B 解：由题意，设母线长为，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长， 圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得， 所以该圆锥的母线长为．选B 15【多选】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 解：依题意，，，所以， 对于选项A：圆锥的体积为，A选项正确； 对于选项B：圆锥的侧面积为，B选项错误； 对于选项C：设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； 对于选项D：，所以，D选项错误. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假数学专项练习-立体几何 一、直棱柱 1【多选】已知正方体，则 A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 . 2【多选】在正三棱柱中，，点满足 ，其中，，则　　 A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 3（2026新高考1卷）．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 2、 棱锥 4（2026新高考2卷）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 5已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是 A. B. C. D. 6底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______ 3、 棱台 7南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为 A. B. C. D. 8正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 9【2024新高考2卷7】已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. 11在正四棱台中，，则该棱台的体积为________ 4、 圆柱、圆锥、圆台 12（2025·新高考Ⅱ卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 13【2024新高考1卷5】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 14已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　 A．2 B． C．4 D． 15【多选】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $