专题09 基本不等式（典例+练习）----2026年初升高暑假预习衔接

**基本信息** 聚焦基本不等式，通过基础巩固、变形应用、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的递进，适配暑假复习中夯实基础与能力提升需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一不等式应用|以选择填空为主，直接考查基本不等式求最值（如选择1-2）| |中档|条件变形与参数问题|含多选与复杂变形，涉及“1”的代换、含参数不等式（如填空13-14）| |拔高|综合应用与证明|通过解答题实现综合探究，结合方程、函数等知识（如解答21-22）|

基本不等式专题09 1．能理解不等式的运算结构． 2．掌握基本不等式的使用条件． 3．能用基本不等式求简单的最值问题． 4．结合具体实例，掌握基本不等式在实际生活中的简单应用，发展数学建模素养和数学抽象素养． 5．通过实际问题，能将某些生活中的最值问题转化为基本不等式两种最值模型中的一种，提高用模型思想解决问题的能力，提升数学运算素养． 1 1．基本不等式 （1）如果a>0，b>0，那么，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 通常称为基本不等式． （2）变形： ①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．最值定理 已知x，y都为正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 简记为：积定和最小，和定积最大． 3．拓展 三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立． 4．求实际问题中最值的解题步骤 （1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； （4）正确写出答案． 2 01 利用基本不等式比较大小 1．利用基本不等式比较大小 基本不等式≤一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和． a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）． （2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． （多选）【例1】　（2024秋•信阳期末）已知正数x，y满足2x+y＝1，则（　　） A．8xy≤1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：因为，则，当且仅当2x＝y，即时取等号， 故8xy≤1， 故A正确； ，当且仅当，即x，时取等号，故B错误； 因为，则，当且仅当2x＝y，即，时取等号，故C正确； 因为当且仅当2x＝y+1，即，y＝0时取等号，这与x，y均为正数矛盾， 故，故D错误． 故选：AC． （多选）【例2】　（2024秋•潮阳区期末）已知xy＞0且2x+y＝2，则（　　） A．0＜x＜1 B． C．16x×4y＝16 D．16x+4y≥8 【答案】ACD 【分析】由已知条件求x，y的取值范围，即可判断A；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断B、D． 【解答】解：对于A，因为xy＞0且2x+y＝2，可知x＞0，y＞0，所以y＝2﹣2x＞0， 即0＜x＜1，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即x＝y取等号，故B错误； 对于C，16x×4y＝42x×4y＝42x+y＝16，故C正确； 对于D，， 当且仅当42x＝4y时，即y，x取等号，故D正确． 故选：ACD． 【例3】　（2022秋•武山县期中）若a＜1，则a与﹣1的大小关系是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：因为a＜1，即a﹣1＜0， 所以， 故a与﹣1的大小关系是． 故答案为：． 02 应用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： （1）一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； （2）二定：化不等式的一边为定值； （3）三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．简称为——一正、二定、三相等． 2．利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配等． 根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换． （1）拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． （2）并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值． （3）配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 3．通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【例4】　（2025春•贺州期末）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：由题意可得，|a|＞0， 则3|a|2， 当且仅当3|a|，即|a|时取等号． 故选：D． 【例5】　（2025春•杨浦区校级月考）已知a，b∈R，若ab＝1，则a2+b2的最小值是 　　 ， 【答案】2． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：若ab＝1，则a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时取等号， 即a2+b2的最小值为2． 故答案为：2． 【例6】　（2025•广东学业考试）如果x＞0，那么的最小值是 　　 ． 【答案】5． 【分析】直接利用基本不等式求和的最小值． 【解答】解：因为x＞0， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：5． 03 应用基本不等式进行证明 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． （2）注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【例7】　（2025春•河北期末）设正数a，b满足a+b＝2．证明： （1）a2+2ab﹣b＜4； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）把双变量问题转化成单变量问题，再利用二次函数的单调性进行证明； （2）将不等式左边的两项中的b，a，分别用a，b来表示，再通过化简与通分得到含有ab的式子，再利用a+b＝2求出﹣ab≥﹣1即可证明． 【解答】证明：（1）因为a＞0，b＞0，且a+b＝2， 所以0＜a＜2， 而a2+2ab﹣b＝a2+2a（2﹣a）﹣（2﹣a）＝﹣a2+5a﹣2， 因为y＝﹣a2+5a﹣2在（0，2）上单调递增， 所以﹣a2+5a﹣2＜＝4，即a2+2ab﹣b＜4成立． （2） ， 因为（当且仅当a＝b＝1时取等号）， 所以ab+3≤4，﹣ab≥﹣1，， 所以， 即． 【例8】　（2024秋•镇江期末）（1）已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab，求a+b的最小值； （2）已知a＞0，b＞0，证明：． 【答案】（1）4； （2）证明过程见详解． 【分析】（1）由题意及基本不等式可得a+b的最小值； （2）作差整理可得结论． 【解答】（1）解：a＞0，b＞0，且a+b＝ab≤（）2，解得a+b≥4， 可得a+b的最小值为4； （2）证明：（）（）（） ， 因为a＞0，b＞0，可得0，0，（）2≥0， 所以0， 所以：（）． 即证得结论． 【例9】　（2024秋•静安区校级期中）（1）已知a＞1，求证：； （2）已知正数x、y满足x+3y＝2，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证． 【解答】解：（1）因为a＞1， 则0， 即； （2）因为x+3y＝2，x＞0，y＞0， 则，当且仅当，即时取等号， 故得证． 04 “1”的代换 “1”的代换是数学中一种重要的技巧，主要用于通过将常数1替换为特定表达式来简化问题或满足特定条件（如基本不等式中的“积为定值”）．核心原理是通过等价变形构造可优化的结构． “1”的代换指通过数学恒等式将常数1替换为其他表达式（如a+b=1时用a+b代换1），目的是构造满足特定条件的结构．在基本不等式中，需满足“一正二定三相等”，而代换1能直接生成定值项，避免多次放缩的风险． 当题目给出形如a+b=p（p为定值）的条件时，可将目标式乘以实现代换，再利用基本不等式求解． 【例10】　（2025•合肥模拟）已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出a+2b的最小值． 【解答】解：正数a，b满足， 则， 当且仅当且，即a＝3，b＝3， 故a+2b取得最小值9． 故选：A． 【例11】　（2025•南岗区校级三模）已知正数a，b满足，则a+3b的最小值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正数a，b满足， 则a+3b＝（a+3b）（）（10）（10+2）＝8， 当且仅当a＝b＝2时取等号． 故选：A． 【例12】　（2025•仁寿县校级模拟）已知a，b∈R+，4a+b＝1，则的最小值是 　　 ． 【答案】9． 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案． 【解答】解：因为a，b∈R+，4a+b＝1， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 故答案为：9． 05 基本不等式在生活中的应用 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围． 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【例13】　（2024秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作x个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为0.25x天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（　　） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【分析】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果． 【解答】解：因为固定成本为400元，每次制作x个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为0.25x天， 所以总成本为400+0.25x2， 则每个面包的总成本y220， 当且仅当x＝40时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个． 故选：C． 【例14】　（2024秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A．12件 B．24件 C．36件 D．40件 【答案】D 【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，则，利用基本不等式，即可求得ymin和此时x的值． 【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y， 则由题意可得，当且仅当x＝40时取得最小值， 即当每批应生产产品40件时y最小． 故选：D． 【例15】　（2024秋•昆明期末）用篱笆围成一个一边靠墙面积为32m2的矩形菜园，墙长10m，则至少需要篱笆 　　 m． 【答案】16． 【分析】设矩形的长为xm，由题意可得宽为m，可得篱笆长的表达式，由基本不等式可得篱笆长的最小值． 【解答】解：由题意设矩形的长为xm，0＜x＜10，则宽为m， 可得篱笆长为x+2y＝x216，当且仅当x，即x＝8时取等号， 所以篱笆长最小值为16m． 故答案为：16． 06 基本不等式在几何中的应用 1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b． 2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构． 【例16】　（2024秋•抚顺期末）若矩形ABCD的面积为4，则当取得最小值时，矩形ABCD外接圆的周长为（　　） A．3π B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，即此时AB，AD的值，进而可求外接圆的半径，进而求得结论． 【解答】解：由矩形ABCD的面积为4，得AB•AD＝4， 所以223， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以矩形ABCD外接圆的直径为2R， 故矩形ABCD外接圆的周长为2πR． 故选：C． 【例17】　（2024秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为x，宽为y．则至少需要 　　 米棚栏． 【答案】40． 【分析】根据面积可得xy＝100，周长为2（x+y），然后根据基本不等式求最小值． 【解答】解：由题意可得xy＝100，且周长L＝2（x+y）， x＞0，y＞0，则2（x+y）≥2•22×240， 当x＝y＝10取等号， 即至少需要40米棚栏． 故答案为：40． 【例18】　（2024秋•中山市校级月考）如图，某小区有一块五边形的空地ABCDE，延长EA交CB的延长线于点F，四边形EFCD为矩形，FC＝40m，CD＝20m，FA＝5m，FB＝10m．为了合理利用该空地，在线段AB上取一点H，使得四边形GHMD为矩形，矩形GHMD作为小区广场，其余为绿化带，其中点M在CD上，点G在DE上． （1）设HM＝xm，HG＝ym，求x+2y的值，并分别求x，y的取值范围； （2）求广场面积的最大值，并指出此时点H的位置． 【答案】（1）x+2y＝70，30≤x≤40，15≤y≤20． （2）当H是AB的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为612.5m2． 【分析】（1）由已知结合三角形相似的性质即可求解； （2）结合基本不等式即可求解． 【解答】解：（1）延长GH交FB于P，延长MH交AF于N，则NH＝40﹣x，HP＝20﹣y， ∵∠ANH＝∠AFB，∠AHN＝∠ABF， ∴△AHN∽△ABF， ∴，即， ∴x+2y＝70，故x，y的取值范围分别是30≤x≤40，15≤y≤20． （2）设广场面积为S，则S＝xy． ∵， ∴， 即， 当且仅当x＝2y＝35，即 x＝35，y＝17.5 时，等号成立， 故S的最大值为 612.5m2，此时NH＝40﹣x＝5m，， ∴H是AB的中点． 因此，当H是AB的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为612.5m2． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式专题09 一、选择题（共8小题） 1．（2025春•苏州期末）已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．5 2．（2025春•常州期末）已知x＞0，y＞0，x+y＝2，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•武汉期末）已知正实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（　　） A．b＞a＞0 B．a+b＞2 C．a+b＞ab+1 D．b2+2a＞a2+2b 4．（2025春•重庆期末）若正实数x，y满足xy+x﹣3y＝﹣1，则x﹣y的最大值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2025春•山东月考）已知x＞﹣3，则的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．7 6．（2025春•汕头月考）已知a＞0，b＞0，，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（2025春•衢州期末）已知实数x＞0，x＞y，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 8．（2025•商城县模拟）已知a+b＝1，a＞0，b＞0，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2025春•梧州期末）已知正数a，b满足a+2b﹣4＝0，则（　　） A．1＜ab＜4 B．a2+4b2≥8 C． D． （多选）10．（2025春•武汉期末）设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　） A． B． C． D． （多选）11．（2025•包头二模）已知a，b为正实数，ab+a+2b＝14，则下列说法正确的是（　　） A．a+b＜21 B．的最小值为﹣1 C．a+4b的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题（共6小题） 12．（2025春•上饶期末）已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为 　 　 ． 13．（2025春•河北期末）已知m＞2，n＞1，且3m+3n＝mn+7，则m+2n的最小值为 　 　 ． 14．（2025春•淮安月考）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝1，若不等式恒成立，则m的最大值为 　 　 ． 15．（2025•朝阳区校级模拟）已知实数x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则x+y的最大值为　 　 ． 16．（2025•辽宁二模）已知正实数a，b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是 　 　 ． 17．（2025•河南模拟）已知x＞0，则的最小值为 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 18．（2024秋•苏州期末）已知a，b均为正实数，ab＝a+2b+t（t∈R）． （1）若t＝0，求a+b的最小值； （2）若t＝6，求的最小值． 19．（2025春•榆次区校级月考）已知a＞1，b＞0，且a+3b＝6． （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 20．（2024秋•朝阳校级期末）已知x＞2，y＞0，xy＝y+4． （1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值； （2）求的最小值． 21．（2024秋•南昌县校级期末）已知关于x的不等式x2﹣mx﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜n}． （1）求m，n的值． （2）若正实数a，b满足na+mb＝1，求的最小值． 22．（2024秋•金山区期末）（1）已知a，b是实数．求证：a2+b2≥2a﹣2b﹣2，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若a+2b＝1，求ab的最大值，并指出此时a，b的值． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D A C B C 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BC ABD ABD 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】通过消元法，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，， 所以a＝1， 则， [（b﹣1）+（b+1）] （5）． 当且仅当b＝3，a时，取等号． 故选：C． 2．【答案】B 【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案． 【解答】解：x＞0，y＞0，x+y＝2， ， 当且仅当y＝2x，即x，y时，等号成立． 故选：B． 3．【答案】D 【分析】对分a＞1和a＜1两种情况讨论，当a＞1时，b＞a＞1，当a＜1时，b＜a＜1；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由b2+2a＞a2+2b得（b﹣a）（a+b﹣2）＞0，再分a＞1和a＜1两种情况证明． 【解答】解：因为正实数a，b满足， A选项，当a＞1时，b﹣1＞a﹣1，即b＞a＞1， 当a＜1时，b﹣1＜a﹣1，即b＜a＜1，所以A错误； B选项，当a＜1时，b＜a＜1，a+b＜2，所以B错误； C选项，当a＞1时，取a＝2，b＝3，此时a+b＝5，ab+1＝7，不满足a+b＞ab+1， 当a＜1时，取a＝0.5，b＝0.4，此时a+b＝0.9，ab+1＝1.2，不满足a+b＞ab+1，故C错误； D选项，b2+2a＞a2+2b等价于（b﹣a）（a+b﹣2）＞0， 当a＞1时，b＞a＞1，a+b＞2，此时b﹣a＞0，a+b﹣2＞0，（b﹣a）（a+b﹣2）＞0， 当a＜1时，b＜a＜1，a+b＜2，此时b﹣a＜0，a+b﹣2＜0，（b﹣a）（a+b﹣2）＞0，D正确． 故选：D． 4．【答案】D 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案． 【解答】解：由xy+x﹣3y＝﹣1得0， 所以y，所以y+1， 则，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：由x＞﹣3， 则， 当且仅当，即x＝﹣2时取等号． 故选：A． 6．【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，， 所以， 当且仅当且a1，即，b＝2时取等号． 故选：C． 7．【答案】B 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求解． 【解答】解：∵x＞0，x＞y，则x﹣y＞0， ∴， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 8．【答案】C 【分析】将代数式a+b与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值． 【解答】解：因为a+b＝1，a＞0，b＞0，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4． 故选：C． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】BC 【分析】由题意a＝4﹣2b＞0，b＞0⇒0＜b＜2，对于ABC，由二次函数性质即可判断；对于D，由基本不等式即可判断． 【解答】解：正数a，b满足a+2b﹣4＝0， 则a＝4﹣2b＞0，解得0＜b＜2， 对于A，ab＝﹣2b2+4b＝﹣2（b﹣1）2+2，因为0＜b＜2，所以0＜ab≤2，故A错误； 对于B，a2+4b2＝（4﹣2b）2+4b2＝8b2﹣16b+16＝8（b﹣1）2+8≥8，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当b，a时，取等号，有最小值，故D错误． 故选：BC． 10．【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可求解． 【解答】解：因为正实数a，b满足a+b＝1， 所以（）（a+b）＝59，当且仅当b＝2a，即a，b时取等号，A正确； （）（a+2b+2a+b）（2）， 当且仅当2a+b＝a+2b，即a＝b时取等号，B正确； a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，C错误； a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）2﹣3ab＝1﹣ab3， 当且仅当a＝b时取等号，D正确． 故选：ABD． 11．【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到（a+2）（b+1）＝16，令x＝a+2，y＝b+1，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可判定B正确；化简a+4b＝x+4y﹣6，利用基本不等式，可得判定C不正确；由（a+2）（b+1）＝16，得到，可判定D正确． 【解答】解：由ab+a+2b＝14，可得（a+2）（b+1）＝16， 对于A中，令x＝a+2，y＝b+1，则a＝x﹣2，b＝y﹣1且xy＝16， 可得2＜x＜16．则， 因为函数在（2，4]上单调递减，在[4，16）上单调递增， 可得f（x）＜f（16）＝17，所以a+b＝x+y﹣3＜14，所以A正确； 对于B中，由（a+2）（b+1）＝16，可得， 则， 当且仅当a＝2时，取得最小值﹣1，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当x＝4y时，即x＝8，y＝2时，即a＝6，b＝1时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由（a+2）（b+1）＝16， 可得， 当且仅当时，即a＝2，b＝3时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题（共6小题） 12．【答案】18． 【分析】由题意得，结合基本不等式即可得解． 【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1， 则 ，等号成立当且仅当． 故答案为：18． 13．【答案】13． 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可． 【解答】解：由3m+3n＝mn+7可得：2， 所以n＞3， 则， 而， 当且仅当，即n＝4，m＝5时取等号． 故答案为：13． 14．【答案】8． 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出m的最大值． 【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b＝1， 由， 因为a＞0，b＞0，所以， 当且仅当a＝2b，即a，b时取等号， 所以有m≤8． 故答案为：8． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x2+y2﹣xy＝1， ∴（x+y）2＝1+3xy， 化为（x+y）2≤4， ∴x+y≤2， ∴x+y的最大值为2． 故答案为：2． 16．【答案】[2，+∞）． 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得m的范围． 【解答】解：因为a，b为正实数，， 所以， 因此的最小值为4，故存在，即ab＝1时使得等号成立， 又因为，所以在（0，+∞）上有解， 由基本不等式可知时等号成立， 所以m≥2，故实数m的取值范围是[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 17．【答案】3． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：x＞0，则4x11＝3， 当且仅当4x，即x时取等号． 故答案为：3． 四、解答题（共5小题） 18．【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）当t＝0时，由已知等式变形得出，将代数式a+b与相乘，展开后利用基本不等式可求得a+b的最小值； （2）当t＝6时，由已知等式变形得出（a﹣2）（b﹣1）＝8，再利用基本不等式的最小值． 【解答】解：（1）当t＝0时，此时ab＝a+2b+t即为ab＝a+2b，那么可得． 由于a、b均为正实数， 因此， 当且仅当时，即当，时等号成立， 因此a+b的最小值为． （2）当t＝6时，ab＝a+2b+6，那么可得ab﹣a﹣2b+2＝8，那么（a﹣2）（b﹣1）＝8， 因此，由于b＞0，a＞0，因此a＞2，所以得b＞1， 因此，， 因此， 当且仅当时，即当，时等号成立， 因此的最小值为． 19．【答案】（1）3；（2）． 【分析】（1）利用基本不等式即可求解；（2）将已知关系式化为a﹣1+3b＝5，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解． 【解答】解：（1）因为a＞1，b＞0，则a+3b＝6≥2， 解得ab≤3，当且仅当a＝3b，即a＝3，b＝1时ab取得最大值3； （2）因为a+3b＝6，则a﹣1+3b＝5， 所以 ， 当且仅当，即a时取得最小值为． 20．【答案】（1）x+y的最小值为5，（x﹣1）2+y2的最小值为8； （2）5． 【分析】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得． 【解答】解：（1）因为x＞2，y＞0，xy＝y+4， 所以2，解得0＜y＜4， 所以，当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号， 所以x+y的最小值为5； 又，当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号， 所以（x﹣1）2+y2的最小值为8． （2）因为，x＞2且0＜y＜4， 所以 ， 当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号， 所以的最小值为5． 21．【答案】（1）m＝2，n＝3； （2）． 【分析】（1）由题意得﹣1，n是方程x2﹣mx﹣3＝0的两根，再利用韦达定理即可求解． （2）由（1）得正实数a，b满足3a+2b＝1，再利用“1的代换”即可求解． 【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜n} ﹣1，n是方程x2﹣mx﹣3＝0的两根， 则，解得m＝2，n＝3； （2）由（1）得正实数a，b满足3a+2b＝1， 所以， 当且仅当，且3a+2b＝1，即时等号成立， 所以的最小值为． 22．【答案】（1）详见解答过程； （2）最大值，a，b． 【分析】（1）利用作差比较法即可证明； （2）结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）证明：因为a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，当a＝1，b＝﹣1时取等号， 所以a2+b2≥2a﹣2b﹣2； （2）因为a+2b＝1， 所以a＝1﹣2b，ab＝﹣2b2+b， 根据二次函数的性质可得，当b时，ab取得最大值，此时a，b． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $