第01讲 集合与常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，依据天津高考考情要求，按“概念-关系-运算-逻辑用语”逻辑层次梳理知识体系，通过考情解码、知识建构、题型分层讲解与真题精讲等环节，帮助学生系统突破基础送分题，体现复习的系统性与针对性。 资料突出天津高考命题规律，采用“考情-知识-方法-训练”四维模式，如用数轴与Venn图直观分析集合运算培养数学思维，通过量词命题否定训练强化数学语言表达。设置基础巩固与变式提升练习，配合易错警示，确保高效突破，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

一轮复习讲义精准覆盖 上好一堂课 第01讲 集合与常用逻辑用语 第一部分 考情解码·命题预警 在天津高考中，集合与常用逻辑用语是必考内容，一般设置1~2道题目，分值5~10分，题型以单选题为主，难度较低，属于基础送分题。主要考查集合的交、并、补运算，以及充分条件、必要条件的判断。 考点要求 考查形式 2025年 2024年 2023年 集合的概念与表示 单选题 1题 1题 1题 集合间的基本关系 单选题 — — — 集合的基本运算 单选题 1题 1题 1题 常用逻辑用语 单选题 1题 1题 1题 天津卷中集合专题为热点内容，主要考查数集的基本运算，题目稳定，难度较低，分值5分。考生备考时应重点掌握集合的基本运算规则和表示方法，并通过大量练习提高解题速度和准确率。 第2部分 知识梳理·体系建构 知识点一 集合的含义与表示 1. 集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2. 元素与集合的关系：若a是集合A的元素，记作 ．若a不是集合A的元素，记作 ． 3. 集合中元素的特征： （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是否属于该集合。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中不能出现相同的元素。 （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序，即{1,2}与{2,1}表示同一个集合。 4. 常用数集及其记法： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 R 列举 {0,1,2,3......} 5. 集合的表示法： （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，用逗号隔开，并用花括号"{}"括起来。 （2）描述法：用集合中元素的共同特征表示集合，形式为{x|x具有的性质}。 （3）图示法：用数轴或韦恩（Venn）图来表示集合。 6. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。 题型1 元素与集合的关系（基础） 【例1-1】(多选)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则元素4与集合 A、B的关系为（　　） A．4∈A　　B．4∉A　　C．4∈B　　D．4∉B 【变式训练1-1】下列关系中，正确的个数为（　　） ①0∈N；②√2∈Q；③π∈R；④0∉Z；⑤{0}∈N A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【变式训练1-2】设集合A＝{x|x²－3x＋2＝0}，则下列关系正确的是（　　） A．1∉A　　B．2∈A　　C．{1}∈A　　D．{1,2}∈A 题型2 集合含有参数问题（中档） 【例2-1】（2023.和平三模）设全集，集合，，=（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（人教2019A版·必修一·练习1.2）判断下列两个集合之间的关系： （1），； （2）是4与10的公倍数}，. 【例2-2】（2024.天津七中．高一10月月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【变式训练2-2】已知集合A＝{m²- 2m ,m}，若3∈A，则m的值为（　　） A．-1　　B．1　　C．3　　D．-1或3 【方法技巧】判断元素与集合关系，关键是判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征。若元素在集合中，则用"∈"；反之用"∉"。 【易错分析】利用集合相等或元素关系求参数时，求出参数后要代入验证是否满足互异性，避免出现重复元素。 知识点二 集合间的基本关系 基本关系 文字语言 符号语言 图形语言 [来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个真子集，有 ．个非空真子集 （2）子集关系的传递性，即. 题型3 集合间的基本关系（中档） 【例3-1】已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2　　B．a≤2　　C．a≥-1　　D．a≤-1 【变式训练3-1】已知集合A＝{x|x-1|≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．(-∞, -1]　　B．(-∞, -1)　　C．(3, +∞)　　D．[3, +∞) 【例3-2】已知集合A＝{1,2,3}，则集合A的真子集个数为（　　） A．3　　B．4　　C．7　　D．8 【变式训练3-2】已知集合A＝{x|x²-5x+6＝0}，则A的真子集个数为（　　） A．3　　B．5　　C．7　　D．15 【变式训练3-2】已知集合A＝{x∈Z|-2≤x<2}，则A的非空真子集个数为（　　） A．2　　B．3　　C．14　　D．15 【方法技巧】（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处的取值情况。 （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用。 知识点三 集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 题型4 集合的交、并、补运算（中档·核心） 【例4-1】（2025·天津·高考真题）已知集合，则 =（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2024·天津·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】(2022·天津·高考真题）设全集，集合， 则A∩(=（    ） A． B． C． D． 【例4-2】【设全集U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则A∩(＝（　　） A．{1,2}　　B．{1,2,3}　　C．{3}　　D．{1,2,5} 【变式训练4-2】已知集合A＝{x|x²-2x-3≤0}，B＝{x|y＝ln(x-1)}，则A∩B＝（　　） A．(1, 3]　　B．[1, 3]　　C．(-1, +∞)　　D．(-1, 3] 【变式训练4-2】若集合A＝{x|-1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪()＝（　　） A．{x|x≥-1}　　B．{x|x≥1}　　C．{x|x>-1}　　D．{x|-1≤x<1} 【方法技巧】进行集合运算时，先明确集合元素类型（点集、数集等）并化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。数集运算时常用数轴辅助，列举型集合可直接观察。 题型5 Venn图的应用（中档） 【例5-1】（25高三·天津河北·质检）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（23高三下·天津第二十中学·期中）已知全集，集合1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A． B．1， C．2， D．1，2， 【变式训练5-1】(23高三上·实验中学·9月统练）设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】Venn图是解决集合问题的直观工具，通过图形可以直观地表示集合之间的交、并、补关系。解题关键是正确分析阴影部分对应的集合运算。 知识点四 命题与常用逻辑用语 1. 命题及其关系 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。 四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。原命题与逆否命题同真同假（等价关系）。 2. 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。 从集合角度理解： 设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； （3）若B⫋A，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件。 题型6 充分条件、必要条件与充要条件（中档） 【例6-1】（2023·天津·高考真题）已知a>0，则"a>1"是"a²>a"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1】（2024·天津·模拟）设x∈R，则"x>1"是"x²>1"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1】已知条件p：x<1，条件q：x²-x<0，则p是q的（　　） A． 充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【例6-2】（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-2】（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A． 充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式训练6-2】2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【方法技巧】判断充分条件与必要条件的方法： （1）定义法：判断p⇒q和q⇒p是否成立。 （2）集合法：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B则p是q的充分条件；若B⊆A则p是q的必要条件。 3. 全称量词与存在量词 全称量词："所有的""任意一个"等，用符号"∀"表示。含有全称量词的命题叫做全称命题。 存在量词："存在一个""至少有一个"等，用符号"∃"表示。含有存在量词的命题叫做特称命题。 命题的否定： （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定为 ¬p： ． （2）特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定为 ¬p： ． 题型7 全称量词与存在量词·命题否定（中档） 【例7-1】命题"∀x>0，x²>0"的否定是（　　） A．∀x>0，x²≤0　　B．∃x>0，x²≤0　　C．∀x≤0，x²>0　　D．∃x≤0，x²>0 【例7-2】命题"∃x∈R，x²-2x+1<0"的否定是（　　） A．∀x∈R，x²-2x+1≥0　　B．∀x∈R，x²-2x+1<0　　C．∃x∈R，x²-2x+1≥0　　D．∃x∈R，x²-2x+1>0 【变式训练7-1】命题"∃x∈R，x+1≥0"的否定是（　　） A．∀x∈R，x+1<0　　B．∀x∈R，x+1≤0　　C．∃x∈R，x+1<0　　D．∃x∈R，x+1≤0 【变式训练7-2】已知命题p：∀x>0，x+1/x≥2，则¬p为（　　） A．∃x≤0，<2　　B．∃x>0，<2　　　C．∀x>0，>2　　D．∀x≤0，>2　 【方法技巧】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。注意：否定的对象是结论部分. 第01讲 集合与常用逻辑用语 题型1 元素与集合的关系 【例1-1】 已知集合，，则，。 答案：BC 【变式训练1-1】 ① （自然数集包含0），正确； ② （是无理数），错误； ③ （是实数），正确； ④ （0是整数），错误； ⑤ （集合与集合之间用包含符号），错误。 正确个数为2。 答案：B 【变式训练1-2】 解方程，得或，即，故。 答案：B 题型2 集合含有参数问题 【变式训练2-1】 (1) 为偶数集，为4的倍数集，故。 (2) 4与10的最小公倍数为20，，，故。 【例2-2】 ，。 当时，，满足； 当时，，令得；令得。 综上，或或。 答案：D 【变式训练2-2】 。 若，则，不满足互异性，舍去； 若，解得或（舍去），时，符合题意。 答案：A 题型3 集合间的基本关系 【例3-1】 ，，，则。 答案：A 【变式训练3-1】 由得，即，，则。 答案：C 【例3-2】 集合有3个元素，真子集个数为。 答案：C 【变式训练3-2】 解方程得，有2个元素，真子集个数为。 答案：A 【变式训练3-2】 ，有4个元素，非空真子集个数为。 答案：C 题型4 集合的交、并、补运算 【例4-2】 全集，，。 答案：A 【变式训练4-2】 ； ； 。 答案：A 【变式训练4-2】 ，。 答案：A 题型6 充分条件、必要条件与充要条件 【例6-1】 ；或，故充分不必要。 答案：A 【变式训练6-1】 ；，故充分不必要。 答案：A 【变式训练6-1】 ，，，故必要不充分。 答案：B 【例6-2】 ，故充要条件。 答案：C 【变式训练6-2】 ；反之不成立，故充分不必要。 答案：A 【变式训练6-2】 ；，后推前成立，前推后不成立，故必要不充分。 答案：B 题型7 全称量词与存在量词·命题否定 【例7-1】 全称命题否定为特称命题，结论否定：。 答案：B 【例7-2】 特称命题否定为全称命题，结论否定：。 答案：A 【变式训练7-1】 命题的否定：。 答案：A 【变式训练7-2】 命题的否定：。 答案：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $