精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年高一下学期5月学业练习数学试卷

2025-2026学年度下期高一年级5月学业练习 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 平面四边形中（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】平面四边形中. 3. 设，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意得， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 即，解得. 故选：B. 5. 已知正四棱锥的底面边长为，它的体积为24，则侧棱长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积公式求出正四棱锥的高，结合勾股定理求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面正方形中心为，则即为正四棱锥的高. 由题意知，，解得. 正方形中，，则. 在中，由勾股定理得. 6. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以， 所以，所以. 故答案为：B. 7. 如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出轴截面图，由题设及几何知识可得圆台上，下底面半径，然后由圆台侧面积公式可得答案. 【详解】因球的表面积为，则，其中为球半径. 如下图，作出以下轴截面图，设球心为，球截面圆与圆台轴截面（等腰梯形）相切于， 因为，，， 所以，所以， 同理可得， 设，则，过作垂线，垂足为， 则，，， 则，即该圆台上底面半径为，下底面半径为，母线为， 则圆台侧面积为：. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，函数的图象经过，则（ ） A. B. C. 函数向左平移个单位得到，在的最小值为 D. 当在区间上有最大值没有最小值时，的取值范围 【答案】AD 【解析】 【分析】先求，进而判断AB，再根据平移变换结合三角函数的性质即可判断C，利用整体法结合三角函数性质即可判断D. 【详解】由题意得：，所以，所以， 所以，所以，又，所以，，故A正确，B错误； 所以， 所以， 由，所以，所以，故C错误； 由，所以， 由在区间上有最大值没有最小值， 所以，所以，即，故D正确. 11. 如图，边长为的正方形内接于圆，是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（ ） A. ，存在实数，，使得 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 点为正方形内一点，则最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，化简得到，可判定A正确；由，利用向量的数量积的运算公式，可判定B正确；取的中点，得到，结合向量的数量积的公式，可判定C错误；根据向量模长不等式，得到和，可得判定D正确. 【详解】因为正方形的边长为，可得，即圆的半径为 ， 对于A，若，可得， 则， 可得，即，可得三点共线， 因为点在弧上，所以当点与点中一点重合时，其余弧上的点不满足， 所以存在使得，所以A正确； 对于B，由向量的运算法则，可得，且， 则 ， 当时，取得最大值，所以B正确； 对于C，取的中点，连接，可得， 则 ， 因为，所以， 所以的最大值为，所以C不正确； 对于D，根据模长不等式，可得对于正方形内任意一点， 则， 两式相加得， 当且仅当为正方形的中心时，取等号， 所以最小值为4，所以D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原图与直观图对应边长的关系，求出三角形边长，进而利用三角形面积公式计算即可. 【详解】由已知得，， 所以原图形中，，且，如图， 因此原图形的面积为. 故答案为：. 13. 如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，（隐约可见数字，‘6’），满足条件的有两个.”在残损处的条件可能是①②③④中的______. 【答案】④ 【解析】 【详解】① ，此时三角形三边、、全部确定， 这样的三角形是唯一的，不符合 “有两个” 的条件. ② ， ， ， 即，此时三角形唯一，不符合“有两个解”的条件. ③ , 设，, 则，解得， 即，解得， 其中负根，边长不能为负，仅有1个正根， 只能构成唯一三角形，不符合“有两个解”的条件. ④ ， 设，由余弦定理得到 即，即，解得 ， 解得， 检验：时，三边为3、7、8，满足三角形三边关系； 时，三边为5、7、8，同样满足三边关系； 故④符合题意. 14. 在中，角所对的边分别为，若，则面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化简边角关系可得，结合余弦定理和面积公式可用表示面积，由二次函数的性质可得面积的最大值. 【详解】因为，由正弦定理有即， 所以或（舍）. 由余弦定理有， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为. 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解. （2）求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由是纯虚数，得，解得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，，， 由，整理得，解得或， 所以或. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，利用三角形的面积公式求解. （2）由结合正弦定理，通过计算得到，由得到，结合两角和的正弦公式及三角形内角A、B不为直角得到，由得到，从而计算出. 【小问1详解】 因为， 所以，则，解得， 将代入可得：. 【小问2详解】 因为， ，所以， 将代入得到， 即， 因为，所以，故， 即， 即， 因为三角形内角不为直角，所以， 所以，即， 因为，所以， 解得. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】（1） 取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2），理由： 连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. 【小问3详解】 因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 19. 如图，已知的三边，，所对的角分别为，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结交于点. （1）若，求证：； （2）若，，求： （i）的值； （ii）记，，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 【答案】（1）由，所以， 所以； （2）（i）；（ii）； 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理结合向量的线性运算即可求解； （2）（i）利用向量的数量积公式和余弦定理即可求解； （ii）记，，在中，由余弦定理和正弦定理求出，利用正弦函数的图像和性质得到面积的最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）由， 又由余弦定理得， 所以， 又为等边三角形，所以， 所以； （ii）记，， 在中，由余弦定理得， 得到， 所以， 在中，由正弦定理有， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期高一年级5月学业练习 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 平面四边形中（ ） A. B. C. D. 3. 设，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知正四棱锥的底面边长为，它的体积为24，则侧棱长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 10. 如图，函数的图象经过，则（ ） A. B. C. 函数向左平移个单位得到，在的最小值为 D. 当在区间上有最大值没有最小值时，的取值范围 11. 如图，边长为的正方形内接于圆，是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（ ） A. ，存在实数，，使得 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 点为正方形内一点，则最小值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________． 13. 如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，（隐约可见数字，‘6’），满足条件的有两个.”在残损处的条件可能是①②③④中的______. 14. 在中，角所对的边分别为，若，则面积的最大值是______． 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 如图，已知的三边，，所对的角分别为，，以为一边作等边，，位于边两侧，连结交于点. （1）若，求证：； （2）若，，求： （i）的值； （ii）记，，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $