专题02 集合的表示 （典例+练习）讲义-2026年初升高数学暑假预习衔接

集合的表示专题02 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•海陵区校级月考）设有下列关系：①∈R；②4∈Q；③0∈N；④0∈{0，1}．其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023秋•荔湾区校级期中）下列关系中正确的个数为（　　） ①， ②， ③|﹣3|∉N*， ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•朝阳月考）下列说法正确的有（　　） ①；②∈N*；③﹣1∈N；④；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|5x2+4x＝0}，则集合A＝（　　） A．{0} B． C． D． 5．（2024秋•新泰市校级期末）集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（　　） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 6．（2024秋•阜宁县期末）已知集合，则用列举法表示A＝（　　） A．{﹣2，0，1，2，4} B．{﹣2，0，2，4} C．{0，2，4} D．{2，4} 7．（2024秋•玉林期中）集合{x∈N|x+1≤2}的另一种表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2} 8．（2024秋•安溪县期中）已知集合M＝{1，5，9，13，17}，则M＝（　　） A．{x|x＝2n+1，n∈N，n≤8} B．{x|x＝2n﹣1，n∈N，n≤9} C．{x|x＝4n+1，n∈N，n≤4} D．{x|x＝4n﹣3，n∈N，n≤5} 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•宁远县校级期中）大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（　　） A．{x|x＝2k﹣1，k∈N} B．{x|x＝2k+1，k∈N，k≥2} C．{x|x＝2k+3，k∈N} D．{x|x＝2k+5，k∈N} （多选）10．（2024秋•宿迁月考）下面四个说法中正确的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2} C．方程x2﹣4x+4＝0的所有解组成的集合是{2，2} D．0与{0}表示同一个集合 （多选）11．（2023秋•文峰区校级期末）下列说法中不正确的是（　　） A．0与{0}表示同一个集合 B．集合{1，2，3}与{3，2，1}是两个相同的集合 C．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2} D．集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示 三、填空题（共3小题） 12．（2024秋•牡丹区校级期中）已知集合A＝{x|x（x﹣1）（x+1）＝0}，则A＝ 　 　 ． 13．（2024秋•普陀区校级期中）能被3整除余2的自然数组成的集合可以用描述法表示为 　 　 ． 14．（2024秋•普陀区校级期中）已知，用列举法表示A＝ 　 　 ． 四、解答题（共5小题） 15．（2024秋•宁远县校级期中）用列举法表示下列集合： （1）A＝{x|x2＝9} （2）B＝{x∈N|1≤x≤2} （3）C＝{x|x2﹣3x+2＝0}． 16．（2024秋•海州区校级月考）选择适当方法表示下列集合： （1）由不超过5的所有自然数组成的集合A； （2）不等式3x+2＞5的解集组成集合B； （3）平面直角坐标系中第二象限的点组成集合C； （4）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上所有的点组成的集合D． 17．（2024秋•阆中市校级月考）用描述法表示下列集合． （1）所有不在第一、三象限的点组成的集合； （2）所有被3除余1的整数组成的集合； （3）使有意义的实数x组成的集合． （4）方程（x﹣2）2+（y+3）2＝0的解集． 18．（2023秋•图木舒克校级期中）用描述法表示下列集合； （1）不等式3x﹣6≥0的解集． （2）所有的偶数组成的集合． 19．（2023秋•吴忠月考）用适当的方法表示下列集合： （1）大于1且不大于17的质数组成的集合A； （2）所有奇数组成的集合B； （3）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2上的点组成的集合C； （4）D＝{（x，y）|x+y＝5，x∈N+，y∈N+}． 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A C B B C C 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BD AB ACD 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系以及数集的分类可解． 【解答】解：①∈R，故①正确； ②4∈Q，故②正确； ③0∈N，故③正确； ④0∈{0，1}，故④正确． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案． 【解答】解：对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，|﹣3|＝3∈N*，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个． 故选：A． 3．【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系逐一检验即可． 【解答】解：①∈Q正确； ②∉N*错误； ③﹣1∉N错误； ④2∉Q错误； ⑤∈Z错误． 故选：A． 4．【答案】C 【分析】解一元二次方程，即可求出集合A． 【解答】解：由5x2+4x＝0，得x（5x+4）＝0， 解得x1＝0，， 故． 故选：C． 5．【答案】B 【分析】集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素． 【解答】解：∵集合{x∈N+|x﹣3＜2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法， ∵{x∈N+|x﹣3＜2}＝{x∈N+|x＜5}＝{1，2，3，4} 故选：B． 6．【答案】B 【分析】由题意可得x﹣1可为±1、±3，计算即可得． 【解答】解：因为集合， 由题意可得x﹣1可为±1、±3， 即x可为0，2，﹣2，4，即A＝{﹣2，0，2，4}． 故选：B． 7．【答案】C 【分析】用列举法表示集合即可． 【解答】解：用列举法表示集合{x∈N|x+1≤2}为{0，1}． 故选：C． 8．【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可． 【解答】解：由题意可知，集合M＝{1，5，9，13，17}， 则集合M中5个元素都是被4整除余1的正整数，即x＝1+4n，且n∈N，n≤4， 所以{x|x＝4n+1，n∈N，n≤4}． 故选：C． 二、多选题（共3小题） 9．【答案】BD 【分析】用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证． 【解答】解：对于选项A：{x|x＝2k﹣1，k∈N}＝{﹣1，1，3⋯}，故A错误； 对于选项B：{x|x＝2k+1，k∈N，k≥2}＝{5，7，9⋯}，故B正确； 对于选项C：{x|x＝2k+3，k∈N}＝{3，5，7⋯}，故C错误； 对于选项D：{x|x＝2k+5，k∈N}＝{5，7，9⋯}，故D正确． 故选：BD． 10．【答案】AB 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断． 【解答】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}，B正确； 根据集合元素的互异性可知，x2﹣4x+4＝0的所有解组成的集合是{2}，C错误； 0为元素，{0}表示集合，D错误． 故选：AB． 11．【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论． 【解答】解：0是元素不是集合，{0}表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合{1，2，3}与{3，2，1}的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合{x|4＜x＜5}表示大于4小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD． 三、填空题（共3小题） 12．【答案】{﹣1，0，1}． 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可． 【解答】解：由x（x﹣1）（x+1）＝0可得x＝0或x＝﹣1或x＝1， 所以A＝{﹣1，0，1}． 故答案为：{﹣1，0，1}． 13．【答案】{x|x＝3k+2，k∈N}． 【分析】根据被3整除余2的自然数为3k+2，k∈N，结合集合的表示方法，即可求解． 【解答】解：由题意，被3除余2的自然数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N}． 故答案为：{x|x＝3k+2，k∈N}． 14．【答案】{1，2，3，6}． 【分析】利用列举法来求得正确答案． 【解答】解：依题意，{1，2，3，6}． 故答案为：{1，2，3，6}． 四、解答题（共5小题） 15．【答案】见试题解答内容 【分析】解方程，求出x的值即可． 【解答】解：用列举法表示下列集合： （1）A＝{x|x2＝9}＝{3，﹣3}； （2）B＝{x∈N|1≤x≤2}＝{1，2}； （3）C＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}． 16．【答案】（1）利用列举法表示集合A＝{0，1，2，3，4，5}； （2）利用描述法表示集合B＝{x∈R|3x+2＞5}； （3）利用描述法表示集合 C＝{（x，y）|x＜0，y＞0}； （4）利用描述法表示集合 D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}． 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可． 【解答】解：（1）利用列举法表示集合A＝{0，1，2，3，4，5}； （2）利用描述法表示集合B＝{x∈R|3x+2＞5}； （3）利用描述法表示集合 C＝{（x，y）|x＜0，y＞0}； （4）利用描述法表示集合 D＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+3}． 17．【答案】（1）{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}； （2）{x|x＝3n+1，n∈Z}； （3）{x|x≠2且x≠﹣3}； （4）{（x，y）|x＝2，y＝﹣3}． 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为3n+1，n∈Z得出解集； （3）解不等式x2+x﹣6≠0即可； （4）解方程得出解集． 【解答】解：（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}； （2）∵被3除余1的整数可表示为3n+1，n∈Z， ∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n+1，n∈Z}； （3）要使有意义，则x2+x﹣6≠0， 解得x1≠2且x2≠﹣3， ∴使有意义的实数x组成的集合为{x|x≠2且x≠﹣3}； （4）由（x﹣2）2+（y+3）2＝0，解得x＝2，y＝﹣3， ∴方程的解集为{（x，y）|x＝2，y＝﹣3}． 18．【答案】（1）{x|x≥2}； （2）{x|x＝2n，n∈Z}． 【分析】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可． 【解答】解：（1）解不等式3x﹣6≥0得x≥2， 所以原不等式的解集用描述法表示为{x|x≥2}； （2）所有的偶数组成的集合为{x|x＝2n，n∈Z}． 19．【答案】（1）A＝{2，3，5，7，11，13，17}； （2）B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}； （3）C＝{（x，y）|y＝x2}； （4）D＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}． 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解． （2）由奇数的概念以及描述法即可求解． （3）由描述法即可求解． （4）用列举法即可求解． 【解答】解：（1）大于1且不大于17的质数组成的集合A＝{2，3，5，7，11，13，17}． （2）所有奇数组成的集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}． （3）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2上的点组成的集合C＝{（x，y）|y＝x2}． （4）D＝{（x，y）|x+y＝5，x∈N+，y∈N+}＝{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}． 第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的表示专题02 1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法． 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合． 1 1．数学中常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2．集合的表示 （1）列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． （3）自然语言 （4）常用数集（用特定的字母符号表示） 2 01 常用数集的符号表示 熟记以下常用数集的符号（均为大写字母） 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R （1）正整数集N*，这里“*”的含义是在自然数集N中去掉0，在一些拓展题中有时候还会遇到Z*，“Z*”表示非0整数集，即在整数集Z中去掉0． （2）以后的学习中还会遇到其他数集，如复数集C等． 【例1】　（2024•包河区校级学业考试）下列元素与集合的关系中，正确的是（　　） A．﹣3∈N* B． C． D．0∉N 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得． 【解答】解：选项A，因﹣3不是正整数，故A错误； 选项B，是无理数，故必是实数，故B正确； 选项C，是分数，故不是整数，故C错误； 选项D，0是自然数，故D错误． 故选：B． 【例2】　（2024秋•和林格尔县校级期中）下列关系中，正确的是（　　） A．﹣2∈N* B．π∉Q C．0∈∅ D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断． 【解答】解：因为﹣2∉N*，π∉Q，0∉∅，Z， 所以A错误，B正确，C错误，D错误． 故选：B． 【例3】　（2024秋•甘肃月考）下列关系正确的是（　　） A．0∈N* B． C． D．﹣7.8∈R 【答案】D 【分析】根据选项中大写字母代表的数集，结合元素与集合的属于关系逐一判断即可． 【解答】解：对于A，因为0不是正整数，所以0∉N*，故A错误； 对于B，因为不是整数，所以Z，故B错误； 对于C，因为不是有理数，所以∉Q，故C错误； 对于D，因为﹣7.8是实数，所以﹣7.8∈R，故D正确． 故选：D． 【例4】　（2024秋•河东区期中）下列关系中，正确的有（　　） ①；②；③|﹣3|∈N；④||∈Q． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系逐一检验即可． 【解答】解：①∈R，正确； ②；正确； ③|﹣3|＝3∈N，正确； ④||∉Q，错误．即正确的有3个． 故选：C． 02 列举法 （1）列举法表示的集合的种类 ①元素个数少且有限时，全部列举：如1，2，3，4． ②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1，2，3，…，1 000}． ③元素个数无限但有规律时，如自然数集N可以表示为0，1，2，3，… （2）使用列举法表示集合时需注意 ①元素之间用“，”而不用“、"隔开； ②元素不重复，满足元素的互异性； ③元素无顺序，满足元素的无序性； ④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法．但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号． （3）列举法表示的集合的结构： 【例5】　（2025春•武威月考）集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，用列举法表示为（　　） A．1 B．2 C．{1，2} D．{2} 【答案】C 【分析】解一元二次方程，再利用集合列举法表示即可得解． 【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＝0}＝{1，2}． 故选：C． 【例6】　（2025春•唐县校级期中）集合{x∈N+|x﹣2≤1}用列举法表示为（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3，4} D．{1，2，3，4} 【答案】B 【分析】解不等式x﹣2≤1可得x≤3，再由x∈N+即可求得结果． 【解答】解：易知{x∈N+|x﹣2≤1}＝{x∈N+|x≤3}＝{1，2，3}． 故选：B． 【例7】　（2025•黄浦区校级开学）用列举法表示集合{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝ 　　 ． 【答案】{0，1，2}． 【分析】利用列举法的定义求解． 【解答】解：用列举法表示集合{x|﹣2≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}． 【例8】　（2024秋•宁河区校级期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． 　　 ． 【答案】{2，3，4，5}． 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可． 【解答】解：因为大于1且小于6的整数是2，3，4，5； 用列举法表示该集合为{2，3，4，5}． 故答案为：{2，3，4，5}． 03 描述法 （1）描述法的一般形式 描述法的一般形式是，其中“x”是集合中元素的代表形式．例如用描述法表示方程的实数根为．如果从上下文的关系来看，是明确的，那么也可省略，只写其元素x．例如集合也可表示为． （2）描述法表示的集合的结构： （3）描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法． （4）使用描述法时应注意以下几点 ①写清楚该集合的代表元素，如数或点等； ②说明该集合中元素的共同属性； ③不能出现未被说明的字母； ④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确． 【例9】　（2024秋•闵行区校级期中）第一象限的点组成的集合可以表示为（　　） A．{（x，y）|xy＞0} B．{（x，y）|xy≥0} C．{（x，y）|x＞0且y＞0} D．{（x，y）|x＞0或y＞0} 【答案】C 【分析】根据点集的表示方法，即可求解． 【解答】解：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即x＞0且y＞0， 所以第一象限的点组成的集合可以表示为{（x，y）|x＞0且y＞0}． 故选：C． 【例10】　（2024秋•雨城区校级月考）用描述法表示函数y＝3x+1图象上的所有点的是（　　） A．{x|y＝3x+1} B．{y|y＝3x+1} C．{（x，y）|y＝3x+1} D．{y＝3x+1} 【答案】C 【分析】根据集合描述法定义可解决此题． 【解答】解：根据集合描述法定义可得函数y＝3x+1图象上的所有点的集合是{（x，y）|y＝3x+1}， 故选：C． 【例11】　（2024秋•浦东新区校级月考）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为 　　 ． 【答案】{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【分析】被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【解答】解：被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为 {x|x＝3n+1，n∈Z}， 故答案为：{x|x＝3n+1，n∈Z}． 【例12】　用描述法表示下列集合： （1）全体偶数组成的集合； （2）平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合． 【答案】（1）{x|x＝2n，n∈Z}； （2）{（x，y）|}． 【分析】（1）利用描述法求解； （2）利用描述法求解． 【解答】解：（1）全体偶数组成的集合为{x|x＝2n，n∈Z}； （2）平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合为： {（x，y）|}． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $