专题05 集合的基本运算（全集与补集）（典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

集合的基本运算（全集与补集）专题05 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•扬州期末）已知集合U＝{x|x≤5，x∈N*}，M＝{1，2}，则∁UM＝（　　） A．{3，4} B．{3，4，5} C．{0，3，4} D．{0，3，4，5} 2．（2025春•淮安期末）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，3}，则∁UA中元素个数为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 3．（2025•海东市二模）集合A＝{x∈N|5﹣x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，则∁BA＝（　　） A．{5} B．{4，5} C．{﹣1，4，5} D．{﹣1，0，4，5} 4．（2025春•六枝特区校级期末）已知集合U＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，A＝{x∈N*|x＜2}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，2} D．{1} 5．（2025•湖北模拟）已知集合U＝N，A＝{x∈N|x2﹣4＞0}，则∁UA＝（　　） A．{0，1，2} B．{0} C．{0，1} D．{2} 6．（2025•河南模拟）已知全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{0，2}，则∁UA＝（　　） A．{0，1} B．{1，3} C．{0，2} D．{2，3} 7．（2025•新高考Ⅰ）设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 8．（2025春•庐江县期末）已知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．{0，5} B．{1，5} C．{0，1，5} D．{0，1} 9．（2025•蚌埠模拟）设集合U＝{0，1，2，3，4}，P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，4}，则P∩（∁UQ）＝（　　） A．{0} B．{0，3} C．{2} D．{1，2} 10．（2025春•南开区期末）设集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩（∁RB）＝（　　） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2≤x＜3} 二、多选题（共5小题） （多选）11．（2025•萍乡二模）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足：A∩B＝{3，5}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2，4}，则下列说法正确的为（　　） A．4∈A B．6∈A∪B C．集合A可能是{1，3，5，6} D．（∁UA）∪（∁UB）＝{1，2，4，6} （多选）12．（2024秋•朝阳校级期末）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．∁UA B．∁U（A∪B） C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3} （多选）13．（2024秋•资阳期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，集合B＝{1，2，4}，则（　　） A．∁UB⊆∁UA B．∁UA的子集个数为8 C．∁U（A∪B）＝{5} D．（∁UA）∪（∁UB）＝{2，3，5} （多选）14．（2024秋•荆州期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（　　） A．（A∩B）∪∁U（A∪B） B．（A∪B）∩∁U（A∩B） C．（A∩B）∪[（∁UA）∩（∁UB）] D．（A∪B）∩[（∁UA）∪（∁UB）] （多选）15．（2024秋•嘉峪关期中）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B中的元素有（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 三、填空题（共8小题） 16．（2025春•河南校级月考）已知全集U＝{x|﹣2≤x≤3}，集合A＝{x|﹣1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁UA＝　 　 ． 17．（2024秋•双清区校级期末）已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝　 　 ． 18．（2025•青浦区校级模拟）已知集合A＝{x|x≤2}，则∁RA＝ 　 　 ． 19．（2024秋•成都校级期中）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，4}，则A的补集为 　 　 ． 20．（2024•包河区校级学业考试）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＝0}，则∁AB＝ 　 　 ． 21．（2025春•浦东新区校级月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3，5}，则∁U（A∪B）＝　 　 ． 22．（2024秋•临高县校级期末）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩（∁UQ）＝　 　 ． 23．（2024秋•四川期中）已知全集U＝{x∈Z|x2﹣8x≤0}，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，5，8}，则∁U（A∪B）＝ 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 24．（2024秋•金凤区校级月考）已知集合A＝{x|5﹣x＞1}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+5}． （1）当a＝1时，求∁RA，A∩B； （2）若A∩B≠∅，求a的取值集合． 25．（2024秋•富锦市校级期中）已知A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x≤3}． （1）求集合A； （2）求∁R（A∩B），（∁RA）∩B． 26．（2024秋•滨海县校级月考）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，集合B＝{x|x≤﹣3或x≥0} （1）求A∩B； （2）求∁U（A∪B）． 27．（2023秋•云浮校级月考）已知U＝R，且A＝{x|﹣4＜x＜4}，B＝{x|x≤1或x≥3}，求： （1）A∩B； （2）（∁UA）∪B． 28．（2023春•滨州期末）已知集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{0＜x＜2}，求下列集合： （1）P∪Q； （2）P∩Q； （3）（∁RP）∩Q； （4）（∁RP）∪（∁RQ）． 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B A B C D B A 二、多选题（共5小题） 题号 11 12 13 14 15 答案 BCD BC BC AC AB 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】先化简集合U，再由补集的定义即可得． 【解答】解：因为M＝{1，2}，U＝{x|x≤5，x∈N*}＝{1，2，3，4，5}， 所以∁UM＝{3，4，5}． 故选：B． 2．【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，3}， ∴∁UA＝{x|x∈U且x∉A}＝{1，2，4}，则∁UA中的元素个数为3． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，再利用补集的定义求解． 【解答】解：集合B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}， 所以∁BA＝{﹣1，4，5}． 故选：C． 4．【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解． 【解答】解：∵集合U＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，A＝{x∈N*|x＜2}， ∴集合U＝{﹣1，0，1，2}， A＝{x∈N*|x＜2}＝{1}， ∴∁UA＝{﹣1，0，2}． 故选：B． 5．【答案】A 【分析】化简集合A，由补集的概念即可求解． 【解答】解：∵U＝N，A＝{x∈N|x2﹣4＞0}＝{3，4，5，⋯}， ∴∁UA＝{0，1，2}． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】根据补集的定义，找出全集U中不在集合A中的元素． 【解答】解：全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{0，2}， 则∁UA＝{1，3}． 故选：B． 7．【答案】C 【分析】根据题意直接写出∁UA即可确定其元素个数． 【解答】解：根据题意，∁UA＝{2，4，6，7，8}， 所以∁UA的元素个数为5． 故选：C． 8．【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解． 【解答】解：U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}， 则∁UB＝{0，1，5}，A∩（∁UB）＝{0，1}． 故选：D． 9．【答案】B 【分析】由补集、交集的概念即可得解． 【解答】解：根据题意，集合U＝{0，1，2，3，4}，Q＝{1，2，4}， 则∁UQ＝{0，3}，而P＝{0，1，2，3}， 故P∩（∁UQ）＝{0，3}． 故选：B． 10．【答案】A 【分析】先求出B的补集，然后结合集合交集运算可求． 【解答】解：由题意可得∁RB＝{x|x＜2或x≥3}， 则A∩∁RB＝{x|﹣1≤x＜2}． 故选：A． 二、多选题（共5小题） 11．【答案】BCD 【分析】由已知结合交、并、补集的混合运算逐项分析得答案． 【解答】解：由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U， 且满足A∩B＝{3，5}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2，4}， 得2、4同时在∁UA与∁UB中，故4∉A，故选项A错误； 6不同时在∁UA与∁UB中，则6∈A∪B，故选项B正确； 3，5同时在集合A与B中，集合A可能是{1，3，5，6}，故C正确； （∁UA）∪（∁UB）＝{1，2，4，6}，故D正确． 故选：BCD． 12．【答案】BC 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，图中阴影部分表示的集合是∁U（A∪B），根据并集、补集的定义计算可得． 【解答】解：全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}． 由x2﹣x﹣6≤0，即（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3， ∴A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， 又B＝{﹣4，2，3}，U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}， ∴A∪B＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴图中阴影部分表示的集合是∁U（A∪B）＝{﹣3，4}． 故选：BC． 13．【答案】BC 【分析】利用集合的并补运算判断C、D，并判断集合的包含关系及子集个数判断A、B． 【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}， 则∁UA＝{2，4，5}且子集有23＝8个，B对， 又∁UB＝{3，5}，则（∁UA）∪（∁UB）＝{2，3，4，5}，A、D错； 由A∪B＝{1，2，3，4}，则∁U（A∪B）＝{5}，C对． 故选：BC． 14．【答案】AC 【分析】由已知利用韦恩图，结合集合的基本运算即可判断． 【解答】解：根据图中阴影可知，（A∩B）∪（∁U（A∪B）符合题意， 又∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）， ∴（A∩B）U[（∁UA）∩（∁UB）]也符合题意． 故选：AC． 15．【答案】AB 【分析】求解不等式化简A，再由补集与交集运算得答案． 【解答】解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁RA＝{x|x≤﹣1}， 又B＝{﹣2，﹣1，0，1}， ∴（∁RA）∩B＝{﹣2，﹣1}． ∴（∁RA）∩B中的元素有﹣2，﹣1． 故选：AB． 三、填空题（共8小题） 16．【答案】{x|﹣2≤x≤﹣1或0≤x≤2}． 【分析】利用补集定义和不等式的性质直接求解． 【解答】解：∵全集U＝{x|﹣2≤x≤3}，集合A＝{x|﹣1＜x＜0或2＜x≤3}， ∴∁UA＝{x|﹣2≤x≤﹣1或0≤x≤2}． 故答案为：{x|﹣2≤x≤﹣1或0≤x≤2}． 17．【答案】{0，1}． 【分析】利用补集定义直接求解． 【解答】解：∵全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}， ∴A＝{0，1}． 故答案为：{0，1}． 18．【答案】{x|x＞2}． 【分析】根据补集的知识求得正确答案． 【解答】解：集合A＝{x|x≤2}， 则∁RA＝{x|x＞2}． 故答案为：{x|x＞2}． 19．【答案】{1，5}． 【分析】根据补集的知识求得正确答案． 【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，4}， 根据集合补集运算可得，∁UA＝{1，5}． 故答案为：{1，5} 20．【答案】{2，3}． 【分析】根据补集的定义即可得解． 【解答】解：B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＝0}＝{1，4}，集合A＝{1，2，3，4}， 则∁AB＝{2，3}． 故答案为：{2，3}． 21．【答案】{4}． 【分析】利用并集和补集的运算直接求解即可． 【解答】解：A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3，5}， 则A∪B＝{0，1，2，3，5}， U＝{0，1，2，3，4，5}， 所以∁U（A∪B）＝{4}． 故答案为：{4}． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】利用交集和补集的定义求解． 【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}， ∴P∩（∁UQ）＝{1，2，3，4，5}∩{1，2}＝{1，2}． 故答案为：{1，2}． 23．【答案】{0，6，7}． 【分析】解一元二次不等式，利用集合基本运算的概念即可得到结果． 【解答】解：解不等式x2﹣8x≤0可得：0≤x≤8，则全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}， 又由已知可得A∪B＝{1，2，3，4，5，8}， 所以∁U（A∪B）＝{0，6，7}． 故答案为：{0，6，7}． 四、解答题（共5小题） 24．【答案】（1）∁RA＝{x|x≥4}，A∩B＝{x|0＜x＜4}； （2）{a|﹣6＜a＜5}． 【分析】（1）根据题意，求得A＝{x|x＜4}，结合补集的运算，求得∁RA，再结合集合交集的运算，即可求解． （2）由A∩B≠∅，列出不等式组，即可求解实数a的取值集合． 【解答】解：（1）由不等式A＝{x|5﹣x＞1}＝{x|x＜4}，可得∁RA＝{x|x≥4}， 当a＝1时，集合B＝{x|0＜x＜7}，则A∩B＝{x|0＜x＜4}． （2）由集合A＝{x|5﹣x＞1}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+5}， 因为A∩B≠∅，则满足，解得﹣6＜a＜5， 所以实数a的取值集合是{a|﹣6＜a＜5}． 25．【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x＜3}； （2）∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}． 【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合A即可； （2）由集合的交集与补集的运算求解即可． 【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}， 所以解不等式x2﹣x﹣6＜0可得：﹣2＜x＜3， 故集合A＝{x|﹣2＜x＜3} （2）由（1）可知：A＝{x|﹣2＜x＜3}，又B＝{x|﹣3＜x≤3}， 所以A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥3}． ∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}． 26．【答案】（1）{x|0≤x＜4}；（2）{x|﹣3＜x≤﹣1}． 【分析】（1）依题意在数轴上表示出集合A，B，即可求得A∩B； （2）首先根据数轴得出A∪B，再由补集运算得出结果． 【解答】解：（1）根据题意，分别在数轴上表示出集合A，B，如图， 根据交集定义由数轴可得，A∩B如图中阴影部分所示， 即A∩B＝{x|0≤x＜4}． （2）易知A∪B＝{x|x≤﹣3或x＞﹣1}， 结合数轴可得∁U（A∪B）＝{x|﹣3＜x≤﹣1}． 27．【答案】（1）{x|﹣4＜x≤1或3≤x＜4}； （2）{x|x≤1或x≥3}． 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据补集和交集的概念计算即可． 【解答】解：（1）因为U＝R，且 A＝{x|﹣4＜x＜4}，B＝{x|x≤1或 x≥3}， ∴A∩B＝{x|﹣4＜x≤1或3≤x＜4}； （2）∁UA＝{x|x≤﹣4或x≥4}，则（∁UA）∪B＝{x|x≤1或x≥3}． 28．【答案】（1）{x|﹣1＜x＜2}；（2）{x|0＜x＜1}；（3）{x|1≤x＜2}；（4）{x|x≤0或x≥1}． 【分析】进行交集、并集和补集的运算即可． 【解答】解：（1）P∪Q＝{x|﹣1＜x＜2}； （2）P∩Q＝{x|0＜x＜1}； （3）∁RP＝{x|x≤﹣1或x≥1}，（∁RP）∩Q＝{x|1≤x＜2}； （4）∁RQ＝{x|x≤0或x≥2}，（∁RP）∪（∁RQ）＝{x|x≤0或x≥1}． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的基本运算（全集与补集）专题05 1．了解全集的含义及其符号表示． 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 3．会用 Venn 图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算核心素养． 1 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）记法：全集通常记作U． 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA． 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 图形语言 3．∁UA，A，U三者之间有什么关系 A⊆U，∁UA⊆U，A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝∅． 4．补集的性质 （1）A∪（∁UA）＝U． （2）A∩（∁UA）＝∅． （3）∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A． （4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）． （5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）． 2 01 求集合的补集 1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． 2．补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 3．符号∁UA有三层意思： （1）A是U的子集，即A⊆U； （2）∁UA表示一个集合，且（∁UA）⊆U； （3）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 4．求集合的补集 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． （3）求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的． （4）补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A，求A． 【例1】　（2025•浙江模拟）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则∁AB＝（　　） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{1，2} D．{﹣1，1} 【答案】C 【分析】结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则∁AB＝{1，2}． 故选：C． 【例2】　（2025•丰台区校级模拟）已知全集U＝{﹣3，﹣1，3，4}，集合A满足∁UA＝{﹣3，4}，则A＝（　　） A．{﹣1，3} B．{﹣3，﹣1} C．{1，﹣3} D．{1，3} 【答案】A 【分析】根据补集运算的定义求解． 【解答】解：因为全集U＝{﹣3，﹣1，3，4}，集合A满足∁UA＝{﹣3，4}， 所以A＝{﹣1，3}． 故选：A． 【例3】　（2025•越城区校级模拟）已知集合U＝{﹣1，0，1，2}，A＝{x∈N*|x＜2}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，2} D．{1} 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可求解． 【解答】解：集合U＝{﹣1，0，1，2}，A＝{x∈N*|x＜2}＝{1}， 故∁UA＝{﹣1，0，2}， 故选：B． 【例4】　（2024秋•仁寿县校级期末）已知全集为实数集R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，则∁RA（　　） A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|x≤﹣1或x＞2} D．{x|﹣1＜x＜2} 【答案】B 【分析】根据集合的补集运算即可求解． 【解答】解：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，全集为实数集R， 所以∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞2}． 故选：B． 【例5】　（2024秋•安徽期末）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{x|x2＝2x}，则∁UA＝（　　） A．{﹣2，﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{1，2} D．{0，﹣1} 【答案】A 【分析】用列举法表示集合A，根据补集的概念可得结果． 【解答】解：由题意，集合A＝{x|x2＝2x}＝{0，2}，则∁UA＝{﹣2，﹣1，1}． 故选：A． 02 交、并、补混合运算 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【例6】　（2025春•绍兴期末）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．{6} B．{1，2，3} C．{4，5，6} D．{1，2，4，5，6} 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算即可求解． 【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}， 根据集合的交集运算可得，A∩B＝{3}， 根据集合的补集运算可得，∁U（A∩B）＝{1，2，4，5，6}． 故选：D． 【例7】　（2025春•浙江期末）若集合A＝{x|x＜4}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩（∁RB）＝（　　） A．（﹣∞，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．（﹣∞，0]∪（1，4） 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可． 【解答】解：因为A＝{x|x＜4}，B＝{x|0＜x≤1}，所以∁RB＝{x|x≤0或x＞1}． 所以A∩（∁RB）＝（﹣∞，0]∪（1，4）． 故选：D． 【例8】　（2025•十堰模拟）已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（　　） A．{1，2} B．{4，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 【答案】C 【分析】由已知结合集合的基本运算即可求解． 【解答】解：因为全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3}， 则（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}． 故选：C． 【例9】　（2025•银川校级二模）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x≤2} 【答案】D 【分析】由补集概念结合已知求得∁RA，然后直接利用交集运算得答案． 【解答】解：∵A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}， 则∁RA＝{x|x≤2}， ∴（∁RA）∩B＝{x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x≤2}． 故选：D． 【例10】　（2025•湖南模拟）已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合M＝{2，4，8}，集合N＝{4，6}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{2，10} B．{6，10} C．{2，4，8，10} D．{10} 【答案】D 【分析】根据并集与补集的定义，写出运算结果． 【解答】解：全集U＝{2，4，6，8，10}，集合M＝{2，4，8}，集合N＝{4，6}， 所以M∪N）＝{2，4，6，8}， 所以∁U（M∪N）＝{10}． 故选：D． 03 利用Venn图解决集合问题 用平面上封闭曲线的内部代表集合的图被称作Venn图，通过Venn图可以很直观的看出集合之间的包含关系以及运算结果，所以Venn图的应用在有关集合问题中至关重要． 【例11】　（2025•辽宁模拟）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　） A．B∩（A∪C） B．B∩（A∩C） C．B∩∁U（A∪C） D．（A∪B）∩（B∪C） 【答案】A 【分析】根据集合的运算即可得到答案． 【解答】解：由图中阴影部分可知，阴影为集合A，B的交集和B，C的交集的并集， 故阴影部分可表示为（A∩B）∪（B∩C）或B∩（A∪C），故A正确． 故选：A． 【例12】　（2025•小店区校级模拟）设全集U＝Z，A＝{﹣1，0，1}，B＝{x∈N||x|≤2}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{1} B．{﹣1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0，2} 【答案】B 【分析】先判断表示的集合，再利用交集和并集的定义求解即可． 【解答】解：由题可得：B＝{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}， 故A∩B＝{0，1}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}， 而阴影部分表示的集合是{x|x∈A∪B且x∉A∩B}＝{﹣1，2}，故B正确． 故选：B． 【例13】　（2025•黑龙江校级三模）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈N*|3＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果． 【解答】解：全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈N*|3＜x≤8}＝{4，5，6，7，8}， 则A∩B＝{4，5}， 阴影部分表示的集合是集合A去掉A∩B的元素，即为{0，1，2，3}． 故选：D． 【例14】　（2025•南通校级模拟）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为（　　） A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|﹣2＜x＜1} 【答案】A 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为C∪（M∪N），根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为∁U（M∪N）， ∵M∪N＝{x|x＜﹣2或x≥1}， ∴∁U（M∪N）＝{x|﹣2≤x＜1}． 故选：A． 【例15】　（2025•庐阳区校级三模）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】Venn图中阴影部分表示的集合是A∩（∁UB），由此利用补集和交集的定义能求出结果． 【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，设U是全集， ∴Venn图中阴影部分表示的集合是：A∩（∁UB）＝{1，3，5}，即有3个元素． 故选：B． 04 集合新定义问题 考查阅读理解．理解新定义的概念或运算，直接套用即可． 【例16】　（2024秋•西宁期末）定义差集A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，则下列图中阴影部分可表示集合B﹣A的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合运算新定义，理解各项对应韦恩图的含义，即可得答案． 【解答】解：由题设定义知，B﹣A＝{x|x∈B且x∉A}， 观察四个选项，只有A满足条件． 故选：A． 【例17】　（2025春•浙江月考）定义集合A、B的“对称差集”：A△B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{4，5}，下列结论正确的是（　　） A．A△B＝{1，4} B．A△∅＝∅ C．（A△B）△C≠A△（B△C） D．若A△B＝A，则B≠∅ 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果． 【解答】解：对于A，因为A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{4，5}， 所以A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以A△B＝{1，4}，故A正确； 对于B，因为A∪∅＝A，A∩∅＝∅，所以A△∅＝A，故B错误； 对于C，由的分析A知，（A△B）∪C＝{1，4，5}，（A△B）∩C＝{4}， 所以（A△B）△C＝{1，5}， 因为A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{4，5}， 所以B∪C＝{2，3，4，5}，B∩C＝{4}，所以B△C＝{2，3，5}， 所以A∪（B△C）＝{1，2，3，5}，A∩（B△C）＝{2，3}，所以A△（B△C）＝{1，5}， 所以（A△B）△C＝A△（B△C），故C错误； 对于D，当B＝∅时，结合选项B知，A△B＝A，故D错误． 故选：A． 【例18】　（2024秋•长沙校级期中）对于集合A，B，定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，已知集合U＝{x|﹣3＜x＜7，x∈Z}，E＝{﹣1，0，2，4，6}，F＝{0，3，4，5}，则∁U（E﹣F）＝（　　） A．{﹣2，0，1，3，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{﹣1，2，6} D．{﹣2，0，1，3，4} 【答案】A 【分析】结合新定义可知E﹣F＝{﹣1，2，6}，求得U，进而根据补集的定义求解即可． 【解答】解：结合新定义可知E﹣F＝{﹣1，2，6}， 又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}， 所以∁U（E﹣F）＝{﹣2，0，1，3，4，5}． 故选：A． 【例19】　（2024秋•仁寿县校级期中）设A，B是两个非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A×B＝（　　） A．{x|0≤x≤1}∪{x|x＞2} B．∅ C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2} 【答案】A 【分析】求出A∪B和A∩B，再根据A×B的定义写出运算结果． 【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}， ∴A∪B＝{x|x≥0}， A∩B＝{x|1＜x≤2}， 又A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}， ∴A×B＝{x|0≤x≤1或x＞2}． 故选：A． 【例20】　（2024秋•秦安县校级期中）设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M﹣P＝{x|x∈M且x∉P}，则M﹣（M﹣P）等于（　　） A．P B．M∩P C．M∪P D．M 【答案】B 【分析】分M∩P＝∅与M∩P≠∅讨论，可证明M﹣（M﹣P）＝M∩P． 【解答】解：①当M∩P＝∅时， ∵任意x∈M都有x∉P， ∴M﹣P＝M， ∴M﹣（M﹣P）＝∅＝M∩P； 当M∩P≠∅时， M﹣P表示了在M中但不在P中的元素， M﹣（M﹣P）表示了在M中但不在M﹣P中的元素， ∵M﹣P中的元素都不在P中，所以M﹣（M﹣P）中的元素都在P中， ∴M﹣（M﹣P）中的元素都在M∩P中， ∴M﹣（M﹣P）＝M∩P． 故选：B． 05 参数问题 由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解． （2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解． 【例21】　（2024秋•新会区校级月考）已知集合A＝{1，a}，∁UA＝{4}，U＝{1，a，a2}，则a＝　　 ． 【答案】2或﹣2． 【分析】由A∪∁UA＝U，可得{1，a，4}＝{1，a，a2}，然后根据集合元素的性质以及集合相等的定义建立方程，再求出a的值． 【解答】解：因为A∪∁UA＝U，A＝{1，a}，∁UA＝{4}，U＝{1，a，a2}， 所以{1，a，4}＝{1，a，a2}， 所以，解得a＝2或﹣2， 故答案为：2或﹣2． 【例22】　（2023秋•黄浦区校级期末）若全集U＝{3，﹣3，a2+2a﹣3}，A＝{a+1，3}，且∁UA＝{5}，求实数a的值． 【答案】﹣4． 【分析】根据补集运算求解即可． 【解答】解：由题意可知：5∈U，﹣3∈A， 则，解得a＝﹣4， 所以实数a的值为﹣4． 【例23】　（2023秋•小店区月考）若U＝{1，2，3，4}，A＝{x|x2+mx+n＝0}，∁UA＝{1，4}，求m，n的值． 【答案】m＝﹣5，n＝6． 【分析】根据补集的概念，求得集合A，再结合一元二次方程韦达定理可得解． 【解答】解：∵∁UA＝{1，4}，由补集的定义可得A＝{2，3}， ∴方程x2+mx+n＝0的两根为2，3； ∴，解得m＝﹣5，n＝6． ∴m＝﹣5，n＝6． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $